Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эти же формулы указывают и на несовершенство изложенной теории, основанной на соображениях теории малых волн. В самом деле, в согласии с формулой поверхность жидкости около ведущего края должна незначительно уклоняться отпрямой у = О, так как около этого края и = О. Но около этого же края вторая слагающая скорости и имеет весьма большие значения.
$33. Движение гллссера по поверхности жидкости конечной глубины Изложенный метод решения задачи о движении глиссера по поверхности жидкости бесконечной глубины может быть прилоясен и к решению задачи о движении глиссера по поверхности жидкости, имеющей данную конечную глубину й. Не входя во все подробности вычислений, основанных на формулах 2 27, укажем лишь основные уравнения этой новой задачи, 152 гл. ь плоскАН ЗАдАчА О зесконкчно мАлых ВолнАх Здесь приходится рассматривать два случая: т = — (1, т = —,)1. ХЛ ее ес В первом случае уравнение для определения давления вдоль глис- сирующей пластинки пишется так: — ( — )+ л'т)) = — л~~(х) + л(~'(*)+ ~ с исаи — тзйи 1(а) Ыа (х — а)е соз — „и е)и. (1) Во втором случае оно имеет несколько более сложный вид: — — ""Х ( — „, + лет)) = — лл/(х)+ л(~'(х)+ ~, + с е + — ~ ~(а) е)а ~ 1 Г 'Г и(и+т)е и х — а Лс ~ исЬи — тзЬи соз — и див Л с т — — ~ 1'(а)з)п — ада, ли «(те — «е) Г .
х — а Л т(«е+т — т') Л т (2) где $ —.положительный корень уравнения т$ = И1|. К каждому из этих уравнений должно быть добавлено два условия, аналогичных условиям (15) и (16) з 28. Уравнения (1) и (2) можно снова решать, пользуясь тригонометрическими рядами, и получить, в частности, приближенные формулы для сил и моментов гидродинамического воздействия потока на пластинку; зти формулы пригодны для малых значений величины Л = дг/сс.
Такие формулы были даны М. Д. Хаскиндом, который изучил рассматриваемую здесь задачу с помощью соображений теории функций комплексного переменного 163). 2 34. Об установившихся колебаниях твердого тела под поверхностью жидкости бесконечной глубины Предположим, что некоторое твердое тело, находящееся под поверхностью жидкости и ограниченное замкнутым контуром С, совершает относительно своего среднего положения неболыане по амплитуде установившиеся колебания частоты с.
Определим то движение жидкости, которое вызывается этими колебаниями, 1 34. ОВ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛ1«ВАНВЯХ ТВГРДОГО ТКЛА «ВЗ Будем определять положение точки на контуре С длиной г дуги, отсчитываемой от некоторого начала. Допустим, что колебание контура определяется заданием нормальной скорости его точек в зависимости от дуги г и от времени г в следующем виде: у„= у1 (в) сов о1 + р, (в) в1В ог; (1) ««„— скорость в направлении внешней нормали.
В силу предполагаемой малости смещений тела от его среднего положения условие (1) переносится с истинного положения контура С, занимаемого им в момент времени 1, на среднее положение этого контура. Таким образом, задача состоит по существу дела в определении движения жидкости от слоя простых источников переменной интенсивности, распределенных на неподвижной кривой. Потенциал скоростей движения жидкости будет иметь следующий вид: «р (х,' у; ~) = «р, (х, у) сов о~+ «р, (х, у) в«п о~.
(2) Функции ф1 (х, у) и фв (х, у) должны удовлетворять в точках контура, взятого в его среднем положении, таким граничным условиям: вытекающим из формулы (1). Помимо этого, функции ф, и ф, должны еще удовлетворять волновым условиям на среднем уровне, у = О. Эти условия, вытекающие из общего условия (4) я 2, записываются так: — — — ф1 — — О~« д«р, св ду (Э) Кроме того, скорости, обусловленные потенциалом скоростей (2), должны обращаться в нуль на бесконечной глубине. Помимо всего этого, мы должны потребовать, чтобы волны на поверхности жидкости были обязаны лишь колебаниям тела.
Введем функции и, (я), и«, (г) комплексного переменного я = = х + «у, действительные части которых были бы соответственно «р1 (х, у) и фз (х, у): «р, (х, у) = ке и«1 (в), «р, (х, у) = Ве «д, (в). Принимая это, мы можем записать характеристическую функцию течения жидкости и« (г, ~) так: «и (в, «) = и, (г) сов о~ + и«, (в) в1Я о8. (4) Представим каждую иэ функций и«1 (в), и1з (в) в виде трех 154 гл.
1. плоскАН 3АдАчА О весконечно малых ВолнАх слагаемых ж11(г) = 2 ~ д~ (г) )н (г т) ~~г. 1 с Здесь т = т (г) — аффикс переменной точки контура С. В качестве же функции 2а12 (г) примем потенциал простого слоя источников плотности — д, (г), распределенных на контуре С, симметричном контуру С относительно оси абсцисс. Функция 1а12 (г) запишется так: Г ~12 (г) ) д1 (г) )п (г т) ~~г 2Я А с (7) Для действительных значений г имеют место следующие два равенства: (8) Определим затем функцию и212 (г) так, чтобы соблюдалось первое из условий (3).
Основываясь на равенствах (8), мы можем ааписать первое из условий (3) так: дф12 а' дф12 ф12 = ду д ду (9) Представим правую часть этого условия в виде следующего интеграла = ~ (М1 соз Йх + У1 З1п йх) Йс. (10) 0 Пользуясь интегральной формулой Фурье, мы можем определить входящие сюда функции м1 (й) и дГ1 ()2): да ~а "1 1(а) = я ~ д сез72и ип, ЛГ1(й) = — ) ' ЗН1 йа 1(а. Г дф12( . О1 Я д ду С и1 (г) = и1„ (г) + и'„ (г) + и212 (г), (б) и:, (г) = и м (г) + и122 (г) + в22 (г), выбирая шесть вновь введенных функцийи111 (г),..., 1а22 (г) сле- дующим образом, В качестве функции и11 (г) возьмем потенциал скоростей про- стого слоя источников некоторой плотности д1 (г), распределен- ных на кривой С: 34.
Ов устАКОВиВшихся колеБАниях тВеРдОГО телА 15б Введем в рассмотрение функцию Г, (сс), полагая Г, ((с) = Мз ((с) + иУ, ((с); будем иметь ) ( дх,з(а, 0) я ) ду (11) Из формулы (10) следует, что производная дсозз (х, у)/ду может быть представлена для всех отрицательных у таким интегралом: = ~ (((Х, сов йх+ М„з(п(сх) еоо(й. ду о Но подынтегральная функция может быть выражена через функцию Г, (/с): ())1, (с + Дс, з(п (с ) оо .— В Г ()с)е-'зз следовательно, оТзз(ш и) = Ве'4 Г ((с)е-сзгс((с ди 3 о (12) Это равенство дает возможность представить функцию ш„(з) в следующем виде для 1т з ( 0: ш,з (з) = — ( ~ Г, ((с) е-сззсс)с о Так как функция ш„з (з) обращается в нуль в бесконечности, то к правой части атой формулы не следует добавлять произвольной действительной константы. Обратимся к определению функции шсз.
Условие (9), с соблюдением которого должна быть найдена эта функция, может быть записано так: (13) . Ыш1о оз ~ I . с(ш,о( Ве(( — ' — — шсз~ =- — Ве(2( — '), сз) ( ,( ) оч и„(з) = 7) е з — 42 ' е-сзз с((с. Г 2Г,((с) и — оз/д о (11) откуда получаем, с помощью обычных рассуждений, дифференциальное уравнение дшзз о , дши ( — — — идз = — 2( — ' Ыз д с(з Испольауя формулу (13), находим общее решение етого уравнения в следующем виде: 155 гл.
1. плОскАН 3АдАчА О ввсконгчно мАлых ВолнАх юг1 (г) = — ~ д, (г)1п(г — т) 11г, 1 2Я с ю„(г) = — — ~ д, (г) 1п (з — т) 1(г, 2Я д с 1ггг (г) 1~.~2г — — Р 2Г,(А1 о (15) Комплексное число В, произвольно. Функция Г, (й) определяется формулой Г (рг) = ~ ~фм(о, О) гми11а (16) я,) ду Таким образом, характеристическая функция течения ю (г, 1) найдена. Функции д1 (г) и с, (г), входящие в различные формулы, определяющие функцию 1г (г, 1), являются плотностями слоев источников, распределенных на контуре С. Эти плотности должны быть взяты такими, чтобы удовлетворялись условия обтекания контура С.
Об определении функций с1 (г) и дг (г) речь будет идти ниже (з 38). В заключение этого параграфа отметим новые выражения для функций Г,(Й) и Г,(Рр). Возьмем следующие формулы: дхп дфп . дфп дх дх ду дхн дф~д, дфм Иг дх ду и сложим их почленно, получим Ихн , дхм д 1 1 ./ дфн , дфм ) дг дх дх ~р11 ' р1ю 1, ду г ду Для действительных значений г эта формула принимает, в силу условий (8), следующий вид: дюп, дг н дг ' дг дф„ ду Путь интегрирования обходит сверху особую точку к = ОЧА; коэффициент В1 у первого слагаемого произволен и будет определен дальше.
Таким образом, функция ш1 (г) определяется совокупностью формул (6), (7), (14), где функция Г, (к) дается формулой (11). Обратимся теперь к функции п11 (з). Повторяя все изложенное выше, определяем эту функцию совокупностью следующих формул: 158 гл. т. плоскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых ВолнАх т) = — — ятпат Веют(з)+ — сояагВеюо(я); У я здесь я надо заменить через х. Составим правую часть етого уравнения, используя формулы предыдущего параграфа. Имеем для я = х Веют (г) = Ве Р,е Я вЂ” Ве т2 ', е-'охт(й, — — х Г 2Гт (й) -'й о Веют(я) = Ве Рте — Ве~ ' е-™хйс, й — ао/е о Следовательно, 2а г е мхттй т1 = — Ве) (Гт(й)зтпат — Го(Я)созат)— й — ат(я о о'т О~а — — Ве Р,е Я я)па~+ — Ве Р,е з соя а1.
я я Преобразуем интегральное слагаемое, пользуясь результатами 2 17. Имеем для х ) О т) = — 1пт 1(4ЯГт ( — ) — тР,1е з ~ ятп ат— — — 1тп Я~4ЯГо ( — ) — тРо1 е я ~ соя ай + 2а Г е «хля + — Ве т [Г, ( — х1) я(п а~ — Г, ( — хт) соя а~). г,1 атт о х —— я Для х ( О имеем ач г а — — хт а г — — хт т) = — — Ве ~ Р,е ~я1па~+ — Ве~Р,е я 1сояат + я г 2а Г е "х Лл + — Ве т, (Г, (хт) я1п а~ — Г, (х1) соя а~]. (2) о я+в При стремлении ~ х(к бесконечности интегралы, входящие в уравнения (1), (2), стремятся к нулю, как 1/ ~х~. Следовательно, для болт-тгих полояпмсльных х уравнение поверхности жидкости 1 аь.
о едормв волн, возникающих пги коддкваниях ьбд может быть записано так: о — . ( — — сь)ь — ( — "-ш)ь т) = — [(Яд + ьЯ») е е, (Яд — ьЯ») е е ] + 4е о — . ( — +о~)ь — ( — +оь) ь + — [(Яд — ьЯ»)е е + (Я, 4-ьЯ»)е е ], 4е где для сокращения письма положено / о» Я, = 4лГд[ — ) — ьР„ (4) I од Я, = 4яГ, ( — ) — ьР». е Для больших отрицательных х имеем о — . — ( — +о~) ь — ( — +оь) ь т) = — [Ра+ ьРд)е ь' +(Р, — ьРд)е л ] + 4е ( —" — )ь — ( — '*" ь)ь + 4 [(» д) +( а+ д) 1' (5) Имея зти уравнения, удовлетворим условиям излучения волн. Потребуем, чтобы волны расходились в обе стороныот колеблющегося тела.
Это условие приводит на основании уравнений (4) и (5) к следующим уравнениям: (6) Яд — ьЯ» = О, Яд+ ьЯ» = О, Р» ьРд = О Ра + ьРд = О При соблюдении этих уравнений формулы (4) и (5) запишутся так: о ( — -сь) ь о — ( — — сг) ь т) = — — Яде е — — Яде е, х) О, 2е 2л ! аж I Фл оь — ( — +оь) ь оь — [ — +оь) ь т[= — Р,е л — — Р,е е, х(Ое).
2е 2е (7) ЄЄЄл, получим, поль- Решим уравнения (6) относительно зуясь формулами (4), Рд = 2я (Г, — ьГд), Р, = — 2яь (Г, — ьГд), Отсюда имеем Яд = 2л (Гд — ьГ»), Я, Х), = 2п (Г, + ьГд), Р» = 2яь (Г, + ~Гь). = 2я (Г, + ьГд). ») В втомместе на полях рукописи имеется аамечавие автора: »Ставя другие условия излучения, можно исследовать колебания тела на волне и отражение волн от твердого тела, в частности от вертикального экрана». (Прил.
ред.) Ыо 1л. и плосккхя злдхччл о ввскопвчпо м/длых во/идах Отметим, что если у функций Г, и Г, не указан аргумент, то это значит, что берутся значения этих функций для /о = ао/д. Составим теперь уравнения (7) волн, уходящих вправо и влево от колеблющегося тела, получим яа / адх т) = — — ~[Го+ Г, — д(Г, — Го)] сов~ — — а/)— Ю е — / аох — [Г, + Г, + д(Г, — Г,)] здп — — а/ ~ е яа / / аох т) = — — .[[Гд + Гд + д (Го — Г,)] соз [ — + ад [ + + [Гя+ Го — д(Г, — Г,Н здп ~ — + а/3. Амплитуда волн, уходящих вправо, имеет следующее значение: зла а = — ]Гд — дГо~; (8) ео =— ;л 2л Обратимся теперь к формулам (д4) и (15) 3 34 и дадим окончательное выражение функций юдо (з) и в/оо (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
