Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(2) Требуется по зтим данным определить соответствующее движение жидкости и вид ее открытой поверхности в каждый момент времени. Отметим, что задание импульсивного давления (1) определяет в момент времени 2 = О начальный потенциал скоростей во всей массе жидкости. Следовательно, поставленная задача равноценна определению движения жидкости по заданному начальному распределению скоростей всех ее частиц и по заданной начальной форме открытой поверхности.
Что касается граничных условий задачи, то здесь надо прежде всего отметить условие (4) з 1,которому должен удовлетворять на поверхности жидкости искомый потенциал. Первые же два условия (3) 2 1 здесь отпадают, так как жидкость не стеснена боковыми стенками. Что же касается третьего условия, то оно заменяется требованием обращения в нуль скоростей движения при неограниченном удалении от открытой поверхности в глубь жидкости.
Для решения задачи Коши — Пуассона существует несколько методов. Самым простым из них является метод, основанный на применении интеграла Фурье. Этот метод мы и изложим. Рассмотрим сначала частную задачу. Предположим, что в начальный момент времени поверхности ясгдкости не сообщено никакого изменения от ее равновесного горизонтального состояния и все движение возникает лишь от приложенного импульсивного давления.
Таким образом, г" (х) = О, и, следовательно, (3) 28з гл. и. плоская задача о нвтстлновившихся движвннях Уравнение Лапласа при любых значениях параметров а и й имеет частное решение следующего вида: ~р = А (а)его соз й (х — а) соз ац (4) здесь А (а) — произвольная функция параметра а. Если а взять равным р' уй, то это решение будет удовлетворять условию (4) т 1 и вместе с тем условию (3). Скорости движения, возникающие от потенциала скоростей (4), будут стремиться к нулю при стремлении у к отрицательной бесконечности. Заметив эти свойства функции (4), построим новый потенциал скоростей, интегрируя потенциал (4) по параметрам а и й соответственно в пределах ( — со, со) и (О, оо).
Получим новое решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условиям (4) з 1 и (3) и указанным условиям в бесконечности: ~р = ')дй ~ А(а)ео" соей(х — а) сов~/уй1да. Допустим теперь, что функция ~ (х) может быть представлена интегралом Фурье: О 1 (х) = — ~ е(й ~ р (а) соз й (х — а) да. (6) о Положим в формуле (5) у = О и е = О, получим Ф Ю ор= ~ дй ~ А(а)соей(х — а)да. о А (а) = — ~(а).
ЯР Отсюда искомое выражение потенциала скоростей, решающего поставленную задачу, будет писаться так: В О ~р = — 1 е(й ~ ) (а) ео" соз й (х — а) соз у' уй 1 да. ЯР 1 На основании общей формулы (5) 3 1 уравнение поверхности жид- кости запишется для любого момента времени е следующим обра- зом: О О ц = — — 1 е(й ~ р' уй/(а) соей(х — а)зш у'уйейа. (8) яРК', Сопоставляя эту формулу с формулой (6), устанавливаем, что на- чальное условие (1) будет выполнено., если функцию А (а) выбрать так: $2.
ЗАДАЧА КОШИ вЂ” ПУАССОНА ДЛЯ БАССВИНА 287 Формулами (7) и (8) решается первая часть задачи Коши— Пуассона. Рассмотрим затем вторую часть этой задачи, предполагая, что в начальный момент времени импульсивное давление не прикладывается к поверхности жидкости и движеооие вызывается распадением начальной, задаваемой формы поверхности яоидкости.
Таким образом, начальные условия для второй части задачи будут писаться так: р(х, 0; 0) = О, — ~З~~ = Р(х). ~ ~~=-о, о=-о Возьмем такое частное решение уравнения Лапласа, аналогичное решению (4): <р = В (а)еоо соя й (х — и) я(п аг, а = )/я72. (9) Предположим, что функция Р (х) может быть представлена инте- гралом Фурье: Р (х) = — ~ Й 72 ~ Р (а) соя 72 (х — а) е(а. 2Г о — а Частное решение (9) приводит к новому решению уравнения Лапласа, удовлетворяющему условию (4) 2 1: ср = ~ д!о ~ В(а) еое соя )о(х — а) я1п )Гфс2 да. о При 2 = 0 этот потенциал скоростей обращается в нуль, и если функцию В (а) взять равной е Г(а) я у',~' то потенциал скоростей Ю а = — ~ г((е ~ Р(а)еозсояй(х — а) е Юа (10) будет решать вторую часть задачи Коши — Пуассона.
Уравнение поверхности жидкости будет записываться так: С ц = — ~ Й(е ~ Р (а) соя (о (х — а) соя ~/ела)22 аа. (11) о — ю В силу того, что граничные условия задачи н уравнение Лапласа линейны относительно потенциала и всех его производных, решение полной задачи Коши — Пуассона с соблюдением начальных условий (1) и (2) получится простым слох<ением формул (7), (10) и формул (8), (11). 222 Гл.
11. НлоскАя 3АдАчА О неустзновнвшихся дВижениях з 3. Волны, образованные начальным концентрированным возвышением поверхности жидкости Допустим, что в момент времени 2 = О поверхность жидкости получила в области начала координат концентрированноевозвышение площади, равное единице, иными словами, предположим, что начальная форма поверхности жидкости задается в виде б-функции. Таким образом, функция г" (х), определяющая начальный вид поверхности жидкости, удовлетворяет условию Р(а) созй(х — а) оа = созйх.
( Допустим, далее, что в момент времени 2 = О к поверхности жидкости не приложены импульсивные давления, т. е. движение жидкости начинается без скоростей. В этих предположениях потенциал скоростей образовавшегося движения жидкости будет определяться формулой (10) 2 2 с учетом условия (1). Получим (2) о Преобразуем эту формулу к новому виду, пользуясь разложением Маклорена 51в )l ИК 1 С~ ( 1)о М о)" У'ХЬ А 1 (2о+ 1)! о=о Получим Т (дР)" ~ ЕО" СОЗ йХ йо 1(й.
л ~1(2о+1)! о=-о о Вычислим интеграл 00 5 = ~ е"Усозйх й"йс, о в котором у ( О. Имеем, полагая х + оу = з, дп Ю = Ве~ е 'оойо йй = Ве~Р— ( е"т*ай1 до" 2 о о = Ве~о — „— ~ = ( — 1) и) Ве —. Г.о-1 д 11 и ь" 1 д." ° 1 Положим з =- — огеО1, 1 3. КОНЦЕНТРИРОВАННОЕ ВОЗВЫШЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 232 тогда получим искомое выражение интеграла у: 7 = — „",', соз(и+ 1)8.
Подставим это выражение в формулу (3). После небольших преобразований найдем выраакение потенциала скоростей в виде следующего бесконечного ряда: 31 чЗ ( — 1)" ) 1а)" и, ~Л1 3.5... (2п — 1) (2п+1)( 2е ) соз(п+ $) 8. (4) Продифференцируем эту формулу по времени, получим п=а Для точек свободной поверхности угол 8 == -)-'/ая; отсюда следует, что уравнение поверхности жидкости для х .р 0 запишется так: ( — 1) ~ьп )а " пх А', ) 1.3 5... (4т+1) (, 2х / ее=а (5) Этот ряд легко суммируется; мы имеем — '„"„= 2+у(5), Ю(О) = О.
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем е ~ ~ е Я(5) = е' ~е ' оа. (7) а Установив этот результат, найдем связь между рядами (5) и (6). Из формулы (6) получаем 2 ) 1 + 1 ° 3.5 + 1.3.5.9 +'"' положим здесь $=е ' ~/ 1С Л. Н. Сретененпа Преобразуем этот ряд к новому виду. Для этого введем функцию Я Я), определяемую таким степенным рядом: 1 1 3+ 1.3.5 '''+1 35...(2п+1)+''' в.
концвнтшшовхннов возвышкнпк повкгхности я<идкости, представленное через интегралы Френеля: $~ в:о Г хвв Г хвв Г в — — )соз — ~ соз — твввт + ях ~' 2х [ 4х 2 У:; + зш — в зш — тавот~ . (9) 4х 2 о К (й) + йК' (й) = 0. (11) Решая зто уравнение, находим бесконечное число его корней 0 ~ йв ( йв ( йв ~- (12) имеющих предельную точку в бесконечности, ибо левая часть уравнения — целая функция переменного й. По подсчетам Коши, обратные значения первых десяти чисел (12) суть — = 0120..., — = 0,048..., = 0,030..., — = 0,022..., "в — =0017... "во 0,32536..., — = 0,069..., в 0,037..., 4 — 0,025...
а — = 0,019..., л, Две полученные нами формулы (5) и (9) позволяют: первая — вычислять ц для малых значений безразмерного параметра о Вв й=— а вторая — для больших значений параметра й. Вместе с тем эти формулы дают возможность установить общие закономерности распространения волн от местного начального изменения поверхности жидкости. Обратимся к формуле (5) и запишем ее в сокращенном виде: ц = — К(й), (10) где К (й) — бесконечный ряд атой формулы. Найдем для данного момента времени положения максимальных и минимальных ординат поверхности жидкости.
Дифференцируя предыдущее уравнение по х и приравнивая результат нулю, получаем 292 Гл. и. плоскАя зАдАчА О неустАновившихся дВижениях Перед каждым из этих чисел следует брать двойной знак. Знак минус отвечает волнам, идущим в направлении к — оо; знак плюс отвечает волнам, идущим к +эо. Обе системы волн симметричны друг другу относительно оси Оу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
