Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В дальнейшем мы рассматриваем вторую систему. Имея в виду значение параметра 1с, мы приходим к следующему занону распространения экстремальных ординат: Х12 1 Х12 гэ = йй 2 йз 2 1 Х12 Х1 й, 2 Таким образом, вершины волн и нижние точки долин распространяются равномерно ускорекно в обе стороны от начала координат в бесконечность. У каждой вершины и ках1дой подошвы волны— свое ускорение,и чем ближе к началу координат, месту возникновения волн, вершина или подошва волны, тем меньше ее ускорение. Абсолютная величина каждой максимальной и минимальной ординаты изменяется при движении экстремальных ординат обратно пропорционально квадрату времеви. Это заключение легко выводится из уравнения (10), из которого следует, кроме гого, что узлы волновой поверхности распространяются тоже равномерно ускоренно.
Положение этих узлов находится из решения трансцендентного уравнения 1~ (й) =- О. Обозначим через корни этого уравнения. Предельной точкой этих корней будет бесконечно удаленная точка. Каждый узел распространяется по закону 1 Х12 х= —,— (и = 1,2,...). 2 а В каждый момент времени предельной точкой узлов волновой поверхности является начало координат — источник всего волнового движения. Чем дальше отстоит от начала координат узел, тем больше его ускорение, следовательно, участок волны между двумя последовательными узлами неограниченно растягивается с течением времени, и так как экстремальные ординаты убывают обратно пропорционально квадрату времени, то этот участок волны стремится совпасть с осью Оай Все эти заключения о законе распространения волн получены иа уравнения (10).
Добавочные сведения можно получить из уравнения (9). Определим вид волновой поверхности около начала координат. Для малых значений л и при данном времени интегралы формулы (9) могут быть заменены их предельными 1 3. КОЕ1ЦВНТРПРОВАННОВ ВОЗВЫШГНПВ ПОЗНРХНОСТИ 2вз значениями: С соз —,то11т = ~ з1п — тое1т = — ф я. 2 э 2 2 о о Отсюда получаем (13) Зто уравнение показывает, что около начала координат скапливается бесконечное число узлов волновой поверхности и значения экстремальных ординат, заключенных между двумя последовательными узлами, неограниченно растут Л7Р при приближении к началу координат.
Зто несколько парадоксальное следствие про- ага веденного анализа имеет в своей основе самую сущность рассматриваемой задачи, а именно возникновение волн 4Ер от начального возвышения, сконцентрированного в одной точке. При распределенном начальном возвышении с таким следствием не встретимся. Замена полного уравнения (9) приближенным уравнением (13) допустима не только для данного времеви г и малых к, но и для ЕЕ гаа в Х б г а -б -в Рис. 22. Рис.
21. данного значения х и больших значений времени. В силу этого мы можем видеть, как в данной точке изменяется уровень яоидкости по истечении достаточно большого промежутка времени. Мы видим, что с увеличением времени колебания поверхности жидкости в данном месте происходят с частотой, все более н более увеличивающейся, притом размахи келебаний растут пропорционально времени, "это есть следствие того, что в начальный момент 294 гл. 11. ПлоскАя зАДАчА О ннустАновившихся двин11'ниях времени возвышение поверхности жидкости сосредоточено в начале координат и из него, как из неистощимого источника, исходят возмущения, распространяющиеся затем по всей поверхности жидкости. На рис.
20 и рис. 21 изображен вид поверхности жидкости в определенный момент времени; рис. 22 показывает, как изменяется с течением времени возвышение поверхности жидкости в определенном месте оси абсцисс. Эти рисунки получены расчетом величины т) по данным выше формулам (5) и (9). В 4.
Волны от сосредоточенного импульса давлений Возьмем формулу (10) з 2 и продифференцируем ее по времени, мы получим тогда формулу (7) З 2, в которой 7' (и) заменено через урР (а). Равным образом дифференцирование формулы (11) з 2 приводит к формуле (8) з 2 при указанной замене. Следовательно, решив задачу о волнах, возникающих от начального возвышения поверхности жидкости, мы получаем простым дифференцированием решение задачи о волнах, возникающих от импульсивного давления, приложенного к поверхности жидкости.
Применим зто замечание общего характера к определению волновых движений, возникающих от сосредоточенного импульсивного давления, прилоя1енного к началу координат. Составим и проанализируем уравнения для ординат свободной поверхности. Из уравнения (5) з 3 имеем С 4 ~ ~ ( — 1)~(2т+1) ( Х1З ~Зх+й ) яьм ~ 1 135...(4т+1)), вх ) (1) т=О Дифференцируя формулу (9) з 3, находим уравнение поверхности для новой задачи: — з)п — (т' — х ) от~ . (2) 0 Отметим, что величина импульса равна адесь рд. Полученные формулы приводят к ряду заключений о распространении волн. Как и в первой части задачи Коши — Пуассона, узлы волновой поверхности движутся в обе стороны от места прило1кения импульса в бесконечность равномерно ускоренно.
Чем ~ м волны от сосгвдоточвппого импгльсл дхвлвнгиз вэз дальше от начала координат находится узел, тем с большим ускорением он перемещается. Уравнение, определяющее положение экстремальных ординат на поверхности жидкости в данный момент времени, дч — = 0 ак имеет бесконечное число корней 0 < 7ед < Рсэ< 7с <... с предельной точкой в бесконечности. Отсюда вытекает что каждая экстремальная ордината уходит в бесконечность равномерно ускоренно: х= — — (и=1,2,3,...), 1 дР ь 2 и величина самой ординаты уменьшается по своей абсолютной величине обратно пропорционально кубу времени.
Подсчеты показывают, что ускорение первой максимальной ординаты равно 0,59763 д. Таким образом, расстояние между каждыми двумя соседними узлами неограниченно растет с течением времени и вся поверхность жидкости между такими узлами начинает очень быстро прилегать к среднему уровню. Уравнение (1) позволяет находить ординаты поверхности н<идкости для малых значений параметра ~~2 я = —. 2х ' т.
е. для больших значений к при данном времени, или же для данного х в начале волнового движения. Уравнение же (2) удобно для вычислений ординат ц для больших значений к, потому что для таких зкачекий этого параметра интегралы могут быть заменены их предельными значениями при Й = оо. Выполкяя вычисления, находим Из атой формулы можно вывести такие же следствия, какие были выведены из формулы (13) 1 3. Если величине ~ дать какое-нибудь значение, то формула (3) даст возможность определить вид поверхности жидкости около начала координат. При стремлении к к началу координат ординаты поверхности испытывают неограниченно учащающиеся колебавия. Экстремальные ординаты безграничво увеличиваются ко своей абсолютной величине.
296 Гл. и. плОскАя зАдАчА О неустАнОВиВшихся дВижениях Если же наблюдать за изменением Ч в данном месте, то будем видеть колебания уровня жидкости с безгранично увеличивающейся частотой и неограниченно растущими экстремальными ординатами. Ряс. 23. Рис. 24. Ряс. 25. Отметим, что нз уравнения (3) возможно определить в числах изменение частот колебаний уровня и увеличение экстремальных ординат. На рис. 23 и рис. 24 показана форма поверхности жидкости в определенный момент времени, а на рис.
25 показано, как изменяется в данном месте оси Ол возвышение уровня жидкости в зависимости от времени. 2 5. Примеры В двух последних параграфах были рассмотрены волновые движения, возникшие от концентрированного возвышения поверхности жидкости и от концентрированного пачальногоимпульса. Инсегрируя полученные формулы, можно найти уравнения зэ1 Р 5. ПРИМЕРЫ поверхности жидкости при начальном возвышении и начальном импульсивном давлении распределенного вида. Но можно прийти к целому ряду интересных частных форм движения на основе следующего замечания Коши. Рассмотрим потенциал скоростей ~р (х, у; г) волнового движения.
Функция ~р (х, у; г) есть интеграл уравнения Лапласа, с помощью этой функции можно построить новый интеграл уравнения Лапласа Г (х, у; Г) по формуле Г(х,у: г) = — + у —. дэу д~р дР ду Так как потенциал ~р соответствует волновому движепиро, то прн у = О гармоническая функция Г (х, у; г) будет обращаться в нуль во всех точках оси абсцисс.
Кроме того, при стремлении у к отрицательной бесконечности обе частные производные дет д~р дФ др стремятся к нулю в силу добавочного условия об отсутствии движения на бесконечной глубине. Отсюда вытекает, что введенная гармоническая функция Г (х, у; г) тождественно равна нулю. Следовательно, во всей массе ркидкости, обладающей волновым движением с потенциалом скоростей ~р (х, у; р), удовлетворяется не только уравнение Лапласа, но и уравнение параболического типа — +д — =Э. денар дх дР ду Уравнению (1) будет удовлетворять и гармоническая функция др Н(х,у;г) = — —... При постоянном значении у = с функция е дй Н (х, е; г) будет давать ординаты волны, бегущей по невозмущенному уровню у = е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
