Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 23
Текст из файла (страница 23)
6 представляет зависимость числа Е, у~ 1я у от числа Фруда Е,. Наконец,'на рис. 7 изображена зависимость числа 1!Е,' от числа 1/Е,'. Кривые этих рисунков построены на основе числового решения уравнений (3), (4) з 29 и значений (1) функции Р (0). Допустим теперь, что задались скоростью движения с, дали величину нагрузки Ч и указали место 1 ее положения относительно задней кромки. Эти данные позволяют найти числа Фруда Е, и Е,; из рис.
5 определяем затем число Рз, а тем самым величину смоченной части пластинки. По известному числу Е, и числу Е, определяем затем, пользуясь рис. 6, тангенс угла наклона 7 144 гл. и плОскАя ВАЛАчА О Весконвчно мАлых ВОлнАх пластинки к горизонту. Наконец, рис. 7 дает величину погруже- ния аадней кромки пластинки. Ряс. 7. Польауясь формулой (1), можно найти результирующую сил давления Р потока на пластинку. Результаты соответствующих подсчетов даны на рис. 8, на котором представлено изменение величины давления на единицу площади омытой части пластинки р УР ;Ю Рис. 5.
РУ,У 4а;0 Ряс. 6. 5 зс. числОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕниЯ ГЛИССИРОВАНИя 1АЗ зависимости от числа Фруда Е„связанного с величиной нагрузки. Рис. 8 показывает, что при увеличении числа Е, от 0,649 до 1,35 давление на единицу площади уменьшается, а затем быстро растет. На рис. 9 вдоль оси абсцисс отложено число Фруда Е„ вдоль оси ординат отложено отношение 9 расстояния центра давления от середины пластинки к половине длины омытой части. Для малых чисел Е, центр давления лежит в задней половине пластинки Р/Еаарс~~ ггпу а~ 4а га Рис. 9. Рис. 8. и передвигается с увеличением числа Е, по направлению к передней части.
При Ез = 0,95 центр давления совпадает с серединой пластинки и при дальнейшем увеличении Е, смещается в переднюю часть, стремясь к точке, делящей пополам ату часть движущейся пластинки. В упомянутой выше работе Сквайр [183) ищет решение уравнения (4) 9 28 в виде следующего тригонометрического ряда: — — а„соз п9. 1 (х) а %-~ Рс зШЕ 2~ " с При вычислениях в этом ряде удерживаются лишь четыре коэффициента, которые находятся из требования, чтобы поверхность жидкости на участке ( — г ( х ( г) была возмоакно более плоской и образовала угол, близкий к а. Вместе с тем ставится условие отсутствия силы давления на заднем конце пластинки, что ведет к такому соотношению между коэффициентами: ас — а,+а,— аз — — О, 146 Гл.
х плОскАН зАЛАЯА О Бвсконвчно мАлых ВОлнАх 3 31. Некоторые приближенные формулы в теории глиссера Изложенное в предыдущем параграфе числовое решение интегрального уравнения теории глиссера было предложено автором книги [51). Ю. С. Чаплыгин дал в ряде статей [71[, [72] полное числовое решение задачи о глиссировании пластинки, основываясь на методе, развитом Л. И. Седовым [40), [41[. Задача о глиссировании доступна также и аналитическому решению для малых значений параметра Х. Если параметр А мал, то решение систем уравнений (3) и (4) $ 29 или интегрального уравнения с симметризуемым ядром, о котором было упомянуто в конце $28, можно искать в виде степенных рядов, расположенных по атому параметру. Учитывая лишь первые степени ),, можно найти для функции Р (О) следующее выражение: Р(О) = — ).ч, з1пΠ— — ).т,з1п20+ 1 4 Затем, формулы (7) и (8) т 29 позволяют найти величину А а: Ао = — „' ~1 — ) [л+ — )~, 1 ,= — (у+[ —,),) „ где у — постоянная Эйлера: у = 0,57721...
Соотношение между числами Фруда Е, и Е, принимает вид Ез —, = — а(1+ у — 2!п у'2Ез). Ей Подъемная сила пластинки У и момент давлений получают следующие выражения: т = — прас'г [ 1 — ). (л + — )1, ЛХ = — лраг'с'[Г1 — ) (л + — )~ . Связь между погружением Ь задней кромки пластинки и остальными величинами задачи получает следующий вид: — а['1+ у+ [и —,),)).. хь 1 1 г ЗХ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСГИ ОКОЛО ВЕДУЩЕГО КРАЯ ГЛИССЕРА ЬггУ Так как Х близко к нулю и а ( О, то Ь получает отрицательные значения, т.
е. при малых Х пластинка всплывает над средним горизонтальным уровнем н;идкости. Далеко за пластинкой образуется синусоидальный хвост волн ц = 2лаг ~1 — й (л + — д згв — . гг Д сг Отсюда волновое сопротивление пластинки, определяемое по ам- плитуде этих волн, будет иметь следующее выражение: Л = лсаггг ~1 — 2) (л + — )~ ре. Но общее сопротивление Х глиссера, имеющее следующее зна- чение: Х = лрагегг ~1 — Х (л + — )1, во много раз больше волнового сопротивления А. Поэтому главная часть всего сопротивления обусловлена затратой сил на образование вертикальной струи жидкости ведущим концом пластинки (см. $ 32).
Приведенные в этом параграфе формулы были получены Д. И. Седовым (40), [411. й' 32. Исследование движения жидкости около ведущего края глиссера Возьмем формулу (1) з 28, определяющую потенциал скоростей при сосредоточенном давлении. Перепишем эту формулу так: Р „Р 'Г и!айх ср(х,у) = — созххе"У+ — ~ ей" ггй, рс лрс З й — х с и присоединим к ней формулу для функции тока: Р . „Р *Р сов йх гр(х, у) = — — зшххе"У+ — ~ — ейс Йй. рс лрс З й — х а Ив этих двух формул можно составить характеристическую функ- цию течения: рг г с ом нг(з) = — ~ сгй; лрсЗ й — х с особая точка й = х обходится сверху.
Дифференцируя эту 1 В вл. 1. плоскАя эАДАчА О весконзчно мАлых волнАх формулу, получаем Р,". „,;ы — = — — Ы. ая лрсз к — х с Из этих двух последних формул находим к Нм, Р ! ссс — + 1лю = — ~ е-' * Н1с, с'с лрс Э с или ех . Рс 1 — + 1ХШ =— сг лрс с Интегрируя это уравнение, получаем Рс Е Сскг Се — скс с-скс 1 с)г лрс ск Перепишем это выражение функции ю (г), отмечая лишь особенность, присущую точке з = — 0: Рс ю(з) = — е-1кс 1п 3 лрс Составим теперь особую часть И' (з) характеристической функции течения, отвечающего давлению 1 (х), распределенному на отрезке [ — г, г) оси абсцисс.
Будем иметь И'(з) = — — 1 1(а) е-'к1* се 1в(з — а) с1а, лрс или И'(З) = — — Е-1"* ~ 1(а) Е'к" 1П(З вЂ” а) На. (1) лрс Подставим сюда вместо 1 (а) взятое выше разложение (2) 5 29, которое можно переписать так, используя переменное х: Р (0) = ~ (х) = Аз ~/ —" + )багге — х' М (х), (2) где 1у (х) — функция, голоморфная около точки х = — г. Рассмотрим сначала интеграл 81 (3) = 1 е'кк 1/ — 1п (з — а) с)а.
г с+а $ гг. движнние жидкости ОкОлО Вндущн1'О кРАя 1лиссвРА 149 Применяя формулу интегрирования по частям, получаем г Яг(г) = О(г)1п(г — г) — ~ да, г (а) где а г г — а и(а) = ~ е1"" гг/ — аа. У г-1-а Функция О (а) может быть представлена так: О (а) = 1ггГ + а Г' (а), где г' (а) — функция, голоморфная около точки а = — г. Следо- вательно, О1(г) = О(г) 1п(г — г) — ~ На. 1" 1г г+ а У (а) Разложим функцию )г (а) в ряд Тейлора около точки а = г, близ- кой к точке а = — г: 1г(а) = )г(г)+(а — г) гг'(г)+ — (а — г)')г" (г)+...
Подставляя зто разложение в предыдущую формулу, находим о1(г) = О(г)1п(г — г) — Р(г) ~ ' да — )г'(г) ~ '1'г+а 1(а — ... Около точки г = — г обладает особенностью лишь второе слагаемое правой части; вычисляя это слагаемое, получаем Б1(г) = )г ( — г) п1 )гг+ г +... Из формулы (3) легко получить, что ,г ( 1.) 2)/2г е гмбх. следовательно, около точки г = — г имеем 51 (г) =- 2яг уг2г е-1"" ~'г ~- г -(- Отсюда около той же точки формула (1) запишется так для 1(~) = А, )ГГг —: И'(г) = ' ' уг2г 1г'г+ г+... (4) Возьмем затем второе слагаемое формулы (2) и рассмотрим (зе',) 1л. 1.
плоскАЯ 3АдАчА О Весконечно мАлых ВолнАх интеграл от (г) = ~ й( (а) )/'г' — а' е1"'" 1п (г — а) е(а. -т Применяя формулу интегрирования по частям, находим г о, (г) = и1 (г) 1п (г — г) — ~ е(а, Г ю,(а) (5) причем и1 (а) .= Г) й((а) ф' ге — аз еыида. Около точки а = — г мы можем написать следующее равенство: и, (а) = (г + а) А)гт (а), где )г (а) — голоморфная около точки а = — г функция.
Следовательно, Ог(г) = и1(г)1п(г — г) — 1 ' е(а. Г (г+а))*$',(а) Разложим функцию )г, (а) в ряд Тейлора около точки а = г, близкой к точке а = — г: у,(а) = )г,(г)+ (а — г) $"1(г)+ — (а — г)'у" (г) +..., и подставим это разложение в предыдущую формулу, получим Ог (г) = п, (г) 1п (г — г) — У, (г) ~ е(а— Г (г+а) А — )г, (г) ) (г + а)"А да +... Около точки г = — г особенностью будет обладать лишь второй член правой части; вычисляя его, получаем 2 О"г(г) = —,я($Г2г е-'""()(( — г) (г+ г)Ч +... Следовательно, функция И'(г), определяемая формулой (1), где функция ( (а) дается бесконечным тригонометрическим рядом (2) $ 29, будет иметь около точки г = — г такой вид: И'(г) = . У( — г)(а+г)'А+...
~ зз. движвнив глиссвра по повкрхности жидкости тв1 Следовательно, около точки г = — г полное выражение функции Иг (г) будет И' (г) = —" 1/г2г (» + г)" » + — )Ч ( — г) (3 + г)»ь +... Таким образом, точка г = — г, отвечающая переднему краю глиссера, является алгебраической точкой ветвления для характеристической функции течения. Обозначим через и и и компоненты волновой скорости по осям координат.
Для определения этих компонент около точки з = — г имеем следующую формулу: ЫЛ' Ас У 2» 1 Р»2» — и+Ь= — = + — м( —.)У +.. аг рс р' с+„рс Из атой формулы имеем для действительных г, больших чем — г и= — ', и=О; Ас "гг2» с» г + у для действительных г, меньших чем — г, имеем и=О, и= Ас 1» 2г рс у — г — к Из двух последних формул видно, что впереди глиссера, около его ведущего края, образовывается почти вертикальная струя жидкости с большой вертикальной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
