Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пользуясь выражением функции и!!' (з), мы можем придать этому интегралу следующий вид: 116 гл. ь плОскАя ЕАЛАЯА О Бесконечно малых волнах Перепишем эту формулу, используя главное значение интеграла; получим О Составим теперь с помощью формул (1), (2), (4) и (5) значение комбинации Х вЂ” 1У и найдем по отдельности компоненты Х и У; получим Ю У= — р.К вЂ” — ', р ~Ь|)Х(й)Зй — — "" ,~~„'"'~'",~)й. (7) 0 0 Определим теперь по формуле У = — — рВе ~г( — „) дг с момент сил давления М относительно начала координат. Приведем вычисления, не останавливаясь на деталях их выполнения.
Имеем 1 ~") / о5'тт г( — „) дг = гю, сг+ 2 ~( — сгв, +па,ю,+ ги>,ша) оа. (9) с с Первый интеграл правой части равен Кт ! (2я1), следовательно, Ве ~ пи, дг = О. (ю) с Рассмотрим затем интеграл ~ гю, сЬ. с Заменим функцию и~, (г) ее интегральным выражением (3) 3 22; получим, меняя порядок интегрирования, 1*;~ -~ ( ел(-;фа-- ~ а а-ьож. с -Х Для дальнейших преобразований возьмем формулу (7) $ 32 и продифференцируем обе ее части по параметру я; получим — ~ а (з) (в + )11) айЯ~-611 ~$ (И) $ 24, опгвдилвние сил и помнить Отсюда Х' (0) = — — ' ~ г ($) $ — й1) д5. — ! Следовательно, „' )г = — пл'(О). с (12) Возьмем затем интеграл гю,и>, дг с (13) и перепишем его так: гш,ю,дг = — г(юг+ш,)'дг — — ~гю, Нг — — ~гю, ~)г.
(14) 2 2 2 с с Рассмотрим, наконец, первый интеграл правой части формулы (14). Используя вычисления, сделанные выше для преобразования интеграла Я, получаем 1 à — ~г(ю, + ш,)'дг = 2 О О С 8 ~ () г(() ~ — ь ь' ()1 — — ь' о СО С + — '~ Ь(й)ий ~ ~~(5) ~ „~ь — т($) ~ „н~~н$. о С Интегралы по переменному з вычисляются, и мы имеем С 2 ~ г (ю, + и,) дг = — — я 1ш ~ Ь (й) ~ Ий, (16) с о Формулы (15) и (16) позволяют написать формулу для интеграла (14): гю,ш,й — — л1ш~ Ь(й)~й-Нй+.4й Кг, (17) 1 г" йЬ Последний интеграл правой части равен нулю, значение же предпоследнего есть 1 г г Кй — ~гиь сг = — —. 21 4л (15) с 118 гл.
1. НлоскАН ВАдАчА О Бесконечно мАлых ВОлнАх Вернемся к формуле (9) и рассмотрим последний из интегралов этой формулы: гю,юо дг. с Применяя к вычислению этого интеграла те же приемы, какие были применены к вычислению интеграла Т, получаем О о Интеграл по переменному х вычисляется, и мы получаем гй,и1, йг = — ~ — йе = жа Г ь(А) их, о оо З А — Г(оо с о о (18) Собирая вместе результаты подсчета интеграла (9), выраженные формулами (10), (12), (17) и (18), получаем величину момента ЛГ сил давления потока на крыло: )Ч = — ярКе~сЬ'(О)+ — ЗЛ®Х' ( — о)+ + —,' ~ „"+", Т,(й) —,'~ (й~.
(19) о б 25. Приближенный метод и примеры обтекания тонких крыльев Если форма подводного крыла дана, то, решая интегральные уравнения ч 23, мы можем найти распределение источников и вихрей вдоль оси крыла. С помощью этих величин мы можем определить затем воздействие потока на крыло. Но так как решение уравнений (3), (7) з 23 представляет большие трудности, то следует предложить приближенный метод решения задачи. Рассматривая в дальнейшем тот наиболее интересный случай, когда крыло приводится к дуге кривой, мало отходящей от горизонтального отрезка, примем то допущение, которое было использовано в теории движения твердого тела (см. з 21).
Мы допустим, что вдоль подводного крыла распределение циркуляции такое же, как и у крыла в неограниченном потоке. Для определения же циркуляции в этом последнем случае служит интегральное 2а пРИНЛИЖНННЫЙ мвтод И ПРИмеРЫ ОБтЕКАНия кРЫЛьгв 11з уравнение с особым ядром (8) 1 — 1 где у = ~ (х) есть уравнение обтекаемой дуги. Уравнение (1) можно получить из уравнения (4) я 23, полагая Ь = оо. Решение уравнения (1) дается формулой (6) 123.
Выпишем эту формулу, вводя вместо х и $ новые величины Х и а, полагая $ = — (сов Х, х = — 1сов а. у' (х) = Й (а). При этих обозначениях будем иметь 2с *( 12(Х) в!эв Х В я я1аа,1 сов Х вЂ” сов а я1 з1а а в (2) Преобразуем эту формулу, предполагая, что функция Я (а) пред- ставлена в виде следующего ряда: 12(а) = — а,+а,сова+а,сов2а+ ... +а„сояпа+... (3) Подставим этот ряд в формулу (2) и выполним почленное интегрирование. Имеем на основе следующей формулы((8'), гл.
1У, я 4): соз тьах зш та совА — сова в1па о такой результат: сов и'Авшв Х аХ = п вша яш па. сов Х вЂ” сов а я Вта формула имеет место для значений и ~ 2; для п =- д и и = = 1 имеем с *~ *' в1нв А сов 1 — соя а о и соя Х з1ав Х соя Х вЂ” сов а в — я сова, я — — соя 2а. 2 Пользуясь этими формулами, мы можем придать решению (2) Будем считать функцию 1" (х) представленной через новое пере- менное а и обозначим 120 ГЛ.
1. ПЛОСНАЯ ЗАДАЧА О ПВСНОНГвв111О МАЛЫХ ВОЛНАХ уравнения (1) следующий вид: В' + 2а,с сов ов х(ол) = — 2с ч а„злппо1+ енп ов и=1 где В' = В/п1+ а,с. Отметим, что общая циркуляция К потока вокруг крыла будет равна 1 ~ х11З вЂ”.= Л1(В' — а,с). Величина константы В' может быть определена из дополнительных условий. Потребуем, чтобы функция х (ю) имела конечное значение на задней кромке крыла, т. е. при х = 1 или ел = и. Из формулы (4) видно, что это будет осуществляться при В' = = 2а,с.
При таком значении В' формула (4) примет следующий вид: 1 х (ю) = — 2с вв) а„зп1 псе + 2аос ОЦ вЂ” аь (5) Найдем для этого распределения циркуляции функцию В ()с) по формуле (7) 2 22: В()с) ' е-тл~х(Л)е-лисовлз,.пЛс)Л и е о Подставим сюда вместо х (Л) его выражение (5) и воспользуемся для преобразований известным из теории функций Бесселя разложением: еысовл у (х)+ 2 Я Ю,(х)созеЛ.
в=1 = ( — 1)о-1 — "У (И), п~1, = Лхо(пв) — п)хл(всв). Пользуясь этими формулами *), мы можем представить функцию *) Для получения последнего ревультата следует иметь в виду формулу 2лу„(х) Увв (х) + У„л (х) = . ()Хрии. ред.) С помощью этого разложения тельные формулы: згн пЛ е-1м сов л зп1 Л 11Л о с~д Л е-1м сов л злп Л ввЛ 2 о мы находим следующие вспомога- $ 25. пРивлижннный метод я ПРимеры ОвтекАния к1'ыльев Л (й) в виде следующего разложения: Ь(й) = 21с1е-л" 1 — „~( — 1)"-'па„Х„(И) — а, [Ха (И) — 1Х1(И))~. (6) -лл 1 1 ч ' и1 Применим эту формулу к вычислению волнового сопротивления. Пользуясь формулой (6) у 24, находим для волнового сопротив- ления следующее выражение: Х = 4паРд(ае-м""*~~ааХ1(+) + — ' Х ( — 1)"таа „Х,ю ( — 'а )~ + ю=1 + ~ааХа ( —;а ) — —, ~~~~,( — 1) (2т+ 1) аата1Хать1( ~, Я ~ (7) т=-а Х (й) = — 2с1е "" (Х1 (И) + 1Х, (И)) 1я а, (8) откуда формула (6) у 24 для волнового сопротивления запишется так: Х = 4пайр(ае-млы' ~Ха ® + Ха ( е, Яьяа а.
(9) Формула (16) з 22 дает уравнение волновой поверхности далеко 1 ") Величина а„— с а, пропорциональна общей цнркуляцннпстона вокруг крыла, которая в свою очередь пропорциональна скорости потока; следовательно, волновое сопротивление обращается в нуль прн с сс только в случае отсутствия циркуляции вокруг крыла,что н было отвечено в статье (11). (Прим. ред.) В связи с этой формулой следует оть1етить одно весьма примечательное обстоятельство, указанное М. В.
Келдышем в цитированной выше работе (11]. Известные факты из теории волнового сопротивления показывают, что обычно волновое сопротивление падает до нуля при неограниченном увеличении скорости движения. Но для подводного крыла, как это явствует из формулы (7), волновое сопротивление стремится, вообще говоря, к отличному от нуля пределу, равному 4яардР (а — Чаа,)а а). Все предыдущие формулы получают исключительно простой вид для наклонной прямолинейной пластинки.
Если через а назвать угол наклона пластинки к вектору скорости набегающего потока, то /' (л) == — 1а а и все коэффициенты разложения (3) будут обращаться в нуль, кроме аа, которое будет равно — 1д а. Формула (6) принимает следующий вид: 122 гл. е плОскАя 3АдАчА О весконечно мАлых волнАх за крылом; пользуясь формулой 18), получаем т) = — 4Я1е-лыс' 1у а ~~Хг ( —,) соз — + Х, ( — ) эш г с~И дэ l г1~ . гэ1 г ~ сэ ) сс ), сс ) сэ ) ' При неограниченном увеличении с поверхность жидкости остается покрытой весьма пологими установившимися волнами, имеющими отличную от нуля амплитуду 4л1 ~ 1е сс ~.
Если не предполагать, что циркуляция выбрана так, что поток сбегает с заднего конца рассматриваемой пластинки, но считать, что циркуляция К взята произвольно, то вместо формулы 19) будем иметь следующую формулу: Х = 4яэур)эеемыс' ~ Х~ ( сс ) + Х1 ( с," ) 1дз а~ . Из этой формулы видно, что отличное от нуля волновое сопротивление, при с неограниченно растущем, обусловливается наличием полной циркуляции потока вокруг пластинки, если с ростом скорости потока циркуляция увеличивается пропорционально скорости.
4 26. О волнах, возникающих от неравномерного давления, распределенного вдоль поверхности текущей жидкости Предположим, что поверхность бесконечно глубокой жидкости, текущей со скоростью с на бесконечной глубине, находится под влиянием давления, величина которого меняется от точки к точке поверхности, но не меняется, однако, со временем. В таком случае движение жидкости будет установившееся и поверхность ее будет покрыта волнами. В силу того, что движение считается установившимся и потенциальным, будет иметь место интеграл Бернулли. Если через ~Р 1х, у) назвать потенциал скоростей, вызванных волнами, то интеграл Бернулли запишется так: — =С вЂ” — ~(с — — ) +( — )~ — уу. Применим этот интеграл к точкам поверхности жидкости, считая волновые добавки к скорости с малыми; получим где р (х) — заданное переменное давление на поверхности у = = т) 1х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
