Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ю Здесь указано лишь слагаемое, обращающееся в бесконечность прил=О. *) Здесь надо принять во внимание распределение знаков функции $га' + гг на обеих сторонах барьера. З44 гл, 1. плоскАя ЗАдАчА О вксконкчно мАлых ВОлнАх Определим для рассматриваемого течения вид волн на большом расстоянии от барьера. Для етого найдем действительную часть функции ш (г) для болыпих положительных значений г = = х. Определенный интеграл, входящий в формулу (43) з 55, имеет следулощее предельное значение для больших значений х: — ал Заменим здесь путь интегрирования от точки — ал и до со новым путем, идущим от точки — ал до точки ал (с обходом точки ~ = 0 маленькой полуокру;кностью) и продол,кающимся вдоль мнимой оси от точк~ а! до точки сел.
Будем иметь ал Я= — +~ е"аал (' е "ССа1Ь ~л.~/ал ! ~л З ~1 У'ал ! 11 Введем вместо ~ новое переменное интегрирования $ по формуле с = аЦ, получим для Я новое выражение: 1 ае ае1 аа ! ( е-ац ае а ) алу'1 ал ал З азу"аз — 1 1 (7) Положим 1 ! е~~Ы~ 1 1 е ааа1с д йл~'1 — 1 Дифференцируя функцию з, два раза по переменному а, получаем а111 1 ( е еег а~с йР а' ) улл 1 = — —., Ка(а).
1 аа (8) е!ал Отметим, что 1 з,(0) = — —., ае а ( аел ) 1 Интеграл правой части этой формулы есть фупкция Бесселя Ка (и) от мнимого аргумента; таким обрааом, 2 22. ВОлны пРи нАличии ВВРтикАльного БАРьеРА в',з Этп формулы дают возможность, интегрируя уравнение (8), выразить г, через функцию Бесселя: а 2,22,22 ~ + ~( ~) о (9) С помощью таких же вычислений можно выразить и гз через функцию Бесселя, имеем а го = — ",' а — —,~(а — р)12(р)ф. (10) о Теперь мы можем, пользуясь формулами (9) и (10), записать вы- ражение функции (7) так: а 1 à — — — ла — ай 2(а) — а ~ Ко (а) ((а|+ о а + —,~7, (а) — ~ !о(а) 2(а1.
(11) о Обозначим действительную часть величины Я через Яо а мнимую часть — через Яг: — ~2 + 2~2 Вернемся теперь к формуле (13) $ 55 и составим выражение ее действительной части для больших значений х, получим оо Веи (т) = — [Я,з!Нтх — Я,созтх). Отсюда находим уравнение поверхности жидкости, в удаленных ее частях, в следующем виде: ооо т) = — (-+ Яо соз тх — Я„В2п тх) з1п (ог + е). (12) го Верхний знак отвечает положительным х, а нижний знак — отрицательным значениям х. Рассмотрим затем течение, определяемое формулой (17) $55.
Отметим прежде всего, что возвышение поверхности жидкости антисимметричио относительно начала координат и равно нулю с обеих сторон барьера. Край барьера обтекается жидкостью с образованием бесконечной скорости в точке г = — а2, это вытекает из формулы (15) з 55. Найдем вид поверхности жидкости вдалеке от барьера. Для действительных поло;китольных больших значений х можно 24б Рл. 1.
плоскАя ЗАдАчА О БескОнечнО мАлых ВолнАх принять, что ао Ве и~(х) = — (Яз з1п тх — Яо сов тх), где *) 1 1 соз с»ь еч 1 1 з)в ас»)с ао з 1 ) Го)ч» ' оо э (1 +Го)"'» (1З) Отсюда а'о Т) = ('+ Яо Сов УХ »з з1П УХ) з1П (о1 + в)» (14) ху верхний знак берется для положительных х, нижний — для отрицательных х. Возьмем, наконец, течение, даваемое формулой (19) у 55. Поверхность жидкости имеет в этом случае следующее уравнение для всех значений х: т) = — — созвхз)п(о1+ з). о Ф (15) Для функций Ят Кз, Яз, Яо могут быть выведены простые приближенные формулы в двух случаях: для болыпих и малых значений а. Для болыпих значений и, т. е. для коротких волн, функция К, (а) может быть заменена через 1'Ф а интеграл « ~К,(а) да о может быть заменен его предельным аначеннем 1 Ко(а) да = — и. 2 о Благодаря этим формулам будем иметь для Я» такое приближенное выражение: 1 Г оз = — ~ — а( — я+ ) Ко(а) да) — ~à — па е — "~.
ао~ (,2 1 Г' 2 о «) Интегралы Яо и Ко могут быть представлены через функции Бесселя. Для Яо имеем следующее представление: а о"о = — оК,(а); о ао выражение менее простое можно найти и для Ко. 248 гл. ь плоскАя ЗАЛАчА О ввсконвчно мАлых ВОлнАх Отсюда имеем ~а=0, Яз= —., 1 аза (16) Формула для Яз, указанная в подстрочном примечании на стр. 246, приводит к следующей формуле на основании асимптотического разложения функции К, (а): 8з =- —,11' — яа е — .
— а аз У 2 (19) Найдем теперь формулы для определения величин Яо Яз, Яз, Яз для малых значений а, т. е. для длинных волн. Используя формулу (11), получаем для Я, и Яз следующие выражения: 1 я аз '''' 2аз (20) Рассмотрим затем функции Я и Яз. Беря указанное выше выра)кение функции Яз, находим (21) В формулах (20) и (21) не выписаны слагаемые, стремящиеся к нулю вместе с а.
Приближенная формула для Я имеет следующий вид: 1 Г 1 з з Яз = —.~а — — яа + 2а' — — яа +...1, аз~ 4 32 и получается из точной формулы (13) путем ее дифференцирования по а с последовательным устранением из подынтегральной функции членов разложения функции 1 (1+ 2з)"* по биному Ньютона. $ 57. Отражение прогрессивных волн от вертикального барьера Предположим, что из положительной бесконечности распространяется к вертикальному барьеру, погруженному на глубину Ь от поверхности, прогрессивная волна данной длины 2 н амплитуды 2А; требуется найти амплитуду отраженной волны н амплитуду волны, ушедшей за барьер в отрицательную бесконечность.
Составизз уравнение искомой поверхности жидкости в виде линейной комбинации с постоянными действительными коэффн- 5 57. О'П'Адкгник Воли От ВЕРТИКАЛЬНОРО 1»АРЬЕРА зае циентамн яз Дз Г Г Ьд, ܄— — ܄— — Ь, азо ' а'о ' лазо о правых частей уравнений волн частного вида, найденных в предыдущем параграфе. Используя уравнения этих волн в области больших значений ~ х ~, имеем из формул (12), (14), (4), (15) 8 56 уравнение искомой волны в следующем виде: 7) = Ь, ]+Яд соя тх — Я, япп тх] юп (ог + е,) + + Ьз ]+ Я» соя тх — Яз 8!п тх] 81п (од + ез) 1 +-Ьз ядп тх я1п (од + е ) + 64 соя тх зйп (о1+ е ). (1) Фазы е, входящие в указанные формулы $56, снабжены различными индексами, так как у каждой составляющей волны будет своя фаза.
Верхние знаки берутся для положительных х, нижние— для отрицательных. Выполняя простые тригонометрические преобразования, приводим уравнение (1) к следующему виду для больших значений ] х ]: 1 71 = — яш(тх+ од)]+-Ь»Я,сояе,+ЬзЯ»соя ез+Ь,сояе,— — Ь»Яд зйп е1 — ЬзЯз 81п ез+. Ъз 81п ез] + 1 + — соя (тх -]- од) ]-]- Ь,Я, 81п е, +- Ь,Я, яш е, + 6, 81п е, + + Ь,Я, соя е, + ЬзЯз соя е, -+ Ь, соя е,]— 1 — — 81п (тх — од)]+ Ь»Яз соэ 81.+ 65Я» соэ ез + Ь4 сОЯ е» + + Ь Я, яш е, + 6»Я» 81п е, +- Ьз 81п ез] + 1 -]- — соя (тх — о1)(+ Ь,Я, 81п е, +. 65Я» яш ез + Ь, 81п 8»в — ЬдЯ, соя ед — ЬзЯз соя е, +- Ьз соя е,].
(2) Уравнение волны, идущей из положительной бесконечности и набегающей на барьер, а именно уравнение падающей волны, можно записать в следующем виде, не теряя притом общности: 71: — — А]' 2 яш (тх + о1) + А ]1 2 соя (тх + од). (3) Отсюда следует, на основании уравнения (2), что между коэффициентами Ь„..., Ь и фазами е„..., е, должны существовать следующие два соотношения: Ь,Яз соя е, + Ь,Я, соя ез + Ь, соя е4 — Ь,Я, яйп е, — ЬзЯ, я! п ез + + Ьз 81п ез — — А]!2, (4) »Яз 81п е, + ЬзЯ» шп ез + 64 юп 84 + 6»Я, соя е, + ЬгЯз соя ег— — Ь, соя ез = А ]' 2. (5) 25О Гл. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Потребуем затем, чтобы из отрицательной бесконечности не распространялись волны в направлении к барьеру. Это условие дает, на основании уравнения (2), еще два соотношения: — Ь,$3 соя е, — 63Я соя ег + 64 соя е» + Ь,Я, яш е, + ЬгЯ, юп ег+ +Ь, ядп е, = О, (6) — Ь,Яг яш е, — 63$4 Бдп ег + Ь4 яш е, — Ь,Я, соя е,— — 6»$3 соя ег — Ьг соя ег = — О.
(7) При соблюдении полученных четырех соотношений уравнение отраженной волны запишется так: 1 т( = — — Бдп(тх — о1)(61$гсоаед-)- Ь,Я,соае, + Ь,созе, + + 61$дядпе, + ЬЯг вше, — Ьгяше,) + 1 + — соя(тх — о1)(Ь,Я,Б»лед+ 63$»Б1пе, + Ъ»Б1пе»вЂ” 2 — 61$»созе, — ЬгЯгсояег+ Ьг соя ез). (8) Из уравнения (3) следует, что уравнение волны, прошедшей за барьер в отрицательную бесконечность, будет 1 т) = — яш (тх + ае)( — Ь,Я, соя е, — 6,$, соя е, + Ь, соя е,— 2 — Ь»Я» яш е, — Ь,Я3 яш ег — Ьг Бдп е,] + 1 + — соя (тх + о1)( — Ь1$, щи ед — Ь3$4 яш е, + Ь» юп е» + + Ь»$1 соя яд+ Ь»Я3 соя ег+ 63 соя ез). (9) Соотношения (4) — (7) можно преобразовать к следующему виду: 1 1 Ь,сояе, + Ьгяшег — — =А, Ь,яше,— Ьгсояег — — — А, (10) )д' 2 )/2 $,Ь, яш е, — ЯгЬд соя е, + Я363 Бдп ег — Я Ьг соя ег = — А)д' 2, (11) Я,Ь, соя е, + ЯгЬ, Бдп е, + Я,63 соя ег + Я,Ь3 яш ег = — А уд 2.
Пользуясь соотношениями (10), можно исключить из уравнений (8) и (9) отраженной и прошедшей волны величины Ь соя е» и Ь4 яш е . После исключения получим уравнения зтих волн в таком виде: 11 = 2А соя (тх — О1 + /4я) — Бдп (тх — а1)($ Ьд яш ед + + ЯЗЬг Бдп ег — Ь, яш ег! — соя (тх — а1)(Я,Ь, соя ед + + ЯЗЬг соя ег — Ьг соя ег), (12) соя (Ух + О1)(Яддд соя ед+ Я363 соя ег + 63 соя е31 — жп (тх + ог)($»Ьд ядп е, + $3Ьг яш ег + Ьз юп ег(. (13) 57. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА ЗЗТ Таким образом, для определения отраженной и прошедшей волны необходимо знать шесть величин: Ь, соз е„Ь, е1п е„Ьз соз ез, Ьз з1п ез, Ьз соз е„Ьз зьп ез.
(14) Но для определения этих величин мы имеем лишь два уравнения (11). Следовательно, необходимо принять некоторые дополнительные условия, которые позволили бы найти все шесть неизвестных (14). Без соблюдения каких-либо добавочных условий поверхность жидкости будет иметь с обеих сторон барьера бесконечные ординаты, а скорость частиц жидкости на ребре барьера будет равна бесконечности. Эти заключения вытекают из формул (3), (6) $56 и из формулы (15) ~ 55. Для малых положительных х имеем Ч = ( — д,з1п(ог+аз)+ — „Ьзз1п(ог+ез))1п)тх(; (15) 1 для отрицательных х с малой абсолютной величиной имеем Ч = — ~ — дз з(п (О1 + е,) — — Ьз е(п (О1+ ез)~ 1п ( тх ). (16) 1 а я У 1 — Ь, соз е, — — Ьз соз ез = О, а я У 1 — Ьз з(п ез — — Ьз зш ез = О. а Я (17) Эти уравнения удовлетворяются, в частности, нулевыми значениями Ь, и Ь, и в таком случае система уравнений (10) и (11) приводит к следующему результату: Ьз"сов ез — —,' ' А 'г' 2, 3+ 4 А Ь, з1п еа = = а' 2 Уравнения (12) и (13) отраженной и прощедшей волны запишутся Наличие логарифмов в этих формулах, а равно и в формулах для соответствующих функций и (з) указывает на присутствие источников и стоков жидкости в двух точках пересечения барьера с открытой поверхностью жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
