Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В этом случае имеем ~(й) = — „'. Отсюда формула (5) примет такой вид: О~ Функция Л (й) обращается в нуль для двух комплексных значений 11: й, = — -)- — 1, йо = — — — 1. ю В з р со с ' со С С 60. ВОЛНЫ ОТ ПОВЕРХНОСТНОГО ДАВЛЕНИЯ 265 Эти точки являются полюсами подынтегральных функций интегралов (6). Преобразуем эти интегралы, путь интегрирования— в отрицательную часть мнимой оси для х ) О и в положительную часть этой же оси для х ( О. При х) О необходимо принять в расчет вычет полюса й„ лежащего пинсе действительной оси; при х( Π— вычет полюса )сп лежащего выше действительной оси. Выполняя соответствующие вычисления, приходим к двум формулам: » эх ех Ф сУс = — 'е ' е '* — (~ А (х) )с Э Ь( — )х) ' с с Рх ех с с с Первая формула относится к положительным значениям х, вторая — к отрицательным х.
П помощью таких же вычислений получаем еще следующие две формулы, относящиеся соответственно к полохсительным и отрицательным значениям хз О» ~ с)с ( — — )с) — с()с = с — — — — х( — с + хс) 1»х ех»» ~ Х Кс » с с» Г (с = н()с+ — )е е — с~ е-"хс(х, с ) А ( — сх) с »с ~.й( — ', — й) —;"„",и= с Рх сх .
со» Х»( с с» » х( —., — хс) Г (с' = я()с — — )е е — с~ е"хе(х. с ) А (сх) с Применим эти формулы к преобразованию формулы (6). Получим для х) О Эх хе 2нд с . Хх + —,Ке~ ~сх( х +х()+ ) ( ~, — )и)1 ', с(х, с 266 гл, ь плоскАя ЗАДАЧА О БескОнечнО мАлых ВолнАх для х ( О получим емх — ц = — Ве ~ ~сх ( — — хс) + — ( — о + )сс)1 а (,, ) е~х. о Для дальнейших преобразований отметим формулы Ь( — ех) = ( — ) + ( —, +хе) Ь(ех)=(~ ) +(~, — хс) . Полученные выражения функции ц учитывают действие диссипативных сил; возвышение поверхности жидкости над средним уровнем стремится к нулю при увеличении (х). Устраним теперь диссипативные силы, устремляя коэффициент )о к нулю.
Для положительных х получим сэ лс 2яс . сх с С хе ""Лх — Ч = — — 'з'и — + — ~ Р рсо со рсо 2 со/се+ хо о для л ( О имеем нд с ( хеМХ а1х Р Ц = рсо ) Хо(се+хо о Интегральное слагаемое, входящее в зти две формульц стремится к нулю, как ~ х ~ ', при удалении от места приложения концентрированного давления.
Таким образом, вдалеке от места приложения етого давления вверх по потоку поверхность жидкости совпадает с горизонтальной поверхностью невозмущенного набегающего потока. Вдалеке же от приложенного давления вниз по потоку невозмущенная горизонтальная поверхность жидкости покрыта установившимися синусоидальными волнами длины )с = 2ясЧд и амплитуды а = = 2Р((рсо). Таким образом, введением диссипативных сил устраняется появление установившихся волн на поверхности потока вверх по его течению.
Рассмотрим теперь задачу о волнах, вызванных пульсирующим источником, находящимся на некоторой глубине й под поверхностью бесконечно глубокой жидкости. Предположим, что дебит источника меняется с течением времени, как ее соз оа Приняв такой закон изменения дебита, возьмем вспомогательный сток поглощения (е соз ад расположенный в точке (О, Ь). Потенциал скоростей взятых источника и стока о 60. ВОлны От пОВБРхнОстнОГО давления 267 будет оРо = — — соао1)п 0 хо+ (у+ й)о 4я *о+ (у — ь)о Представим потенциал скоростей всего движения жидкости через две неизвестные гармонические функции у, (х, у), уо (х, у), полагая ф (х,р) = оуо (х, У) + фо (х, У)сое бт + фо(х,р) з(п нд (7) Составим граничное условие (7) $ 59.
Принимая во внимание, что при у = О имеем д~ро дчро 'ро = — = — = О до дОо записываем это условие в виде двух самостоятельных условий для функции ~рт и уо: — О Р. + Ро Ро+ б — = — а —, з а р, а р, ду ду (8) — а ~ро — )ищ, + я — = О. о д~ро ду Считая движение жидкости симметричным относительно оси Оу, будем искать функции у, и уо в таком виде: О Ю ор, = ~ А()о)еоосое)охо)1с, <ро = ~ В()о)еоосое)охйо, (9) о о где А ()о) и В ()о) — искомые функции.
Правая часть первого из уравнений (8) может быть представлена в виде интеграла: СЮ вЂ” д — = — ~ е- осозххо)е. дРо УЯ Р о ду Подстановка этой формулы и формул (9) в условия (8) приводит к двум уравнениям для функций А ()о) и В ()о): — а'А -)- )осВ +- Р)оА = Яе "о, — Оо — )оаА + д)оВ = О.
Решая эти уравнения, получаем я В)о) ' к В(й). ' где В (л) = (ек — о')' + )о Отсюда получаем выражения функций ~рм оро и затем потенциала 363 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ скоростей (7): ф = — — сова()п е хо+ (К + й)о 4я хо+ (т — й)о + Ю + ~~ соват~ е-"" ~ ейосозйхай-(- ей — оо Р(й) о +е() в(псМ~ е-"" )" еоосовйх<й. о Пользуясь формулой (5) в 59, находим уравнение свободной поверхности: Ю о) ~ — = (рсоват — ав1па() ~ е-"" /О г ей— ( я Р (й) созйхдй+ о (Ю -(-(асоза(-)- )оз)па() ~ е-"" ~ созйхдй.
(10) Р (й) о Освободимся теперь от диссипативных сил, с этой целью найдем предельные значения интегралов формулы (10) при )о = О. Имеем е-"" ~ созйхйй = Йе~ е-й" ~ е'"хйс. о й — оо й — оо Р (й) — Р(й) о Перенесем интегрирование с действительной оси на положительную часть мнимой оси. Принимая во внимание вычет полюса подынтегральной функции й, = — (ах+ о)оа), 1 Ю находим сх х -'-"=+ = — "' " '-', "'-М-"-' " е-йо е еоох(цй е-й1ьеоо1х ~ е-4ьх е е-ххЦк (11) о о Совершенно так же преобразуем и второй интеграл формулы (10), имеем Р е йй ~~~ е'ох о)й = Р (й) о = — Е-йой )" омах+ 1 ( Е-ОЛк ) Е-охая (12) ей,-а' Р (йо) о Перейдем теперь в этих двух формулах к пределу, полагая )о = О. Я ЯО.
ВОЛНЫ ОТ ПОВИРХНОСТНОГО ДАВЛИННЯ 269 Предельное значение интеграла (11) запишется так: ам о*я — в г -4ях — е е +~ яя е е Ю 8~+~0~ е-вх Цх. о (1З) предельное значение интеграла (12) будет аы ах. и — е еее (14) е выражений (13) и (14) будут соответственно СО сох ( Ех соя йх — ав я1п йх и,) еохя+ ' о Действительные части аи х — — е е в1п е ам аов — е е соя— Ю К Таким образом, предельные значения интегралов формулы (10) найдены, и мы можем теперь написать окончательное решение аа- дачи; ая аΠ— — / авх Ч= — е е сов~ — Ф)— е ( аО . Г Ех соя хй — ав в1п хй — — в1п аг ~ ~, е-"" дх. о ао .
Г Ех сов хй — а'в!и хй в) = — — в)поз ~ х ) Еохя+ оя о и от начала координат будет отходить в отрицательную бесконечность прогрессивная волна ай — — ! сох в) = —. е е соз ~ — + О~) . Ю ~ е Это уравнение показывает, что от начала координат в сторону бесконечности отходит свободная прогрессивная волна, длина которой соответствует частоте пульсирующего источника. Вместе с этой волной на поверхности жидкости образовывается непериодическая, по координате х, волна, сходящая на нет при отходе от начала координат и обладающая частотой О; эта волна может быть названа стоячей волной.
Заметим, что в области отрицательных х будут образовываться стоячие колебания поверхности, определяемые уравнением 270 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Проведенное решение двух задач показывает пользу введения сил Рэлея, устраняющих необходимость специальных рассмотрений, связанных с условиями излучения. $ 61. Капиллярные волны Капиллярные силы, действующие на поверхность жидкости, часто бывают причиной образования чрезвычайно красивых и интересных по своим свойствам волн.мы укажем здесь главные результаты теории этих волн, основы которой были даны Рэлеем и Кельвином.
Заимствуем из физики закон Лапласа, согласно которому увеличение давления при пересечении поверхности жидкости пропорционально средней кривизне этой поверхности, т. е. главные радиусы кривизны Л, и Л, поверхности считаются положительными, когда соответствующий центр кривизны находится внутри части жидкости с давлением р; величина р, есть постоянное атмосферное давление. Величина я называется коэффициентом поверхностного натяжения, "числовая величина его зависит от температуры и от физической природы жидкости. Для воды — воздуха при 20 'С а =— = 74, для ртути — воздуха и =- 540 в единицах системы С6В.
Исследуем сначала стоячие волны на поверхности жидкости, учитывая капиллярное натяжение. Для плоских движений Л, = = со, и, следовательно, в формуле (1) остается в правой части лишь первое слагаемое, которое для волн малой амплитуды будет равно Предполагая существование потенциала скоростей, будем иметь для поверхности жидкости следующие граничные условия при у=о: дЧ дф дф а дал дг ду ' д1 р даат йц = (2) Найдем простейшие решения задачи, считая жидкость бесконечно глубокой; примем ф = Аез" сов )ех сов ог. Из первого граничного условия (2) имеем й т) = — — А сов )ех в(п О1, (4) ; ы. ьхш;ллнгныв волны 274 Подстановка этих двух функцп" во второе условие (2) дает связь между й и о: а'= дй+ — '.
аьв, (б) Р При а = О эта формула переходит в известную зависимость неладу частотой и длиной стоячей волны при отсутствии поверхностного натяжения. Коли же считать д = О, т. е. считать жидкость невесомой, то получим формулу для частоты чисто капиллярпой стоячей волны: и = 1с)/— Одновременно с потенциалом скоростей (3) можно взять потенциал скоростей ~Р = Аетл вш /сх в(п п~. (6) Потенциал скоростей, равный сумме двух потенциалов (3) и (6), будет давать потенциал скоростей движения жидкости гр = Аел" сов (лх — пг), (7) сопровождаемого распространением прогрессивной волны Ай Ч = — вш (йх — а~).
а Скорость движения этой волны будет определяться формулой е' = — + —. в ав (6) л р Преобразуем эту формулу к другому виду, замечая, что для значения '~~ ГР скорость с достигает минимальной величины е, равной Длина волны Л, отвечающая этой скорости, будет равна Л =2п~/— Отсюда формула (8) после небольших преобразований получает следующий зид: (9) 272 гл, 1. плОскАя зАдАчА О Бесконечно МАлых ВОлнАх Для небольших змачений отношения Ы7 главную роль играет в формуле (9) второе слагаемое и величина с будет скоростью чисто капиллярной волны: (1О) Наоборот, для больших значений ХЙ второе слагаемое будет незначительным и формула (9) принимает вид известной формулы скорости чисто гравитационной волны: с = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
