Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ым — + рв — = а'за аЗз (З) т' аа+ за ЗЗ (а' + зз) ~ аЗЗза . аЗза — + зев аЗза аЗз (4) Возьмем уравнение (1), Общий его интеграл при отбрасывании несущественной константы интегрирования запишется так: ЗЗ С Са — оз азсл з ~ Д~ Первое из этих условий должно иметь место для всех действи- тельных значений з, второе — для чисто мнимых значений г от — аз до О, 238 гл. ь плоскАя 3АдАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх Отсюда имеем — =- — — — 1у е С вЂ” а ~ — е(~~) е-'"' аз в (6) и, следовательно, Лм . ав — + Ьзе = — —. ав з зу о Е"",,„~ СОВ УА + ~ ЗШ г, + еу — ее+во Отделяя здесь мнимую часть от действительной, получаем 1 о~ 'ь- )~ = ь савве, + Увшт» о . „( Аз1ать — Усеете, Но ь зш у1 — у соз уь +, На = — яе"у, следовательно, = — Л1 ей~ = — Л1+ е-"у 1 г' ~+у ~~ И2 (7) Обратимся теперь к формуле (6) и найдем значение ее правой части для г = 1у.
Получим (") ан — = — + У((Св+ Яав) — 1(С, — аве-"У3)) е"У, (8) аз /е=ву у где 7 — интеграл правой части формулы (7), а С, и Сг — действительная и мнимая части постоянной интегрирования С. Получив формулу (8), мы видим, что второе из условий (16) з 54 будет выполняться, если принять, что Сз =- — яа'. Число С, остается проиавольным, и его можно заменить нулем. Последняя из этих формул показывает, что функция и (г) удовлетворяет первому из граничных условий (16) 2 54. Нам остается, следовательно, рассмотреть лишь второе из условий (16) з 54. Найдем величину определенного интеграла, входящего в формулу (6), для чисто мнимого значения г = 1у, у ( О.
В качестве нижнего предела интегрирования можно взять точку Ь = — ао + + 1у, поэтому 5 55. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИИ ао) 239 Таким образом, формула Ьс са(г) = — п[аае-ь* — аге-саг [) — с[с, (9) дает характеристическую функцию одного из видов течения, омывающего погруясенный вертикальный барьер. Найдем теперь интеграл уравнения (2), удовлетворяющий граничным условиям (16) з 54. Общий интеграл этого уравнения запишется так.
а ан Г ыг ю(г) = С, + Се-Ь* —— 1 ~у..а+р — ас а — ас + откуда РуСе-ьа + азе-с а Иа Э, руаа+р -ас а — + [тю = УУСг + а з асс . РУаа+Р— ас (и) (12) аса -М асаа — — [тСе "э + аз се"'~' с55 а на правой же стороне — так: аа Еа — = — [РСе "э — аэ[е "У Из а еа у~аа 52 — а Чтобы вывести из этих формул и из дальнейших формул верные следствия, надо точно условиться о выборе ветви многозначной функции 5' аа + гг. Плоскость комплексного переменного г разрезается вдоль отрезка прямой линии [ — ас, а[[, и на полоясительной части действительной оси берутся действительные положительные значения корня у аг + хг; на отрицательной части действительной оси значения рассматриваемой функции будут равны — [' аа + х'.
На левой стороне разреза [ — ас, а[[, где г = [у, значения функции [' аа + гг будут равны — [айаг — уг; в точках р-а ° ~уа * У'с*'-Уа — 'Р. Приняв все это во внимание, вернемся н формулам (11) и (12). В точках левой стороны разреза [ — ас, а[[ формула (11) запишется так: 240 гл. ь плОскАя 3АдАчА О Вксконечно мАлых ВОлнАх и, следовательно, второе условие (16) х 54 будет соблюдаться, если С взято действительным. Возьмем затем формулу (12). Беря квадратуру, придаем атой формуле такой вид; ае~ а гг — + (тга = ИС1 — — '~го + х .
кг г Для действительных значений г это выражение будет действитель- ным, если С, взято равным нулю. При таком выборе С, первое условие (16) з 54 будет удовлетворяться. Таким образом, формула (10) запишется так: г г о ,) 4о Уеаг + 4г — ао н определит второй вид течения около погруженного барьера. Заметим, что в этой формуле, как н в дальнейших формулах, не пишется слагаемое Се-1"*, определяющее обычные стоячие волны на поверхности безграничной жидкости и учитываемое в конце этого параграфа.
Возьмем теперь дифференциальное уравнение (3). Общий интеграл этого уравнения при устранении из него несущественных слагаемых, содержащих две постоянные интегрирования, запишется так: г г аг1 г ы4 ан . Г е""ы4 (аг+ Ьо) ' о е (аг+ Ьг) * о о откуда имеем аге-ьг о Ле . ар )4 — -1- отвг = аг(~ аг е (аг+ 41) А о (15) (16) г ~геаг + гг т (аг + Ьг) ' о будет давать третий вид течения около вертикального барьера. Отметим, что в формулах (14) — (16) интегрирование ведется от точки ~ = О, лежащей на левой стороне разреза [ — аг, аг!. Для чисто мнимых значений з производная егш(дз имеет чисто мнимые значения. Выражение (16) имеет действительные значения при действительных з. Таким образом, функция 4 ОО.
ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА З44 Рассмотрим, наконец, уравнение (4). Общий интеграл этого уравнения записывается так: г 3 в (з) = С, + Се-'" — — 1 + — е '" у аз+ Ьо т г' ао + Ьо — ао — а( отсюда имеем такие формулы: а ГТСе-ыа ) ае-ыа — ао (18) г аю Г + 1тш = 1ТС„+ а аа 1. ~" +~ — ао Коли число С взять действительным, то, как это следует из первой формулы (18), условие вдоль барьера будет удовлетворяться.
Для действительных значений х имеем из формул (18) о а — + отв = 1ТС+- а ~ +- а ~ ам .. Г аЬ Г вЂ” ~ ) "+~о — ~у."+~ — ао о Верхние знаки берутся для х ) О, нижние — для х( О. Эта формула показывает, что невозможно найти такое комплексное число С, чтобы для всех значений х, как положительных, так и отрицательных, соблюдалось первое из условий (16) $ 54. Таким образом, уравнение (4) не дает решения поставленной задачи.
Функция И~, (г), входящая в общее уравнение (2) з 54, может быть взята тождественно равной нулю, и тогда решение этого уравнения будет (19) в (х) = е-'"' Этой функцией удовлетворяются оба условия (16) з 54. Следовательно, функция (19) — простейшая среди найденных в этом параграфе характеристических функций — определяет течение около вертикального барьера. На краю барьера скорость частиц жидкости конечна.
$ 56. Исследование вида волн при наличии Вертикального барьера Полученные в предыдущем параграфе четыре различных функции и~ (г) дают возможность найти четыре периодических волновых движения жидкости в присутствии вертикального барьера. Отметим здесь, что исследуемое решение задачи не обладает той степенью общности, какая была присуща решению задачи о волнах в бассейне с равномерно опускающимся дном. Действительно, 242 гл.
к плоскАя 3АдАчА О БескОнечнО ИАлых ВОлнАх в качестве функции И(1 (г) мы ваяли лишь простейшие функции, удовлетворяющие условиям, накладываемым на эти функции. Функции И', (г) общего вида мы не вводили в рассмотрение. Потенциал скоростей движений жидкости, отвечающий взятым функциям пг (г), имеет вид Ф (х, у; 1) = — соз (о( + в) Ке (а (г), (1) и уравнение поверхности жидкости записывается так: (2) т)(х, 1) = — — в!Б(О(+ з) (Кею(г)), „. Ю Рассмотрим последовательно движения, определяемые функциями (9), (13), (17), (19) 2 55.
Формулу (5) 2 55, приводящую к формуле (9) 2 55, легко отождествить с формулами начала 2 46, определяющими колебание жидкости около отвесной стенки, идущей на бесконечную глубину. Для этого надо положить т =- О, ( = — (т4, принять в расчет, что г ггС Хо(г) = е-'* ~ — '4 д~ Ь(о(г) = Ьо(г) — 2(ие-'"*, и,наконец, заменить С через †н(. Заимствуя вычисления 2 46, мы можем записать уравнение поверхности жидкости в следующем виде: яоог ( г тег 1! = — — ~вшт)х) — — ~ о ',, (!т) вш(о(+ в). о При стремлении ~ х ) к нулю ординаты поверхности жидкости неограниченно возрастают согласно уравнению о) = — — ! п ) тх !. (3) г Это приближенное уравнение получается из точного уравнения (5) 2 46 с помощью приближенных формул для функций С( (тх) и З! (тх) при малых значениях ) х ~: гг С1 (тх) ~ — дт = — у — 1и (тх) -)- — +...
Г ооот (тх)о т 2 2! гх гх о)в т (ох)о 3! (тх) = ( — ((т = тх — — +... 3 3! о Здесь у — постоянная Эйлера — Маскерони. 1 аз. Волны пви нАличии ВБРтикального БАРЬВРА 243 При больших значениях ) л ( имеем для т1 такую приближенную формулу: лаго т) = — — з1пч) х) з1п(от+ е). У (4) Таким образом, вдалеке от начала координат поверхность жидкости покрыта обычными стоячими волнами длины Х = 2Л/ч = 2яд/ог. Отметим, что на краю барьера скорость частиц гкидкости, разумеется, конечна. Обратимся к течению, определяемому формулой (13) з 55. Из этой формулы и формулы (2) следует, что поверхность жидкости антисимметрична относительно погруженного барьера и при приближении к барьеру ординаты поверхности неограниченно растут по абсолютной величине.
На краю барьера, з = — а1, скорость частиц жидкости равна нулю. Чтобы оценить величину ординат поверхности жидкости около начала координат, отметим сначала формулу, пригодную для малых значений ) з (: г — аг ненаписанные слагаемые голоморфны около точки з = О. Верх- ний знак берется при соблюдении неравенства 1 1 — — я (агяз ( — и, 2 2 нижний — при соблюдении неравенства З 1 — — я(агяз( — — я. 2 2 Отсюда для малых ! з ( имеем ю(з) = — . -1- — е-'"( — — Ро1пз) +... (5) г т (, г Из этой формулы получаем уравнение поверхности жидкости око- ло начала координат *): (6) г) = + — 1п)~и~з1п(о1+ е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
