Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. для коротких прогрессивных волн, величины 1 и М имеют следующие прибли. женные значения, находимые из асимптотических формул: ь = — У вЂ” е" (1 + — ), М = — "(/ — е-"(1 — 1 ) . Отсюда получаем формулы для А' и А", пригодные для вычисления этих амплитуд при больших значениях числа ок А' = е-'"А, А" =- (1 — — е-4") А. 1 2 Эти две формулы показывают, что отраженная волна имеет весьма незначительную амплитуду, а волна, прошедшая над барьером, имеет амплитуду, мало отличающуюся от амплитуды набегающей волны. Найдем выражения амплитуд А' и А" для малых аначений числа и, т.
е. для длинных набегаю1цих волн. Обратимся для зто- ) ак о ВВедении мАлых РАссеиВАющих энеРГию сил 259 го к интегральным выражениям величин Ь и ЛХ. Для малых поло- жительных значений и имеем з)п ть У 99+ аз о 1 Следовательно, 1 9 = — н — а+ — на'+...
2 8 = — я+а+ — на + 1 2 ' 8 А . (1+ 1 .+ ) Пользуясь разло;кением функции К, (а) около а = О, находим ЛХ= — )п — +... о 2 2п а Определим теперь по формулам (15) и (16) амплитуды отраженной и прошедшей волны. Найдем А А А' = А" = 1+ 2 9 ~/'1+ —,(!и — ) ()и — ) Эти формулы показывают, что подводный барьер почти полностью отражает длинные волны и не пропускает через себя такие волны.
В заключение Я 54 — 58 отметим, что разобранные в них задачи были решены Ю, М. Крыловым на основе формул, относящихся к движению жидкости, создаваемому пульсирующим источникол1, )20), Я 12, 13. 8 59. О введении в теорию волновых движений малых рассеивающих энергию сил Решение многих задач о возбу;кдении волн периодическими поверхностными силами нли препятствиями, расположенными па пути движения потока, представляется, как мы видели, определенными интегралами от функций, имеющих вид дробей, причем анаменатели этих дробей обращаются, как правило, в нуль в некоторых точках пути интегрирования.
Выражение знаменателя нодынтегральной функции, прирапненное нулю, представляег собой уравнение, связывающее величины, относящиеся к свободным волновым движениям. Такие волновые двил1ения являются посторонними для поставленной задачи, благодаря че. У не улов етворяются, обычно, естественно поставленные условия излучения волн, образованных препятствиями или областями поверхностного давления.
ЗЭО гл. ь плОскАя 3АдАчА О весконечно мАлых ВОлнАх Х=- — ри, У= — иу, где р ) 0 — коэффициент диссипации, малый по своей величине. Покажем, что если в начальный момент времени жидкость обладает потенциалом скоростей, то она будет обладать потенциалом скоростей и во все последующее время, когда к силе тяжести присоединены еще силы Рэлея (1). Для доказательства этого положения исключим из уравнений гидродинамики ди дН вЂ” — у~ = — — — ри, д1 дх дх д1х — -'- и~ = — — — ру д1 ' ду Н = — +ду+ — У' Р 1 Р 2 (2) функцию Н, тогда получим уравнение для вихря ь: — +и — +у — +р~=О.
д~ дь дь дг дх ду Интегрируя это уравнение, получаем ~=с жР(а, р), (3) Благодаря автоматическому появлению свободных волновых движений определенные интегралы теряют смысл, и специальным изменением формы пути интегрирования приходится восстанавливать в каждом отдельном случае смысл интеграла. Лорд Рэлей предложил способ избавляться в самом процессе решения задачи от паразитических свободных волн (170).
Этот способ, относящийся как к установившимся движениям, так и к периодическим движениям, состоит в добавлении к действующей силе тяжести некоторых диссипативных сил, пропорциональных скоростям частиц жидкости. Такие силы уничтожают своим воздействием свободные волны, и жидкость получает движение, вызванное лишь периодическими поверхностными силами или погруженным телом. Знаменатель подынтегральной функции осложненной задачи не будет ул<е обращаться в нуль на пути интегрирования, что дает возможность более свободно проводить вычисления и получить решение задачи, удовлетворяющее условиям излучения волн.
Устремляя коэффициент диссипации к нулю, получаем решение первоначально поставленной задачи, не содержащее лишних свободных волн. Войдем теперь в подробности метода Рэлея. Рассмотрим сначала неустановившиеся движения; в атом случае добавочные силы возьмем в следующем виде: э зз. о ВВедении мАлых РАссеиВАющих энергию сил ззт где а и 6 — левые части уравнений а (х, у, ~) = — С„р (х, у, р) = С„ изображающих траектории частиц жидкости, функция Р произвольна.
Формула (3) показывает, что если в момент времени г = О движение жидкости безвихревое, то и во все последующее время оно будет безвихревым. Таким образом, при наличии сил Рэлея соблюдается теорема Лагранжа о сохранении потенциального движения. При наличии этих сил уравнения гндродннамики удовлетворяются скоростями, зависящими от потенциала. Потенциал скоростей удовлетворяет снова уравнению Лапласа, а интеграл Бернулли приобретает вид —,= —,— уу — — у +( р+Й~). р д~р 1 р др г Для малых движений этот интеграл записывается проще: д +~ р д~р р дз (4) произвольная функция р" (р) может быть отброшена. Применим это равенство к открытой поверхности в точках открытой поверхности р = О, отсюда получаем открытой поверхности жидкости уравнение ч —; ~в~ + р'р~ =,.
(5) В точках открытой поверхности жидкости соблюдается кннемати- ческое условие (6) Рассмотрим теперь установившиеся движения и найдем граничное условие для открытой поверхности жидкости. Пусть с будет основной скоростью потока жидкости, а — дфдх и -д~р(ду будут малыми добавками к ее компонентам, так что д<р д(р и= с — —, и= — —. дх ' ду Рассеивающие силы возьмем пропорциональными этим добавкам: .А =Р—, У=Р— д<р д<р дх ' ду Исключая из двух равенств (5) и (6) функцию ц, находим граничное условие для потенциала скоростей при наличии снл Рэлея: 262 гл.
ь плоскАя 3АдАчА О БескОнечнО ИАлых ВОлнАх Уравнения гидродинамики приводят и в данном случае к интегралу Бернулли, который для малых добавочных движений пишется так: — =с — — бр+И р д<р р Отсюда уравнение поверхности жидкости будет записываться так: ц=И 1+9~1,=. (8) Присоединяя сюда кинематическое условие для поверхности жидкости получаем граничное условие для потенциала скоростей: доЧ~ р ду д дЧ~ 1 — + — — + — — 1 =О. дхо с дх со ду )о=о (9) З 60.
Установившиеся волны от поверхностного давления; периодические волны от подводного источника дох р ду д ду 1 1 др — + — — + —— дхо с дх со до )о=о рс дх Уравнение поверхности жидкости будет составляться по формуле 1 Г д<р 1 р(х) Ч = — (с — + рр( д ) дх !о=о рд Представим функцию р (х) в виде суммы двух интегралов: р(х) = ~ /1(й)созйхйй + ~ /о(й)з(пйхсй. (8) о о Такое представление функции р (х) вытекает иа интегральной В качестве примеров на применение метода Рэлея рассмотрим две задачи, уже решенные ранее другими методами. Предположим сначала, что к поверхности бесконечно глубокой жидкости, имеющей на бесконечной глубине постоянную скорость с, приложены силы давления, зависящие от координаты х; требуется определить вид поверхности жидкости.
Для определения потенциала скоростей будем иметь несколько измененное граничное условие (9) з 59. Если через р (х) обозначить давление, приложенное к поверхности жидкости, то вместо условия (9) з 59 будем иметь такое условие: 2З4 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Уравнение поверхности жидкости, используя формулу (2), запи- шем так: ОО р) = — ~~ г~ — — ~ —, — й~ сй1(11(й)созйх+ /о(й) зппйх) — + ссй о ОР + — ~ [уо(й) созйх — ~1 (й) з1пйх) — — —.
зр г нй р (х) рсо З А (й) о Придадим атой формуле другой вид, принимая во внимание равенства /, (й) соз йх + ~о (й) З1п йх =- Ве 1 (й)с '"", ~, (й) соз йх — /, (й) з)п йх = 1ш / (й)е '"", где С 1(й) = ~ (й) + 111 (й) = — ~ р (а) ео" Иа. Получим СО ео) = — йе~ ~ —" — ( —,— й) сй~ — е-ой" Ий+ о +с)" 1ш) ) (') е-сйхс)й — ' ( . (5) А (й) о Переходя в этой формуле к пределу )й = О, находим уравнение поверхности жидкости, находящейся под внешним давлением. Выполним такой предельный переход, предполагая, что внешнее давление данной полной величины Р сосредоточено в одной точке— в начале координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
