Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Функция ю,' (г) голоморфна на всей плоскости комплексного переменного а вне контура С, и так как функция — сг + ю, (х) дает обтекание этого контура неограниченным потоком, то функция ю„' (г) будет раскладываться около бесконечно удаленной точки в такой ряд: ю,(г)= — '+++ з +..., (2) и, следовательно, разложение функции юг' около бесконечно удаленной точки будет начинаться со слагаемого а', !г'.
Отсюда вытекает, что ~ю„йа =- О. с Интеграл ~ [ — 2сю,] дг с о 18. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПОГРУЖЕННОЕ ТЕЛО зз / ~Дф ~2 ( — ) е(г = 2ек + 2 ~ (и,и, + и,ио) о)г. с с (3) Займемся вычислением интеграла Я = 2 ~и,и,дг. с Преобразуем этот интеграл к такому виду: 2 Я = ()(и, + ио) Ог — ) иг <Ь вЂ” 1и, нг. с с с Два последних интеграла равны нулю, следовательно, Я = ')(и„+ и,)'Ыг. с Так как функции иг и и, голоморфны в нижней полуплоскэстн вне контура С и обладают надлежащим поведением в бесконечности, то выражение Я может быть переписано так; ~ (иг+ ио)(и, +ио) Ых. (4) На оси абсцисс, т. е.
На пути интегрирования, сумму и, + и,' можно представить так, имея в виду формулы (1) и (8) $ 16: и1 (х) + ио (х) = — 21 дйо(х, О) ду — 1~ Г(й) е-и ей — 1 ~ Г(й) е™ой. Теперь формуле (4) может быть придан такой вид: Я = 1 ~ (и, + из)ох~ Г(й)е-™вой+1 ~ (и, + и,)ох~ Г(й)еоо" ~й или Я = о~ Г(й)сй ~ (и, + и,) е-оо" дх+ о~ Г(й)ей ~ (иг+ ио)еоа"дх. о о Используя определение функции Г (й), придаем этой формуле равен, очевидно, 2 ск, где х — циркуляция потока вокруг контура С. Таким образом, формула (1) может быть записана так: 94 гл г плОскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых ВолнАх следующий вид: я = 4л ~ (Г(й)!о сус. о (5) Вернемся к формуле (3) и преобразуем интеграл Т = ~ ю1юо Нг с (6) к новому виду.
Ввиду голоморфности функций юо и юо в нижней полуплоскостн, мы можем придать интегралу Т следующий вид: — (шг + юо) юо ол. Заменим здесь ю; ее выражением (12) з 16; получим или 2~д г Г (й) о внутренний интеграл равен — 2л(Г (й); следовательно, Т 4Ж ( Г(й) Г(й),И оо ) й — д/со о Этот интеграл берется по комплексному пути, обходящему свер- ху точку й = фсо. Используя главное значение интеграла по Коти, мы можем предыдущую формулу записать так: Т вЂ” — — о~Г( — )~ + — ~ о ')( — „) На =- с = 2сх+ 4Л$ !Г(й)('ой+ — ~ ~ ( ), — — ",~ (~Г( о,)~ . о о Эта формула и формула (5) позволяют записать результат вычис- ления интеграла (3) в таком виде: 9 29. Вычислепие моментА сил дАВления потокА 95 Обращаясь теперь к формуле Чаплыгина, находим выражения обеих составляющих главного вектора сил давления: Х =- 4"'," ~ Г ( х, ) ~', (7) У= — рск — 2яр~ [Г(й)['дй — —," ') ' "'2 с)й.
(8) 9 о Эти формулы были установлены Н. Е. Кочиным в цитированной выше работе [16). Все величины, связанные с волновыми движениями, возникающими от погруженного тела, Н. Е. Кочин выражает через функцию Н (й), связанную с функцией Г (й) нашего изложения задачи зависимостью Н (й) =- — 2Я2Г (й). $ 19. Вычисление момента сил давления потока на твердое тело с Пользуясь принятыми обозначениями, имеем 1 (") / ЫЛ' 12 — ) сЬ = ~ г [с' + и2, + и2, — 2с2с, — 2си22 + 2и~ж2[ с1г -[- + ~ ги2, дг + ~ г [ — 2сю, + 2и2,ю., + 2и2,в,[ дг. (2) Ввиду голоморфности функций и22' и и22' в нижней полуплоскости, первый интеграл правой части равен нулю, Функция и22 раскладывается в ряд (2) $18; следовательно, гю, 21г г[-~+ —,' +...(2[г = 2Я[аг.
/2 с Но — 2я1аг — циркуляция потока, определяемого функцией и2;, следовательно, аг — число чисто мнимое, и поэтому Ве ~ гю, 2Ь = О. с Момент сил давления относительно начала координат вычисляется по формуле Чаплыгина: 96 ГЛ. Х ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Затем, из формулы (8) 5 16 следует, что с Поэтому ~ г ( — 2св,) Иг = 4ясГ'(О). с Следовательно, Ве ) г ( — 2сш,) с(г = 4лс Ве Г' (О).
с Возьмем затем интеграл 2гсс,сс, бг. с Применяя к этому интегралу такие же преобразования, которые были применены к интегралу 8 1 18, получаем 2гюри,йг = — 2лса, — 4Л1ш ~ Г ()с) — сУс. с о рассмотрим, наконец, интеграл 2гю,шо дг. с Повторяя преобразования, выполненные над интегралом Т з 18, получаем для рассматриваемого интеграла следующее выражение: 2гш,ссо с1г = —. ~ о — ~й. за г г (а) со г а — д!со на с о Запишем эту формулу иначе, используя главное значение интеграла: с о Собирая вместе подсчеты всех интегралов формулы (2), получаем выражение момента сил давления потока на тело: =- -~ "~"()+ со (сс)'(:о)+ + 1 ~ А+а)', Г()с) ~~ с1)с~.
(8) о 1 га. интегРАльное уРАВнение ЗАдАчи овтекАыия 97 5 20. Интегральное уравнение задачи обтекания твердого тела волновым потоком И' (г) = — сг + шд (г) + ш, (г) + ше (г), (1) точно удовлетворяла условию обтекания твердого тела. Покажем, что в качестве функции ш, (г) можно взять характеристическую функцию течения, возникающего от некоторого простого слоя источников, соединенного с вихревым слоем, расположенных на контуре С. Иными словами, покажем, что, выбирая надлежащим образом функцию г (0) = д (0) + д к (0) в зависимости от дуги контура, неясно в качестве функции шд (г) взять следующий интеграл: ш, (г) = — ( г (г)! п (г — т) 0(г. 1 с (2) Здесь т = т (0) — аффикс переменной точки контура С.
Функция ш, (г), отвечающая этой функции ш, (г), запишется так: г ше(г) = — — г(г) !п(г — т) 0(г. 2и ~ (3) Прежде всего, ясно, что, какова бы ни была функция ш, (г), условия в бесконечности и на свободной поверхности будут удовлетворяться функцией (1), если функция ше (г) взята в согласии с формулой (12) з 16.
Остается позаботиться лишь об удовлетворении условий обтекания. Если через ду (х, у) мы обозначим потенциал волновых скоростей, то условие обтекания аапишется так: — = ссоза, Ыт дди где а — угол внешней нормали к контуру С с осью Ох. 4 Л. Н. Сретенский Функция шд (г), на основе которой было построено приближенное решение задачи об обтекании твердого тела, была выбрана, согласно Ламбу, как характеристическая функция, дающая обтекание тела безграничным потоком; эта функция заимствуется, следовательно, из аэродинамики.
Но такой выбор функции ш, (г) не входит ни в какой мере в предыдущие вычисления. Только при желании найти в простом виде силы Х и У мы пользуемся результатами теории крыла самолета. Установив это положение, поставим задачу о таком выборе функции шд (г), чтобы функция комплексного переменного, определяющая поток: 98 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Перепишем это условие в таком виде: йе(ео" — ) = ссози. е', (й) Принимая указанные выше выражения функций ит (г) и и~а (г), составим формулу (13) 2 16: Преобразуем последний член этой формулы, используя выражение функции Г (Й).
Для простейших функций кг1 2 г (а) )п (з т)' иго 2 г (3) )п имеем по формуле (7) 2 16 еоьр 2л Отсюда функция Г ()е), входящая в формулу (5), будет даваться таким интегралом: Г(й) = —,' ~;"(.).е «Ь, б и сама формула (5) может быть преобразована к следующему виду: йо $ Г г(е)не ( Г г(е)яе е) Г Г е омг е)о)с — — — — — ~= — — ~г(а)дг~ . (6) е)е 2л,) е — т 2л)е т лео) а — е/ео с с о Чтобы составить условие обтекания (4), надо найти предельное значение правой части этой формулы при стремлении точки з к какой-нибудь точке контура С. При определении этого предельного значения все внимание должно быть обращено лишь на интег- рал О(г) = — ~ — .
Г г (е) е(е 2лэе — т' с (7) это есть интеграл типа Коши, Остальные два интеграла формулы (6) не доставляют каких-либо затруднений: их предельные зяачения совпадают с их прямыми значениями. Перепишем интеграл (7) так: Ы8 г (е)— 2л~ е — т с 1 20. интегРАльное уРАВнение ЗАдАчн ОБтекАния 92 Устремим точку 2 к какой-нибудь точке т' контура С, отвечающей дуге г'. Применяя формулы Ю. В.
Сохоцкого, получаем [47'), [24'[ ~Ь » Ле 1 * г(е)~с ВшВ(2) = — [г(г) — 1 + — 1, дт. Выполним теперь предельный переход в формуле (8). Найдем с 1 Г г(е)ие Л» Г Г е 'Зм — — — — — ~ г(г)с)г~, »1)с. 2я~т т зе» 4 з — з/е» с В (8) Составим на основании этой формулы условие обтекания. Для этого отметим сначала следующие формулы: — се-"', Ве ~ — е» г (г) — 1 = — »7 (г ), г 1 4»1 [.
2 Ус 1». 2 4 ~~'с' — с + |д() + с е»а -1а с еса '" г (е] »1» с еса Г г(е)»1» 1 Г[ еса е»а 2я ~ " 4я В~ »а -»а — — — х (г) ог. (10) 4Я~~» с Этим двум последним формулам может быть придан более простой вид, если ввести следующие обозначения: т' — с = Ве"', ,1. Вз-1В т' — т = В,есз, т' — т = В,е се . Здесь  — расстояние между текущей точкой интегрирования т контура С и постоянной точкой т' на этом контуре; В, — расстояние между точкой т' контура С и переменной точкой т, симметричной точке т относительно оси абсцисс.
Кроме того, а — д— Угол между внешней нормалью в точке т' и радиусом, идущим из переменной точки т контура С в постоянную точку т', угол 1СО гл. 1, плОскАя 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВОлнАх а — 01 равен углу между внешней нормалью в точке т' и радиусом, направленным из точки т в точку т . Используя вновь введенные обозначения, мы можем записать формулы (9) и (10) в следующем виде: е'о "Г г(е) ае 1 'Г сов(а — (г), 1 1 *Г вга(а — д) 2л ) с' — т 2к ) Л 2л ) Л с с с (11) ега(' (е)ое 1 ~ сов(а — 60 ( ~ 1 ( вга(а — д,) с с с (12) Возьмем последний интеграл формулы (8). Примем для краткости записи такое обозначение: г) с е-'г(с — с) 1 — д(с =- — ()Х (г, г') еге; ясв З А — г(се 2л о (13) М и р — функции переменных з и з'. Имея формулы (11), (12), (13), мы можем записать теперь условие обтекания (4) в следующем виде: 1 *Г сов(а — д] 1 "Г я!о(а — ()) с соя а = — Ч (з') + — д (г) е(з — — ) х (з) с(з— 2 2я~ Л 2х с Л 1 Г сов (а — д>) 1 Г в1о(а — Е — — д (з) Нз — — ~ х (з) с(з— 2яг Лг 2яг Лг с с 1 Г 1 à — — ~~юсов(р-(- а) с(г) е(з — — )~ ЛХ я1п()с+ а) х(з) дг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
