Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Принимая-все предыдущие обозначения, составим с помощью условий (2) и (3) некоторое функциональное уравнение для функ- ции и (г), свободное от функции й (г). Отметим пре~кде всего такие равенства: и(г) = <р (х, — у) + и~(х, — у) = <р (х, — у) — рф (т, — у) = и(г), и'(г) = и' (г), и'(ге-"'') = и'(ге"'). С помощью этих равенств условия (2) и (3) запишутся так: и' (г) + жо (г) = и' (г) — Ьй (г), е «1и (г) = еы и (ген«р) (4) Проинтегрируем последнее уравнение, получим и (г) = и (ге««'); постоянная интегрирования может быть взята равной нулю. Придадим этому уравнению другую форму: и (ге-'"') =- й (г).
(5) есть аналитическая функция комплексного переменного г, которую мы обозначим так: <р (х, — у) — пр (х,— у) = и (г). 1 99. Решение ФункционАльного уРАВнения 211 Исключим теперь из уравнений (4) и (5) вспомогательную функцию й (г). Получим И' (г) + дуИ (г) = Е га'И' (гс-двд) дуИ (гЕ-гав) (6) Это уравнение, имеющее место для значений г в области Р + Р,+ + Рг, является основным в нашей задаче. Применим к решению уравнения (6) метод Лапласа, отыскивая функцию и (г) в виде следующего определенного интеграла; и(г) = )е~дЯ)еЦ. (7) г Функция 4 (~) является искомой, и путь Г, взятый в области Р плоскости комплексного переменного ~, должен быть определен соответствующим образом.
$ 49. Репдение функционального уравнения Дифференцируя определенный интеграл (7) 2 48, получаем для правой части уравнения (6) з 48 следующее выражение: И'(г)+ РРИ(г) = ~ЕвСЯ+ Дт)д(~)д~. г Далее имеем и(ге-дад) ~ евсв дав йв (~)д)~ г введем в этот интеграл новое переменное интегрирования ~„по- лагая ~д = ~е "', получим кд (ге-дад) сдав ~ еа.в 4в Ддегад) д(~д г, Путь интегрирования Г, получен из пути Г поворотом этого пос- леднего на угол 2а по стрелке часов. Этот путь находится в обла- сти Рг. Дифференцируя последнюю формулу по г, получаем е да'и' (ге дви) = едад ~ евн г йв(г едад) д)г г Отсюда левая часть уравнения (6) $48 запишется так: е-'а'и (ге '"') — Раи(ге-'а') = егад~ еЦ(Г дт)йв(Гегад)д(Г.
г, Таким образом, уравнение (6) 2 48 приводит к следующему интег- ральному равенству: ) евс(~+ рк)д(4)д(~ = едадГ) евся — 19)бяедад)дц (1) г г, 213 ГЛ. К ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БИСКОНКЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Придадим этому равенству следующий вид: ~ е*сЯ+ ро)бЯ) — егаг(4 — гт)брег г)13~ = г = егаг ~ егС (га — гт) о Дегаг) о)га огаг г) огС(~ 1т) аа (гаегаг) о)га (2) г, г Если функцию я(Д выбрать так, чтобы она удовлетворяла уравнению (~+1)я(Ц вЂ” '"*'(~ — 1)бК'"г) = О, (3) и путь интегрирования Г взять при этом таким, чтобы правая часть (2) обращалась в нуль, то уравнение (2) будет удовлетворяться. Обратимся сначала к решению уравнения (3). Представим искомую функцию я (Д через две функции уо (~) и й (~), полагая б(~) = — ', бо|) й(~).
(4) Подстановка такого выражения функции д(~) в уравнение (3) дает следующее уравнение: (ь + гт)ло (ь) й (ь) = (ь — гт)уо (ье™)й (ьег"г). Возьмем теперь в качестве функции й (~) какое-нибудь частное решение уравнения (~ + Ь) й (~) = (~ — Ь) й (~егаг) (5) Тогда функция я (~) должна быть общим решением уравнения яо ( 1е аг) = яо (~). (6) Это уравнение показывает, что функция до (~) есть произвольная однозначная функция аргумента ~а~а: ( гь) гг ( ~а1а) (7) Таким образом, нам остается найти лишь решение уравнения (5).
Прологарифмируем обе его части, получим 1пй(~егаг) — 1пй(~) = 1п (8) Покажем, что решение этого уравнения дается интегралом типа Коши. Введем вместо переменного о, новое переменное ~„полагая 1=И. а(а При изменении переменного ~ от его значения ~ до значения ~егаг переменное ~г изменяется от ~г до ~,ега', т. е. переменное ~г описывает вокруг начала координат полную окружность в прямом направлении, 214 гл. д. ЛлоскАН 3АдАчА О БескОнечнО ИАлых ВОлнАх ФУнкция Г7 Яьа) была до сих пор произвольной однозначной функцией аргумента ~ м. Дальнейшее исследование будет ограничено предположением, что эта функция приводится лишь к одночлену (р гд (гьа~а) )„~аюа где д — какое-нибудь целое число, а Х вЂ” произвольная константа.
Ограничение подобного же рода было сделано в 4 43 относительно функции И', (Я), введенной в з 41. Рассмотрение особых точек функции д (~) показывает, что всегда возможно найти такой путь интегрирования Г и, следовательно, путь Г„что разность (13) будет обращаться в нуль. Путь Г состоит из окружности, охватывающей все особенности функции д (~), и из двух сторон разреза, идущего из некоторой точки окружности и уходящего в бесконечность под углом л + д/ддд. Таким образом, функция д (~), даваемая формулой (12), будет удовлетворять уравнению (3), если путь Г взят указанным выше образом. Однако же надо заметить, что решение уравнения (6) з 48 может давать решение более общей задачи, чем та, которая выражается граничными условиями (4) и (5) з 48, так как к уравнению (6) з 48 мы пришли, выполняя дифференцирование уравнения (5) 3 48.
Следовательно, необходимо показать, что функция (7) з 48 действительно удовлетворяет граничным условиям (4), (5) з 48 нашей задачи. Проверка выполнимости этих условий показывает, что введенное выше число ) должно быть чисто мнимым: Л = О,„чтобы оба граничных условия действительно удовлетворялись. Итак, функция ид (г) имеет следующий вид: ~аша пд(з) = д)дд сад — Й(~) д~. (14) Пользуясь найденными формулами, можно написать уравнение свободной поверхности жидкости: д) (х, д) = — — зш(од+ з) Веда(х).
г Наибольший интерес и значение имеет рассмотрение поверхности жидкости вблизи начала координат и в бесконечности. Опишем без доказательств полученные здесь результаты. Уравнение поверхности жидкости запишется так для больших значений лс ц =,, + В сов —, + Свдп —, здп(пг+ е), А ях .
Хх (ф+з);— 9 49. РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ где -4 В, С вЂ” некоторые действительные константы, зависящие от параметров задачи. Эта формула показывает, что при удалении в бесконечность ординаты поверхности жидкости неограниченно растут, если ', +д<о; если же целое число д будет удовлетворять неравенству то в бесконечности будет образовываться стоячая волна с конеч- ными ординатами: 91 = (Всоз —, + Сжп — 9) зщ(О1+ з). сс сс Для значений х, близких к нулю, имеем А Ч= + 9 и Если целое число д будет положительно, то ординаты поверхности жидкости будут неограниченно расти при стремлении х к нулю. Если же д будет нулем или отрицательным числом, то неограниченного роста ординат поверхности не будет.
Таким образом, число д удовлетворяет двум неравенствам: т. е. при д = 0 ординаты поверхности жидкости непревосходят на всем интервале изменения х от 0 до сс некоторого конечного числа. Выше была указана та кривая Г, при которой соблюдается равенство нулю выражения (13). При таком выборе пути интегрирования формула (7) з 48 давала характеристическую функцию течения. Но можно найти другой путь интегрирования Г', при котором будет снова иметь место обращение в нуль разности (13). Соответствующее течение жидкости будет определяться и в этом случае формулой (7) з 48. Поверхность жидкости и при этом новом течении будет иметь в бесконечности вид стоячих волн; фаза колебаний будет отличаться от фазы колебаний в изученном уже течении на 90'.
Около же начала координат ординаты поверхности жидкости будут неограниченно увеличиваться, как 1Е ~ х ~. Складывая вместе два полученных течения, можно получить течение жидкости, сопровождаемое прогрессивными волнами, 216 ГЛ. П ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ ,идущими из бесконечности к берегу, и найти волну, отраженную от берега. Вместе с тем возможно получить прогрессивные волны, уходящие в бесконечность и возникшие в точке пересечения дна бассейна со свободным уровнем жидкости.
з 50. Задача о плавающей пластинке Все установленные в двух предыдущих параграфах результаты имеют место для любого угла а; особый же интерес представляет тот случай, когда угол а равен 180'. В этом случае поверхность жидкости покрыта от х =- — оо до х = 0 твердой пластинкой, оставшаяся же часть поверхности от х = О до х = оо совершенно свободна. Найденные в последних параграфах общие формулы для характеристической функции течения содержат решение и рассматриваемой частной задачи. Полагая в формулах (4), (12) з 49 угол -4 -г л " з г Рис. 12. Рис.,З. а = я, мы можем определить по волнам, идущим из бесконечности, все течение жидкости и, в частности, волны, отражающиеся от конца к = О твердой пластинки.
Не выписывая всех формул, решающих данную задачу, приведем два рисунка, иллюстрирующих полученные результаты. На рис. 12 (справа от начала координат) представлена поверхность жидкости около начала координат для течения без особенности в точке х = О. На этом же рисунке (слева от начала координат) дано и распределение давления вдоль пластинки; А— амплитуда волны в бесконечности.
На рис. 13 изображена поверхность жидкости при течении с особенностью логарифмического вида в точке х = О; вместе с тем указано и распределение давления по пластинке. $50. ЗАДАНА О плАВАющей плАстинке 217 Зги рисунки заимствованы из статьи Фридрихса и Леви, предложивших решение рассматриваемой задачи (98]. Рассмотрим теперь более сложную задачу о волнах в присутствии пластинки конечной длины, находящейся на поверхности жидкости. Здесь могут быть поставлены две аадачи. Во-первых, как и в случае бесконечно длинной пластинки, можно задаться вопросом о вычислении амплитуды волны, отраженной от пластинки, зная амплитуду прогрессивной волны, набегающей на пластинку, и о вычислении амплитуды волны, прошедшей под пластинкой и уходящей в бесконечность.
Во-вторых, придавая пластинке известные периодические поступательные и вращательные движения, можно задаться целью найти соответствующее движение жидкости и, в частности, определить амплитуды волн, уходящих от пластинки в обе стороны от нее. Решение этой задачи дает возможность определить ту работу, которую должна совершать пластинка, чтобы от нее отходили волны задаваемой амплитуды. Решение этих задач может быть получено с помощью интегрального уравнения, аналогичного уравнению теории глиссирования. Предположим, что плоская пластинка, занимающая часть оси абсцисс от точки ( — (, О) до точки (1, О), совершает малые по амплитуде а вертикальные колебания частоты о. Для этой задачи граничные условия записываются так: аэ Т= —.
д(р — = аа, ду Возьмем функцию ю (г) комплексного переменного з, действительная часть которой есть ~р (х, у), и построим следующую функцию: Им Р(э) = 7 — — тю. д~ В силу первого из условий (1) действительная часть этой функции будет равна нулю на действительной оси для значений ( х (, превышающих (. Допустим, что для значений х между — ( и 7 действительная часть функции Р (г) равна 7' (х). Составим уравнение для определения этой функции, исходя из второго граничного условия (1).
Но сначала укажем на связь между функцией ~ (х) и давлением жидкости в точках пластинки. В силу интеграла Бернулли — = ил~ — ду, Р 21З гл. 1. плОскАя 3АдАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх с другой стоРоны, для точек пластинки имеем д~у 1ау = — —. ду Отсюда или — = — — Ве Р(г), о следовательно, — = — — Г (х). х1 о Пользуясь формулой, решающей задачу об определении функции комплексного переменного по значениям ее действительной части на оси абсцисс ([31), гл. П, т 43), имеем следующее выражение функции Р (з): Р(г) = 1С вЂ” —, 1 Г 1(а) да гл З а — г — г где С вЂ” действительная константа, которую можно приравнять нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
