Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Такое отображение устанавливается формулой Швар- ца — Кристоффеля и имеет вид 1 =-~К+1)( — '„~)'" где Н вЂ” действительное положительное число: (9) 1 1 Ыногозначные функции (Ь вЂ” 1)11 и (~+ 1)'1 принимают действительные положительные значения для действительных значений ь, больших чем 1 и — 1 соответственно. А пю Е А Ю 17 С Ю Г Ю О. ~Ж Рис. 16. Рис.
15. На рис. 15 и рис. 16 показано соответствие точек плоскостей комплексных переменных з и Ь. Условимся обозначать через г" (~) результат преобразования функции И',(з) к ~временному 1",. Функция И',(х) принимала действительные значения на действительной оси и в точках барьера. Проведем в верхней полу- плоскости переменного г отрезок прямой, симметричный барьеру относительно действительной оси. Из точки пересечения барьера и действительной оси опишем, как из центра, окружность Г радиуса а. Функция И11(г) имеет действительные значения на действительной оси; следовательно, зта функция,первоначально рассматриваемая в нижней полуплоскости, может быть аналитически продолжена через действительную ось в верхнюю полуплоскость.
Таким образом, функция И11 (г) будет определена на всей плоскости комплексного переменного з. Потребуем, чтобы зта функция была голоморфной вне окруяспости 1'. Это есть дополнительное условие. При введении комплексного переменного ~ мы будем иметь тогда функцию И', (з (~)) = г' (ь), голоморфную во всей плоско- 1 Ь«. ВОЛНЫ, НАБЕГАЮЩИЕ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 333 сти переменного ь, снабженной разрезом от точки ь = — 1 до точки Ь = 1. На всей действительной оси'функция Г'(Ь) имеет действительные значения. Для дальнейшего исследования задачи целесообразно ввести вместо переменного ь новое переменное Л по формуле 1 ( 1 ) (10) 3 54. Волны, набегающие на вертикальный барьер При изучении вопроса об отражении прогрессивных волн от наклонного дна мы допускали «галичие особой точки у функции И', (г) в точке пересечения дпа бассейна со свободным уровнем жидкости.
11ри изучении задачи о волнах, преграждаемых в своем движении барьером, мы также вводим на границы потока особые точки. Таких точек в нижней полуплоскости переменного э будем брать трн. Одна особая точка будет на краю барьера при э = ае "', две другие точки будут помещены на свободной поверхности жидкости в местах ее пересечения с двумя сторонами барьера *). Таким образом, мы должны, взяв функцию И', с особенностями на границах потока, найти такой интеграл дифференциального *] Здесь на полях оригинала имеется эамечаняе автора: «Сь«.
работу [193[е. Этим новым конформным преобразованием плоскость Ь, имеющая разрез ( — 1, 1), преобразуется во внешнюю часть окружности ) Л [ = = 1; при этом самой окружности будет отвечать на плоскости Ь разрез ( — 1„1) (рис. 17). Ол В согласии с предыдущим г' (ь), как функция переменного Л, будет голомофной впе окруж- -'«В д 7 Е ности ! Л ! = 1, и мнимая часть этой функции будет равна нулю на окружности ! Л [ = 1, а равно и на действительной оси пе- С ременного Л вне окружности.
Ряс. 17. Если предположить, что функция И; не имеет никаких особенностейна окружности! Л) == 1, то эта функция, имеямнимую часть, равную нулю на окружности, будет тождественно равна нулю для всех значений Л. Но мы можем наделить функцию И'„ особенностями на окружности ) Л) = 1, чтобы получить более полное решение задачи. 234 гл. 1, плОскАя 3АдАчА О Висконнчно МАлых ВОлнАх уравнения ео — т Е л' «(и ат — ( — + (тв) = И;(г), ,)га (,,гг а=а который удовлетворял бы первоначальным граничным условиям (1) и (2) з 53. Определение такого интеграла требует', длинных вычислений, и мы ограничимся лишь рассмотрением самого простого случая *), когда барьер расположен вертикально, и, следовательно, число д = 1. Для этого частного случая уравнение (1) принимает вид аеи, ыю ~~2 + (2) Составим сначала выражение функции И~„(г) в переменном ).
Мы можем наделить функцию Иг, (г) любыми особенностями на окружности ~ Х ~ = 1, но так, чтобы мнимая часть этой функции была равна нулю па этой окружности, а также и на действительной оси переменного А вне окружности. Выберем функцию И', (г) так, чтобы она имела в точке ), = 1 полюс первого порядка, совмещенный с полюсом второго порядка. Положим Предположим теперь, что на окружности ) А ~ = 1 в точке ) = — 1 находятся полюсы первого и второго порядка. Положим И', = — + —, ч1 та ). -(-1 (),+1)е ' числа о, и де имеют действительные значения.
Условие 1шИ», = О на окружности ( А ) = 1 показывает, что д, = — дт; положим д, = — да = 1. Следовательно, 1 Л "' — 1+1 — (), + 1) — (А+1) а) Общий случай рааобрав в статье [99). Игт = — — +— Р1 Ре — (). — 1)е ' числа Р, и рг должны быть действительными.
Из требования 1ш И', = О на окружности ~ ) ~ = 1 получаем р, = р,; примем Рт = Рг = 1. Следовательно, ). (А — 1)т ' Возвращаясь к основному переменному г, получаем по формулам (9) и (10) 9 53 е 1 И~,(г) = — Ц/а + га — (г — а)) + —, Ц/ а'+ ге — (г — а))а. (3) ~ Еп ВОЛНЫ, НАБЕГАЮЩИЕ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЙ БАРЬЕР ВЯЧ ИЛИ И'1(з) = — — []/го + ээ — (3 + а)]— 1 — 4,, []' а'+ з' — (э + о)]' Допустим теперь, что функция И', имеет в точках Л = — 1 и Л = — 1 полюсы первого порядка.
Примем Игг — — —. + —.. г1 гэ — Л+ с г1 =- р1+ [рм гг = р1 [рз. Вычисления показывают, что 1ш И', будет равна нулю на окружности ] Л ] = 1 лишь при условии рэ = О. Примем р, = 1, тогда будем иметь 2Л = Лэ+~ ° или (5) Рассмотрим, наконец, более сложный случай. Допустим, что в точках Л = 1 и Л = — 1 находятся полюсы второго порядка; тогда а,+ М, 8~ — ВН г (Л,)э + (Л+ Оэ Условие 1ш И', .= О для Л действительных соблюдено. Рассмотрим условие 1ш И", = О для ] Л [ = 1. На окружности ] Л ] —— = 1 комплексное число Л может быть представлено так: Л=[+2апбе и (7) Отсюда будем иметь 1шИ", = (г,-]- —." ]ссд20.
па 20 ! (6) Правая часть этого равенства ни при каких г, и гане будет нулем при всяком угле 6. Следовательно, функция (6) не может служить правой частью уравнения (2). Имея в виду это обстоятельство, добавим к функции (6) новую функцию с полюсами третьего порядка в точках Л = 1 и Л = — 1: ~,+Н, + г,— Нэ (9) г (Л,)з (Л Р Оэ Так как функция И', должна иметь на действительной оси пере- менного Л действительные значения, то коэффициенты г, и гз долж- ны быть комплексно сопряженными числами: 23() гл.
ь плОскАя ЗАДАЧА О Бесконкчно мАлых ВОлнАх принимает действительные значения на окружности ! ) ! = 1 и на действительной оси комплексного переменного г.. В зависимости от начального комплексного переменного г эта функция запишется так: аз И'1(г) = (аз+ гз)'" Ограничиваясь лишь взятыми особенностялги, мы должны, таким образом, определить интегралы следующих дифференциальных уравнений: нгм аз+ а' 2 (! + ( ))+4Ф(! + (12) азы , ази~ — + рг — = азгг г(г =- — — !'у а 2г + гз — (г + а)! — —, ц/ а' + гз — (г + а) !', 2(зза .
азм а (18) (14) азгза . 2)ю аз — г+ (т — = азг г)г (аг ( гз)'Ь (15) При действительных козффпцпепгах 12 н 12 эта функцня удовлетворяет для действительных ) необходимому условию: 1ш И', = О. Иа окружности ! 2, ! = 1 имеем Г "+"* ' —" ! ( ' " '.",'" (,~с(б20.
(1О) ( ()„Оз 1 (г ( г)з 1 ( 2 Мв20 ггвз20 ~/ Используя эту формулу и формулу (8), получаем для мнимой части суммы функций (6) и (9) такое выражение: ,+ы,,— ы, 2,+н, з,-и, 1 (А — ) + (Л+1)' + (Л вЂ” О' (Л+1)' ! Это выражение будет обращаться в нуль при любых углах О, если коэффициентам г„гг, 1, и гг придать следующие значения: з г,=О, г,= — — 1„(2=0. Коэффициент гг остается произвольным, и ему удобно приписать значение 1.
Таким образом, функция (з, ( з. 1 1 И'= т' ( + )з 2 ' ( — )з + ( + )' + ( — )'.1 = 31з (йг) ()з ( ) ~ зм гкшкнив тэавнкнии для фтнкции зм з 237 Эти интегралы долхапы удовлетворять двум условиям (1) и (2) $53: 1ш( — + ппз) = О, Ве( — „~ ) = О. (16) $ 55. Решение дифференциальных уравнений для характеристической функции мз('я ) Всякая линейная комбинация с произвольными постоянными действительными коэффициентами, составленная из интегралов системы уравнений (12) — (15) з 54, может быть взята в качестве функции И",(г) в дифференциальном уравнении (2) 2 54.
Заметив это, упростим систему уравнений (12) — (15) 4 54. Обозначим через Яз (г), Яз (з), Яз (г), Яз (з) правые части последовательно уравнений (12) — (15) т 54. Не представляет труда проверить следующие равенства; аа ЯЗ вЂ” ЯЗ =— ЗЗ ' аа 8З+ ОЗ вЂ” ОЗ = Ы Уаа+за Получив эти равенства, мы можем заменить систему уравнений (12) — (15) 4 54 следующей системой, более удобной для исследо- вания: аЗЗза . а'и а' — + ре — =— аЗза аЗа за ' аЗ (2) за )газ + зз аЗЗза .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
