Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Таким образом, должны соблюдаться следующие два условия: (1О) (11) Для дальнейших вычислений целесообразно преобразовать первые слагаемые правых частей к новому виду. Заменим интегрирование в формуле (3) по кривой, обходящей точку й =- х сверху, интегрированием по мнимой оси плоскости переменного й. Имеем сначала С О савва Р ~ совЫ о о Далее, сов йа оо,1й в — х о Ь О = — яье '"М'-"о+(, ' " е- Ме(т+х( ~ е- ~а~йп.
(13) ,1 лво+ хо ,) то+ хо о о При у, стремящемся к нулю, зта формула принимает такой вид: е сов йа -ов(а! )пп ~ — еоо о(й = — я1е 'М 1 -(- ~ е(т. у о а — х ооо+ хо о о Принимая в расчет эту формулу и формулу (12), мы можем написать, что е СО Иш ~ ~ (а) Ыа ~ йе"о дй = о о в — х — о о о = Пш ~ ) в "о~~(а)да — яхо ~ ~(а)е 1"Фе1а+ ав+ ко -о -о +. ~ л.)м.~ 136 гл. 1. НлОскАЯ 3АдАчА О Ввсконечно мАлых ВОПКАх Простой подсчет показывает, что 11ш ~ ~ —,",~~(и)да = Л1 (0); следовательно, т тт 11ш ~ 1(и)да~ — '" йеоое(й= о о о — т о т От тЕ о'22~ = Я1(0) — Лх1 ~ ~(а)ео Мда + х ~ 1(а)е(а ~ 2 2 е(т. (14) Составим теперь на основании формул (3), (12) и (14) условие (10).
Опуская некоторые промежуточные вычисления, придаем этому условию такой вид: о т М 2 1 !о~ т)(0)=- — ~ ~(а)з(пхие)а+ —, ~ ~(а)да~ ~, 2 дт. (15) Обратимся затем к условию (11). Из формул (12) и (13) имеем для х = 0 следующий результат: е ( а) йоое,(й 1 ЯХоо-ттааз.ое дх1 А — х из+ у2 о 9 а — С е то~"~ + —,+ ., +-х' ~,, (хсозту — тз!пту)е(т.
о Верхние знаки берутся для а ) О, нижние — для а (О. С помощью этой формулы получаем для х = О, полагая, где это возможно, у = — О, — ~ 1(а)е1и( „( йе"одй = т о т о ~ ~(а) ~ ", + —,, ~е(а — Яха ~ у(а)еоаада+ е-ттоа~ 21то + яха ~ ~ (а) е-2" Йа + хо ~ 1 (а) да ~ о — т о т ет — хо ~яа)да~ — 22 Ит.
о о $22. ДВИЖЕНИЕ ГЛИССЕРА ПО ГЛУВОКОЙ ВОДЕ 137 При у, стремящемся к нулю, имеем, используя введенную выше дугу С, ма ~ 1(а)на *Г 1(а) '+Ф 11ш ) о о /(п)до= я)ху(0)+ х'1 = х ~ — е(а, а — т с 7 1пп 1 /(п) — —,, е)а = я~'(О). и о!, ВУ но+Во Следовательно, для л = 0 О~ 1пв — ( 7' (а) даГ1 ( йе"о еуе = е — м е о Ч я/'(О)+х ~ '( е)а — яхо ~ 7(а)ежам+ е е У о 00 Г еоае йв + ях'~/(а)е-™ае)и+ хо ~ [7(а) — 7( — а))г(а~1 Пользуясь этой формулой и формулой (3), записываем условие (11) в следующем виде: г)'(О) = — ~ — е(а — — ~ 7'(п)созхайе+ м 'Г 1(а) 2х Г яре 1 а рео е — е о Ю + „~~ ~У(п) — !( — п))е)п~ —,, (16) Таким образом, мы должны найти то решение уравнения (8), которое удовлетворяло бы добавочным условиям (15) и (16).
Отыскав такое решение, мы сможем найти вид поверхности жидкости перед глиссером и за глиссером. Основываясь на формулах (4), (2), (13), находим, в частности, уравнение установившихся синусоидальных волн, развивающихся далеко за глиссером: 2х Г . 2м Ч(х) = — созхх ~ 7'(а)зшхада — — яшмам ~ 7(а)созхада. и Ре Отметим, что уравнение (8) может быть приведено к основному интегро-дифференциальному уравнению теорцц крыла конечного 138 ГЛ, П ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВКСКОНКЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ размаха. В самом деле, перепишем уравнение 18) так: ярд 1 Ыаэ 1(а) а1а — ( — + хаЧ) = — яку(х)+ — ~ —, х ах Э а — х — а и проинтегрируем его по х от О до х; получим х х х — х а — х где х Г (х) = ~ 1(а) 1(а. а Пользуясь формулами (5) и (6) 3 23, можно привести зто уравнение к обычному уравнению Фредгольма с симметризуемым ядром и получить его решение в виде тригонометрического ряда (см.
з 29). За подробностями отсылаем к известной книге Н. И. Мусхелишвили об интегральных уравнениях с особыми ядрами [ЗЯ. $29. Решение интегрального уравнения теории глиссирования Для решения интегрального уравнения (8) з 28 применим метод тригонометрических рядов, развитый в аэродинамике для решения интегрального уравнения теории крыла конечного размаха ((8), гл. У1, Я 6, 7). Преобразуем уравнение (8) з 28 к новым переменным д и 6, связанным с переменными а и х формулами Новые переменные меняются в пределах (О, я). Примем следующие обозначения: 7'( ) = Р (6), 1 (са) = й' (6), и, кроме того, полояаим дх кг= — = Л. аа Ограничиваясь рассмотрением глиссирования прямолинейной пластинки 11 = ах + Ь, положим тг = рад, та = — рычаг. Принимая зтц обозначения, мы придаем уравценцго глиссировацця 1 29.
интегРАльное уРАВнение теОРии глиссиРОВАния 198 следующий вид: — й Р (9) -!- —. р (0) -(- — =- Х:.Уя + Уя соя О;. (1) ! „! г !!0я1п00 !соя 0 — соя д,о о Будем искать решение этого уравнения в виде следующего ряда: Р(О) = А ~!9 — 8+ А,я!~8+А ~!п20+... 1 (2) с неопределенными коэффициентами А„А„А„...
Подставим этот ряд в уравнение (1) и укажем прежде всего результат подстановки слагаемого А, с!0 Чя 9 в левую часть этого уравнения. Имеем 1 — ХАос!д — О+ — (Асс!д — 0) + 2 я1п 0 (, о 2 1 Ао с!2 о Подстановка же всего остального бесконечного ряда дает нам сле- дующий результат: — Х ~~! А я(ппΠ— . '! пА„з!пп0. Раскладывая сумму 1 + соз 9 и произведение з(п 0 з(п пО в ряд по синусам кратных дуг, приходим к следующей системе уравне- ний: А!+ —., ~ ~1,!+„),, — 1,, ~А.л = — 2 (у!+ —., Ао) я А ! ! !т+о!о — 1 !го — ир — '1 1 я ят о=1 (3) (т=3,5,7,...), Таким образом, уравнение (1) будет удовлетворено, если неизвестные коэффициенты ряда (2) подобрать так, чтобы в промежутке 0 ( О ( я удовлетворялось тождество Х Д А яшОяшп8+ ~ пА„з!ппО = сот о=а 1 = — )'Ао (1 + соз 0) — Ху, я1п Π— — 2то згп 20.
2 140 гл. 1. плОскАЯ ВАЛАчА О БескОнечнО мАлых волнАх из которой могут быть определены все коэффициенты А с нечетными индексами*). Для определения коэффициентов А с четными индексами служит другая система уравнений: 2Аз+ — ~~ч ~~ — А„= 2Лч~) 1 1 я А,Л ) (2+ в)з — 1 (2 — п)з — 1 ~ / 1 4 = — 2Л )л — тз + — Ае~) '14 Зя /' (4) ~о (т = 4, 6; 8,...). Можно показать, что к решению полученных систем уравнений с бесконечным числом неизвестных может быть приложена теория бесконечных детерминантов. После решения неизвестные А„А„Аз,... могут быть представлены так: А„=а„т,+Ь„Ае (п=1, 3, 5,...), А„= автз+ Ь„Ае (и = 2, 4, 6,. ° .), где ав и ܄— некоторые функции параметра Л.
Установив это, мы можем представить искомую функцию в следующем виде: Р(0) = тдРд(0)+ тзРз(8)+ Ае~с16 — 8 +Рз(8)~, (5) где Р (8) = ~' ив зш ЛО, Р (О) = ~ а„зш пО, з=т з 3 Р~ (8) = ~ Ь„зшпд. с=г Полученное решение зависит от параметра Л и содержит, кроме того, одну произвольную константу Аз. Для определения атой константы привлечем в рассмотрение условия (15), (16) 2 28, в которых надо принять т) (О) = Ь, т)' (О) = а. *) Один штрих у суммы озиачает, что суммирование распространяется иа нечетные значения индекса з; два штриха означают, что суммирование распростраияется иа четные значения в.) о зо.
инткггхльноя ггхвнкнпк таогяи глнссиговлния 141 Подставляя в эти условия вместо г' (х) = Р (О) найденное выражение функции Р (О), приходим к двум уравнениям вида Мгчо + Мото + ЛуоАо — — О, Л'гчо + Лото + Л о 4 о = О> (О) в которых М„Л~„..., М„]о:о — вполне определенные функции параметра )о. Эти уравнения, служащие для определения А„ будут совместны, если между чг и то будет существовать следующее соотношение: (7) ~1 Л~оо1 где 7 — некоторая функция ): 7= Моа'о — юноа'о и~у — мч При выполнении этого соотношения определяется коэффициент .4о: 4о = Кчоо (8) где К вЂ” функция )о. Обозначим через — 6 == аг + Ь погружение заднего конца пластинки.
Условие (7) свяжет тогда зависимостью —,, = — (1 — Ь)ай дь (9) величины а = — 1я 7, 2, и Ыг. Найдем общую силу давления Р потока на пластинку; имеем о Р = у 1 + а' ~ ~ (х) дх. Пользуясь разложением (5) и формулами (7), (8), преобразуем это выражение к следующему виду: Р = — — яа )Г1 -]- а' рйго [аоЬ + (2 + 61) К], (10) 1 Отсюда мы получаем формулы для подъемной силы х и для сопротивления пластинки Х: х' = — — яарбго [аЯ+ (2+ 61) К] 2 Х = — яа'рог' [ао7 + (2+ 61) К]. С помощью тех же формул можно найти момент сил давления относительно середины пластинки: М = — яа(1+ ао) руга [аз+ (2+ Ьо) К]. (11) Эта формула вместе с формулой (10) позволяет определить положение центра давлений. 142 гл.
и плОскАЯ 3АдАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх 3 30. Числовое решение уравнения глиссирования Из системы уравнений (3) и (4) 1 29 были определены неизвестные А в числе двадцати А„Аз, -4з, Азз~ Азс для девяти значений параметра )з = 2А/я:; )з = 0,1; 0,25; 0,50, 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75; 2,00. Для этих значений параметра )з были найдены затем величины 7.
и К, входящие в формулы (7) и (8) $ 29. После этого формула (5) з 29 позволила установить распределение давления вдоль плас- тинки, а точнее — величины „ ,'„', = ), ~ЬР, (0) + Рз(Е) + К ~с19 †,' 0 + Гз (оф . (1) Результаты подсчетов даны на рис.
3 (где 1 )з = 0,1; 2 и = 0,25; 3 )з = 0,5; 4 )А = 0,75) и рис. 4 (где б и = = 1,00; б и = 1,25; 7 — )з = 1;5; 3 )з = 1,75, Р— )з = 2,0). Для дальнейшего представления результатов вычислений введем четыре различных числа Фруда: с Ез = Узс с У 2р с Ез = Здесь 1,1 — нагрузка на пластинку, приложенная в точке, отстоящей на расстояние 1 от заднего края глиссера. Величина 1 равна расстоянию центра гидродинамических давлений от задней кромки глиссера. Положение центра давлений может быть вычислено по формулам (10) и (11) з 29 для каждого значения параметра р. На рис. 5 изображена зависимость между числами Фруда Ез и Е,. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
