Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 42
Текст из файла (страница 42)
зх 2Я (11) (12) Р)1 = Ф"ю р и д — два целых числа. Множество значений с, для которых имеет место зто особое обстоятельство, образует всюду плотное множество на интервале изменения с от с до оо. При наличии равенства (12) на д полных волнах длины )., укладывается целое число раз р волн длины йн Так как волны, обусловленные капиллярностью, имеют небольшую длину Х1 и амплитуда их может быть взята значительно меньше амплитуды волны дли- На рис.
18 показана кривая Г зависимости с от А, вычисляемая по формуле (9). Эта кривая имеет две асимптоты: первая из них дается уравнением (19), вто1т рая — уравнением (11). Из предыдущего следует, что часть кривой Г от бесконечно удаленной точки А до точки М мини,г мальной скорости отвечает вол- нам, в образовании которых / основную роль играет капилl лярное натяжение, часть же кривой Г от точки М до бесконечно удаленной точки В соответствует волнам, в формироваРис. 18. нии которых основную роль играет сила тяжести.
Отметим особо, что, в противовес чисто капиллярным и чисто гравитационным волнам, скорость распространения капиллярногравитационных волн имеет некоторое минимальное, отличное от нуля, значение с„, Кривая Г показывает, что каждой скорости с, превышающей с, отвечают две прогрессивных волны: одна малой длины Ц, другая же большой длины 7,. Некоторым значениям с могут отвечать две волны, длины которых соизмеримы между собой, т.
е. 1 зк клпиллягныв Волны 273 ны Л„то одна волна длины рЛ, = дЛ„взятая как сумма двух рассматриваемых волн, будет представлять собой й прогрессивных волн (каждая из которых имеет длину Л,), имеющих на своей поверхности бугорки и впадины числом р. Если жидкость имеет не бесконечную глубину, а некоторую конечную глубину Ь, то потенциал скоростей простейшего волнового движения будет иметь следующий вид: ~р = А сЬ Ь (у + Ь) соз Ьх соз о1. Уравнение волновой поверхности на основании первого гранич- ного условия (2) запишется так: т) = — — Аз)гЬЬсозйхзшаг. а О Второе граничное условие (2) приводит к соотношению между час- тотой а и числом Ь: н' = (йЬ + о Ьэ) 1Ь ЬЬ.
Если обе части этого равенства, определяющего частоту стоячей волны по ее длине 2яй, разделить на Ь', то получится формула связи между скоростью с прогрессивной волны и ее длиной Л = = 2яй: Введем в эту формулу величины с и Л, отвечающие жидкости бесконечной глубины, получим 1 э Г Л Л„, ~ 2яа с~= — с„„— + — % —. =2 (Л Л) Л (13) Скорость с достигает минимума для значения Л э, большего чем Л„, и определяемого из уравнения 4яа 4я'а зэ — ЗЛэ+— Л Р 4ял!Л дЛэ — 4Фо!р 1 2 с = — с„—.
2 Легко видеть, что эта формула совпадает с формулой (10). Для Подставляя в формулу (13) корень этого уравнения, находим минимальную скорость с' распространения волн. Для малых длин имеем формулу для скорости, не содержащую глубины бассейна: 274 Гл. 1.
плОскАя зАдАчА О весконечно МАлых ВолнАх больших Л формула (13) дает следующее значение для скорости: с' = дй Таким образом, для скорости с, находящейся между с' и у' уй, имеем две прогрессивные волны; длина одной волны заключена между значением корня Л, уравнения 1 с l Л Лх1 2ЛЬ уй= — с ~ — + — )1Ь— 2 (7 Л) Л и Л'; длина другой волны заключена между Л и ос. Для значений А с, превосходящих )/ уй, имеем лишь одну волну; длина атой волны заключена между О и Лд. Рвс. 19. Эта волна обязана наличию капиллярного натяжения. Общий вид зависимости с от Л показан на рис. 19. б 62. Капяллярно-гравитационные волны, образованные особенностями в потоке Метод, предложенный М.
В. Келдышем для определения волновых движений жидкости бесконечной глубины, вызванных присутствием особенностей в потоке, может быть применен к определению капиллярно-гравитационных волн, вызванных различными особенностями, находящимися в потоке. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением волновых движений, образованных погруженным в поток вихрем. Начнем с того, что укажем граничные условия для определения установившихся волновых движений при наличии капиллярных сил. Применяя, как обычно, интеграл Бернулли и условие, что частица жидкости, принадлежащая ее поверхности, остается во все время движения на поверхности, приходим к следующим граничным условиям для потенциала скоростей, вызванных волнами: дч д~р с д~р и дсч с — + — =О, 7)= — — +— дх ду ' д дх рд стхс Величина с — основная скорость потока; отсюда потенциал скоростей Ф всего движения запишется так: Ф = — сх+1р(х, у). Назовем через 1у (х, у) функцию тока, отвечающую потенциалу 1у (х, у); имеем между этими двумя функциями известные 2 82.
КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 275 соотношения: дф дф дф дф д = ду ' ду = дх ' Первое граничное условие (1) может быть записано так: Интегрируя зто уравнение, получаем формулу для определения ВОЗВЫШЕНИЯ 2): т) = ф(х, О) (2) Подставим это выражение во второе из условий (1), получим Преобразуем это условие, вводя в рассмотрение характеристичес- кую функцию течения и (г) = ф (х, у) + (ф (х, у), г = х + (у. Отсюда имеем дш дф . дф д2ш дсф .
дсф — = — +( — — = — +(— дс дх дх ' дс' дхс дхс ' Следовательно, условие (3) может быть переписано так: Г а' д2ш с дш Не~ — — — — — — ию1 = О; ) рд с)сс д с)г зто равенство должно иметь место для действительных значений г. Предположим теперь, что на глубине Ь под поверхностью жидкости находится точечный вихрь с циркуляцией х; на этот вихрь набегает поток, имеющий на бесконечной глубине скорость с.
Найдем те волны, которые образуются при этом на поверхности жидкости. Около вихря (О, — Ь) характеристическая функция течения имеет следующий вид: ю(г) = — )в(г+ Ь() + .. Составим выражение функции а~ с)сш сг дш И'(г) = — — — — — — йи рд дсс д дг около точки г = — Ьс'. Получим ах 1 2я ( + ) 2кд с+ А~ + 2ярд (с+ АС)2 + ' ' 276 Гл. 1. плОскАя 3АдАчА О Бксконкчно ИАлых ВОлнАх Внутри потока жидкости нет иных особенностей, кроме взятого вихря; следовательно, функция Г ас ~)22с сс Йс Р(г) = ~ — — — — — — (л21— рг Д22 г с)2 Гх хсс ах 1 1п( + ь() 1- — .
1 (5) 'Ь 2л 2лг 2+ йс 2лрг (2+ йс)2 1 будет голоморфной внутри всей области, занятой потоком. Но в то время как действительная часть функции И'(г) равна нулю для действительных значений г, действительная часть функции Г (г) не будет равна нулю для действительных значений г. Однако если к функции Р (г) прибавить выражение, сопряженное для г действительных тому, которое стоит во вторых квадратных скобках, то получим функцию Г' (г), действительная часть которой будет равна нулю для действительных значений г: Г ас с)2ю 22 с)ю 1(г) = ~ — — — — — — (ш1— 'ь рд а22 г ас ( х, хсс ах 1 — — 1п(г+ Ю) 2л ' + ' 2лг 2+ й1 + 2лрг (2+ й()21+ Гх хсс ах 1 + )ь — 1п (г — Ь() + — —.
+— 'ах 2лг 2 — й) 2лрг (2 — йс)2 1 ' (6) а1 Дсх 22 с)1с — — — — — — ЮУ = рг З22 г с(2 =С+ 1п 2л 2 — (я хс21 2 лд 22+ йс 2ахй1 2 лрс (22+ й2)2 ' Заметим, что за счет увеличения функции и2 (г) на постоянную величину 2С можно считать С = О. Проинтегрируем уравнение (7). Однородное уравнение 01 ЫЬс с2 <Ь вЂ” — — — — — (ю= 0 рг 122 д 222 Функция / (г) будет голоморфной в нижней полуплоскости, действительная часть этой функции равна нулю вдоль действительной оси Ох. Следовательно, функция / (г) может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость; на всей плоскости комплексного переменного г функция / (г) будет голоморфной. Если теперь наложить на искомый поток с характеристической функцией л2 (г) требование ограниченности этой функции и ее двух первых производных на всей плоскости переменного г, то по теореме Лиувилля функция 7' (г) будет приводиться к некоторой постоянной величине С.
Таким образом, выражение (6) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения искомой характеристической функции потока: в $2. КАПИЛЛЯРНО"ГРАВИтАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 277 имвот следующий общий интеграл: и = С,е'*+ С,е'*, (8) где Решим эти уравнзния относительно производных в1С,Яг и дСгЯг, получим с -ви ис, свг х г+ йв хсвв г — 1л —. — — —— 2х г — йв яе ге+ йг 2ахй И х е (г' + й')' 1 ' ! х г+йв хсм г 1а — —— 2х г — И хг гг+ йв .в вв Аае 2ахй Ег (гг 1 йв)г~ Для определения функций С, (г) и С, (з) отметим следующие фор- мулы: г+Ы 1 вв г+йв т Ге т т 11 е-в* 1п — с(з = — — е-вв! л — -)- — ~~ ~~ — — — в е-вгс)з, г — М г г — И г З1г+й7 г — йг71 Пользуясь этими формулами, находим выражения функций Сг (з) Для интегрирования уравнения (7) применим метод вариации произвольных постоянных, считая, следовательно, в формуле (8) величины С, и С, некоторыми функциями переменного г.
Для опрэдвления этих функций будем иметь два уравнения: е'" — '+ е'м — ' = О, в свСв в с~а в ав ( ЕСв ЕСв'в геввв в +Ееьв РК~ Ег г свг ~ г + йг хсзр г 2ахйг 2х г — йв хз Н+ йг хзс (гв.) йг)г 273 гл ц плоскАя 3АдАчА О Бесконвчно мАлых ВОлнАх и С, (г)1 Сг (г) — — —, г 1 сх „с+А( е-с!с ]и / 4ад ( 2хс, с — А( 1— рс~ (9) Сг(г) = —, а 1 ( х с+А! 1 — е-" 1п сс ъ /' 4аг ( 2хсс с — Ь1 ~/ 1 —— рс! Теперь следует назначить пределы интегрирования у неопределенных интегралов формул (9).
Чтобы это сделать, надо принять некоторые условия излучения волн. Число е, относится к волнам, в образовании которых главную роль играет капиллярность; наблюдения показывают, что капиллярные волны образуются навстречу потоку перед препятствием. Поэтому нижний предел интегрирования в первой из формул (9) возьмем равным оо, а верхний предел — равным г. Число е, относится к волнам, главное участие в образовании которых имеет сила тяжести; гравитационные же волны развиваются за препятствием; следовательно, нижний предел во второй формуле (9) следует взять равным — оо, а верхний предел — равным г. Приняв такие условия излучения, напишем характеристическую функцию (8), подставляя в нее принятые выражения функций С, (г) и С, (г). Получим х1 с+И и! (г) = — 1 —.— 2х с — А1 с с рс! Применим это выра!кение функции и (г) к определению вида поверхности жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
