Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 30
Текст из файла (страница 30)
— + л — '! Ри-~ (л — 1) (п — 2) ел-е 1 1 (и — 1] (и — 2) (и — 3) ~л-е ( — 1)" э '1 1]и-е 1 + . — +,. — + (л — 1)(л — 2)...4 3 ье (и — 1)(и — 2)...4 3 2 -)- — — + ел ( — й. (1 ( — 1]" 1 1 ( — 1] Г е (и — !) (и — 2) . 2.1 ч (л — 1)! Для дальнейшего применения этой формулы укажем некоторые свойства входящей в пее интегральной показательной функции Е($) = ~ — 'е(!. Функция Е (Е) — многозначная функция комплексного переменного $. Мы будем рассматривать ту ветвь этой функции, которая имеет при действительных положительных значениях $ действительные значения.
Через точку ветвления $ = 0 проведем разрез вдоль отрицательной части мнимой оси. Комплексное переменное Е будет изменяться на своей плоскости, снабекенной этим разрезом. Для значений Е, малых по модул!о, имеем следугощее разложение (19); (2) здесь считается, что 1В $ имеет для действительных положительных значений с нулевым аргументом действительные значения.
Число у есть постоянная Эйлера — Маскеропн. Следовательно, пре малых зп зчениях ( $( будем иметь для ) „(ь) такое представление, вытекающее из формул (1) и (2): и — 1 1] и 5=1 Р=1 (9) 196 гл. 1. плоскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх Рассмотрим затем значения $, большие по своему модулю и обладающие аргументом в пределах от — '/оя до '/оя — з, где з — произвольное положительное число. Иными словами, рассмотрим область Х) плоскости комплексного переменного 9, ограниченную правой стороной разреза (О, — со1) и какой-нибудь прямой, наклоненной к левой стороне разреза под произвольно малым углом з. Тогда для всех точек этой области будет иметь место следующая асимптотическая формула: Пользуясь этой формулой, находим для Ю„(9) следующую асимптотическую формулу для точек области Р: (4) Применим формулы (3) и (4) к исследованию функций Хо (х) и Ь„„(х) для малых и больших значений х.
Пользуясь функцией Ю (9), мы можем придать функции Хо (х) следующее выражение: Хч (х) =. ~аж+ )» (Льт) (5) Будем при дальнейших вычислениях понимать под и величину (2т + 1)д. Тогда для малых значений х функция Х,о (х) будет изображаться формулой (3) с заменой в ней $ на Лох. Для больших значений х функция Х,о(х) будет иметь асимптотическое разложение (4) для точек области Р переменного 9 = = Льт.
Чтобы получить по формуле (20) 9 43 величину т), надо найти для функции Рьа (х) разложения, аналогичные разложениям (3) и (4). Такие разложения легко выписываются из установленной в предыдущем параграфе формулы: Х11(х) = Хо(х) + ( — 1)»,, е о . (6) Возьмем теперь формулу (20) 9 43 и рассмотрим сумму, входящую в эту формулу. На основании формулы (6) получаем для этой суммы следующее представление: » — 1 ~ ЛЛЛ (Ло) — )о [Х„(х) + Х1 о(х)[ = о=о » — 1 » — 1 Л х = 2 — + — ' ( — 1) 11(х)» 2я1 ч ~ ( — 1)ое о ЛЛА'(Ло) [(2т+1)» — ))),е» ЛЛЛЧЛЛ) + — 1» »=о о=о 4 44. ОНРеделение ФОРмы стоячих ВОлн НОВОГО ВидА 497 Преобразуем эту формулу к новому виду для малых значений х.
Применяя формулы (5) и (3), получаем после небольших преобра- зований Π— 1 Е', ') Е А )к ) (~к(~)+ кк,к(х)) = )ккА' ()кк) 44 О 2РО 1 х — 1 Π— 1 (х — е — (! ( о=к к=о Л х О ()) ХкА (),,) Р=1 1о 94 ( — (] е ккх ) 1(91" + () г — ()) ~ у '() к) '' к=о + ( — 1)" (7) )„Б-1 (з = 1, 2,..., п — 1). Эта сумма равна следующему интегралу, взятому по некоторому замкнутому контуру Г, охватывающему все нули функции Л ()к): с, ) Этот интеграл будет равен вычету относительно бесконечно уда- ленной точки, взятому со знаком минус. Для значений г ~( д — 1 этот вычет равен кулю и, следовательно, С, = О.
Для г ~ д вы- чет отличен от нуля и равен, в частности,— 1 для з = д, следова- тельно, С, = 1, Для малых значений х наибольшее слагаемое в правой части формулы (7) отвечает индексу з, равному д. Ограничиваясь в фор- муле (7) соответствующим членом, з = д, получаем Π— 1 Е „,', ( — ()' х А'(х) (~к(х)+гк,к(х)) = ( — 1)' — 9 (, ), о к=о Надо отметить, что в правой части этого равенства не будет двойной суммы, взятой по индексам г и 14, если число и = (2т + 1)д равно единице; действительно, в этом случае функция )1 (9) сводится лишь к интегральной показательной функции, не сопровождаемой рациональной функцией переменного $. Найдем значение суммы 1ЕЗ ГЛ.
Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Эта формула справедлива, однако, если число д меньше или равно и — 1, иными словами, если (2т + 1)д — 1 ~ д, т. е. при соблюдении неравенства 2тд ) 1. Формула (20) 2 43 дает теперь возможность написать уравнение поверхности жидкости около точки х = О. Выполняя небольшие преобразования, получаем а+к (2!ла — 1)! оса ~ аьч(ок+ с) (8) 1(2ла+ 1) а — 1)! д х™а Эта формула найдена в предположении, что 2тд ) 1. Если же это неравенство не будет соблюдаться, то число г = д будет находиться за верхним пределом суммирования по индексу а в формуле (7), и тогда при малых х основное значение будет иметь слагаемое с 1п х. Это слагаемое получает следующий вид: к=а или *) (л — 1)! а Итак, а — к Е'" — 1 ;а Лкл'(Л ) [Ьк(х) + Ьь к(х)) = ( — 1)а — 1п х.
(9) [(2лк+1)а 1)! аа к=а Формула (9) имеет место при 2тд ( О, а это неравенство соблюдается при произвольном д для т = О, а равно и для всех отрицательных т. Вместе с тем при (2т + 1)д =- 1 двойная сумма во второй части формулы (7) отсутствует и для малых значений х основное значение будет иметь логарифмическое слагаемое, т. е. будет иметь место опять формула (9). Равенство (2т + 1)д = 1 соблюдается только при т = 0 и д = 1. Таким образом, формула (9) установлена для всех значений д и для значений т ( О.
Для этих значений д и т имеем уравнение поверхности жидкости около начала координат в таком виде: ( — 1)('й+ки о т) = — — т!™к!а-' )п х з!и (о( + з). (10) [(2т+ 1) а — 11! а а) Сумма, входящая в это выражение, может быть вычислена так. Мы имеем Л$ = ( — 1а)а ( — 1)к, отсюда 5 44.
ОпРеделение ФОРмы стоячих ВОлн НОВОГО ВидА 199 Полученные нами приближенные формулы (8) и (10) для определения вида поверхности жидкости около начала координат указывают на существенное отличие стоячих волн нового вида от стоячих волн, определенных в 9 42. В то время как для этих последних волн ординаты поверхности жидкости ограничены по своей величине около начала координат, для волн нового вида ординаты поверхности жидкости неограниченно растут по своей величине при приближении к началу координат.
Если 2тд ) 1, то этот рост — степенного характера; если же 2тд ~( О, то ордииаты растут пропорционально логарифму расстояния до начала координат. Изучим теперь вид поверхности жидкости для больших значений х, т. е. в местах, далеких от берега. Пользуясь асимптотической формулой (4), находим для А.в (х) = = Й(зт+4)4 (Лвх) следующее асимптотическое выражение: 1 (Лвх)~~~ым Применение формулы (4) законно в том случае, если индекс й ча 0; при выполнении этого неравенства число Лвх будет леясать в области Р приложимости формулы (4).
Если же число й будет равно нулю, то Лвх = — (тх будет находиться на левой стороне разреза (О,— Сов), т. е. вне области Р. Введем в рассмотрение вместо функции Ьв (х) функцию Ььв (х). Точка Лвх будет лежать, при рассмотрении функции 4„4 (х), в области Р, т.
е. в области приложимости асимптотической формулы (4). Поэтому (12) (Лох) Применяя формулу (17) 9 43, получаем асимптотическое представление функции Ь, (х): Р, (х) = ( — 1)лы ' е"" — Ььв(х). [(2т+1) е — 1)! Второе слагаемое может быть отброшено, так как оно стремится к нулю при неограниченном возрастании л. Таким образом, имеем Ьв (х) = ( — 1)в+' е-4"х [(2т+1)е — Ц! (13) Применим теперь формулу (20) 9 43 к установлению вида поверхности жидкости вдалеке от берега, Принимая в расчет формулы (11) — (13), получаем ио х(""+Ив ' т) = ( — 1)!"'+Нч — Х 2вых П2т + 1) в — 1[! в1в ~ха+ 4 (Ч 1)я) Х .: . в!в(О1 + в).
(14) вша в(а2а... вш(в — 1) а 200 Гл. 1. НлоскАя 3АдАчА О весконкчно ыАлых ВОлнАх Полученные нами формулы (8), (10), (14) показывают, что частное решение (13) $ 43 неоднородного дифференциального уравнения (1) з 43 определяет волновое движение, имеющее вблизи берега неограниченно растущие колебания и переходящее в частях поверхности жидкости, далеко расположенных от берега, в стоячие волны, присущие жидкости бесконечной глубины.
4 45. Прогрессивные волны на поверхности водоема с понижающимся дном Найденные в предыдущих параграфах стоячие волны двух разных видов позволяют найти прогрессивные волны данной длины и амплитуды, распространяющиеся от берега водоема в бесконечность или движущиеся из бесконечности на берег. Результаты з 42 дают возможность построить характеристическую функцию течения без особенности в начале координат о-1 и = ~ Соотг* сов(сг+з,). (1) о=о Результаты же $ 43 и $44 дают возможность построить характеристическую функцию течения с особенностью в начале координат ' ' (-1)о и = — ~П ~~~ ~, (А,„(г)+ А,1 о(г))соз(О~+ со). (2) к=о Обе зти функции содержат произвольные действительные постоянные С и П, из которых первая входит множителем во все коэффициенты Со.
Кроме того, фазы з, и ео произвольны. Функция (2) есть решение неоднородного уравнения (1) З 43, а функция (1) есть решение соответствующего однородного уравнения. Следовательно, функция Π— 1 п1 = ~ч~~ С эхо' соз (о~ -(- з,) -(- о=о + — ~В~Л Х А, [Ьо(г)+Ь,, о(г)) соз(О~+ е,) (3) будет также решением уравнения (1) з 43 и, удовлетворяя граничным условиям (1) и (2) з 40, будет определять некоторое волновое движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
