Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 26
Текст из файла (страница 26)
о Возьмем действительные части от обеих частей этого равенства и 170 Гл. е. плоскАЛ ЗАдА"еА О взскоеевте!!О мАлых волнах составим формулу для главного момента, получим Л' = Мб$' + — р 1ш [Г,Г, — Г,Г,]— р1 *~ А+',~У (Г,(й) Г,(й)+ Г,(й) Г,'(й)) е(й. е $ 38. Интегральное уравнение теории колебаний подводного тела В предыдущих параграфах были определены движения жидкости, вызванные колебаниями погруженного тела. Эти движения были найдены в предположении, что известно распределение источников по контуру, обеспечивающее обтекание тела. Условия обтекания имеют следующий вид". — — "„„' =6(а), (1) гДе еуе и ееа — потенЦиалы скоРостей, отвечаюЩие хаРактеРистическим функциям иее (г) и ие, (з) З 34. Обозначим через а угол внешней нормали к контуру С с осью Ох, тогда условия (1) запишутся так: Йе(еех — ' ) = уе(а), Ве(е' — ' ) = /е(а).
ФУнкЦии ше (з) и ше (х) зависЯт от плотностей Д, (з) и 7а (а) слоев источников. Поступая далее совершенно так же, как в 3 20, мы получаем два линейных интегральных уравнения вида (14) з 20 для определения неизвестных функций д, (а) и да (а). Найдя из этих уравнений искомые функции, мы можем определить затем функции Г, (ег) и Га (ег). Это даст нам возможность находить в каждом отдельном случае силы и момент, приложенные к погруженному телу.
Подробное исследование интегральных уравнений читатель может найти в статье Н. Е. Кочина (17') *). б 39. Примеры Решение интегральных уравнений обтекания весьма ватруднительно, поэтому приходится прибегать к приближенным методам построения потока. Если функции де (а) и оа (з) известны, то по ним можно найти фУнкции иеее (з) и шае (з), с помощью котоРых можно определить затем функции Г, (й) и Г, (к) и вычислить по е) Здесь на полях рукописи имеется аамечанне автора: аСледует еще от.
метить, что интегральное уравнение Кочина позволяет весьма просто определить все двнженне жидкости для больших частот колебаннйм (терем. дед.) е 39. пгимигы Найдем образующиеся при этих колебаниях волны. Функция юп будет иметь вид юы = — — !п(г+ )и'). 2я Отсюда имеем и ае зк а+Ы Для точек колеблющейся окружности, е = — Ь~+ (а+ ез1п сг) е'е, имеем, считая число е малым сравнительно с а, е-10 а~ам Нг 2яа С другой стороны, — = ое соз о~ е' .
Не ее аЧ В точках окружности должно соблюдаться равенство Ыюп <И вЂ” — соз ог = —. (Й сК Отсюда получаем Следовательно, о = 2пасе. Ыю„ аое л 1а аа Применим для определения получим аае функции Г, (й) формулу (18) 5 34, этим функциям силы и момент, приложенные к телу. Таким образом, главное заключается в определении функций жп (з) и ше1 (г).
Воли тело находится достаточно глубоко под свободной поверхностью, то в качестве функций шп (е) и ве, (г) позволительно ваять характеристические функции течения, вызванного рассматриваемым колебанием тела в безграничной жидкости, и, таким образом, миновать определение функций Ч1 (е) и Че (е). Применим эти соображения к разбору некоторых простейших примеров. Предположим, что круг, имеющий центр в точке г == — Ь~, изменяет свой радиус г с течением времени по закону г = а+ ез(под 172 ГЛ. 1.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Этот интеграл вычисляется: Г, (Ь) = — аазе "". Так как функция 2со (г) ьи О, то Г, (Ь) = О. Применяя формулы (8) и (9) $35, находим амплитуду уходящих волн: а =а =2яе — е "1е. аоа + — д Вычислим по формулам (11) з 36 компоненты среднего значения главного вектора сил давления, приложенных к пульсирующему кругу: Х' = О У' = яраоаоео ' е е-2""ЙЬ. А+ со/ 1 Й вЂ” сЧд о Выражение 1" можно преобразовать контурным интегрированием к следующему виду: 2 2 2 о 2А оооо( 2) 21в( а) о Применяя формулу интегрирования по частям, можно убедиться, что второе слагаемое в фигурных скобках стремится к нулю быстрее любой степени числа 2аоЬ/д, когда это число неограниченно растет.
Таким образом, для больших значений числа 2аоЫд имеем Г' = яраааоео/Ь. Рассмотрим затем волны, возбуждаемые вертикальными колебаниями круга со скоростью с, соз С1. Функция шы (г) имеет в данной аадаче следующий вид: 12222 2с21(г) = — —.. 2+А1 ' Этой функции отвечают колебания круга в вертикальном направлении со скоростью с соз сг.
Функция 2с12 (г) имеет следующее выражение: 12222 ш„(г) = — „ Этим выбором функции л212 (г) обеспечивается соблюдение условий (8) $34. Найдем функцию Гг (Ь). Имеем Г (Ь) = .~. 1 ~', 22*И. ВЯ1,) (2 — А1)2 с Этот интеграл вычисляется, и мы получаем Г, (Ь) = — а'сгйе "". 9 39. ПРИМЕРЫ 173 Функция Го (й) = О.
Подсчет амплитуд уходящих волн дает для них следующие величины: а=а=,е2наосоо1 + — ео Подсчет сил, действующих на круг, приводит к таким результатам: Х'=- О, У' = яраос + ~ йое-зоогой. а со/ 1 З /о — ео/Е о Преобразование выражения силы У' приводит к следующей фор- муле: 2ПСИ 6соао К~ + — + оао а Р сое ( У) — 91п ( Р/ о Для больших значений параметра 2сой/д имеем Допустим теперь, что круг совершает колебательные двиясения в горизонтальном направлении со скоростью с, згп со. Для такого движения функции и (г) и 1еоо (г) будут писаться так: (4) Отсюда имеем Г, (й) = оа'е,йе "".
Амплитуды уходящих волн будут даваться формулами 2яаоа~со о /, + — оо Средние значения компонент главного вектора сил давления будут Х' = О, У' = яраое' г + е йое-™'г/й. а-ао/д о Преобразование этой формулы для У' приводит снова к формуле (3) с заменой в ней с, на с,. Рассмотрим теперь движение круга, составленное из двух гармонических колебаний со скоростями е, згп сг и е, соз с/ соответственно вдоль осей Ол и Оу. Это движение определяется в74 Гл. ь плОскАЯ зАДАчА О БескОнечнО мАлых ВолнАх совокупностью формул (4), (2), (4). Для рассматриваемого сложного движения имеем Г (/с) = — а'с йе "", Гв (/с) = васса/се Амплитуды уходящих волн имеют следующие значения, вычисляемые по формулам (8) и (9) 3 85: 2яавав а = Е-Свые ) СВ Св) дв (5) а =, е-~"!с ) св + св) . 2яавсв Вычисление сил приводит к следующему результату.
Составляющая 1" по оси ординат равна сумме соответствующих составляющих в двух частных гармонических двивкениях. Составляющая же Х' отлична от нуля и равна следующей величине: Х' = 4ававсв рсвсве за'ме. ,в Формулы (5) указывают на одно интересное обстоятельство. При произвольных значениях с, и с, точки круга описывают эллипсы с горизонтальными осями. Если же с, будет равно с„то каждая точка круга будет описывать окруявпость по часовой стрелке и при атом движении не будут возбуждаться ни при какой частоте О прогрессивные волны в направлении положительной бесконечности.
Иными словами, при круговом поступательном движении будут образовываться волны, уходящие лишь в одну сторону от тела. Если с, будет равно — с„то движение тела будет опять круговое поступательное, но против стрелки часов. В атом случае не будет образовываться прогрессивных волн, идущих в отрицательную бесконечность. Первая из формул (5), переписанная так: 2яав (с — с ! 1 свь вч! у,—.
и рассматриваемая в зависимости от параметра и = сва/4', показывает, что при вх = О и при сс = со амплитуда а, обращается в нуль. Для значения и = с/, амплитуда ав достигает максимальной величины, равной 2яав (св — сП / 3 ~ва Ь Г (2/ 1 4я а длина волны становится равной — Й. 3 Такие же заключения можно вывести и для амплитуды а . Е 40, ВОЛЕ1ОВЫВ ДБИЯ!ВЕ1ИЯ Б КАНАЛГ ПКГВ311!Еп!ОИ ГЛУБИНЫ ЕЕВ $ 40. Водновые движения на поверхности жидкости в канале переменной глубины Исследование движения жидкости с образованием волн на поверхности канала, глубина которого переменная, представляет большие трудности. Наиболее важные результаты получены здесь в самое последнее время и относятся к бассейнам, имеющим равномерно понижающееся дно.
Найденные здесь результаты получены с помощью методов теории аналитических функций и дифференциально-разностных уравнений. Рассмотрим канал, дно которого прямолинейно и наклонено под некоторым углом и к горизонту; эта линия выходит из начала координат и, спускаясь, уходит в бесконечность. Горизонтальную поверхность жидкости в невозмущенном состоянии примем за ось абсцисс прямоугольной системы координат, помещая ее начало О в точке встречи дна с указанной горизонтальной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
