Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(1) В этой формуле функция Грина С обладает соответствующей особенностью, ко не иетеет, как обычно, нулезу|о нормальную произ- 8 л. н. сретенераэ 32С гл. к плОскАЙ зАдАчА О ввскопвчно мАлых ВолнАх водную на контуре, а имеет нулевую нормальную производную на эллипсе, обладающем касанием третьего порядка в текущей точке контура. Благодаря этому формула (1) приводит к интегральному уравнению, ядро которого имеет малые значения в точках контура и стремится к нулю при неограниченном возрастании частоты колебаний. В силу этого полученное интегральное уравнение возможно решать с помощью итерированных ядер, приводящих, при большой частоте колебаний, к сходящимся рядам. Изобретенный им метод Эрселл приложил к решению акустических задач и к решению задач о колебаниях с большой частотой полунагруженного круглого цилиндра и о прохождении коротких волн над погруженным цилиндром.
Метод Эрселла был приложен затем Хольфордом к решению задачи о волнах, отходящих от плавающей пластинки в обе стороны от нее, когда пластинка совершает вертикальные и угловые колебания с большой частотой. Вместе с тем была решена задача о коэффициентах прохождения и отражения коротких волн от плавающей пластинки. Решение этих задач, предложенное Хольфордом, было значительно упрощено Леппингтоном.
Полное и точное изложение метода Эрселла и тех его приложений, которые были сделаны дальнейшими авторами к задачам гидродинамики, требует исключительно много места, поэтому мы ограничиваемся лить библиографическими указаниями [130[, [140[, [141[, [194[, [196[, [198[. $ 52. Волны на поверхности канала с очень пологим дном Вернемся к рассмотренной выше задаче о волнах, возникающих на поверхности канала, дно которого составляет с горизонтом угол а, равный целой части от 90': я а = —. 2д ' Для изучения волн, распространяющихся по мелководью, наибольший интерес представляют весьма малые значения углов а. Для таких углов число д будет значительным и формулы, определяющие вид свободной поверхности, будут представляться суммами большого числа членов, что во многих отношениях неудобно для анализа.
Отсюда возникает задача о получении асимптотических формул, удобных для определения вида поверхности жидкости при больших значениях числа д. Изложим способ получения таких формул, не останавливаясь, однако, на всех деталях вычислений. 1 ээ. ВОлны нА пОВеРхнОсти кАКАПА с пологим дном 227 Представим искомую характеристическую функцию течения в виде Аинтеграла метода Лапласа: Определение функции д (ь) приводится к решению функционального уравнения (5) э 49 относительно функции й Я). Найдя функцию й (~), мы находим функцию д (~) по формуле (4) э 49.
Мы ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда произвольная однозначная функция ле (ь) аргумента ~"'" берется равной постоянному числу а. При таком выборе функции д, (~) возможно найти два разных пути интегрирования: Г, и Г„из которых первый определяет возвышение поверхности жцдкости, конечное около начала координат, а второй путь Г,приводит к поверхности жидкости с логарифмической особенностью В начале координат.
В рассматриваемом случае функция Ь (~), удовлетворяющая уравнению (5) э 49, может быть выражена через функцию Л (~), введенну1о в Э 43: Л (ь) = (ь + Ь) ($ + Ьк)... Я + 1дкч-э). В этом можно убедиться простыми вычислениями. Таким образом, функция ю (э) может быть' представлена так: ю(г) = и ~ е'с —.
~ее4 ~л(р ' (2) г Если угол а мал, а следовательно, число д значительно, то произведение Л (ь) будет содержать большое число множителей; наша задача заключается в том, чтобы найти асимптотическую формулу для произведения, состоящего иа большого числа множителей. Прежде всего введем вместо функции Л Я) новую функцию ;У (~), полагая Л (Ь) = 1т~эе Ю (Ь), где у ) ( 1 1 )( 1 1 ) ( 1 1 ) ь»= — 1те е (й= 0,1,2,..., е — 1), Найдем логарифм функции Я (Ц, будем иметь ЗЗЗ ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Применим к вычислению правой части этого равенства формулу суммирования Эйлера — Маклорена (3').
Согласно этой формуле имеем 1 или 1п 7(1",) = — 1п:+)1~1П(л — — — е'™)((о. 1 о — (Ь Г /1 1 — 2 .+~ ') ~~ ° ) о Составим теперь формулу (2); вводя обозначение 1 1Н Н (ь) = — Я ~1п(л — — — е™) ((о = ~ агс(Я 1( —, д)» 2 1 1 ~ ~ ) )о будем иметь (а Г Г о+ (4 — [аоо — н(о)) Н~ к)(з) ф е о. о ~~ (3) — [ах(. — Н(~)) д д(, обращается в нуль. Таких точек будет по одной для каждого из двух путей интегрирования Г. Выполняя подсчеты первых членов асимптотических разложений, получаем два выражения функции )а(х): 1 1 Г 2яа Х вЂ” о(л)+ — ы юл,о(х) = — (1+-)о) ~ —.
ае а — о ' ;(А) (4) где 1 ()о) = ) + (1 — )о) агой )о, л й()о) = агой)о+ ~агой )( —" о Отметим, по таких функций (е (г) будем иметь две в согласии с выбором пути интегрирования Г. Для входящего в эту формулу определенного интеграла можно установить асимптотическую формулу для малых значений а в предположении, что произведение атх имеет некоторое заданное значение. Асимптотическая формула для интеграла (3) получается методом седловой точки, если найти на плоскости комплексного переменного ~ те точки, для которых производная 1 53.
ВОЛНЫ В 11РИОУТСТВИИ НАКЛОННОГО ВАРЬВРА параметр Х определяется через аух из уравнения атх = Х агс5Ь Л. Для малых значений аух ) 0 имеем из (4) следующие асимптоти- ческие формулы: ~'™ -М и11(х) == 2)/л а )/ — зш юг (х) = 2 г' л и 14 —" соз Для больших значений аух имеем на основании формулы (4) ,ла «1 — — ( — + — +Б«) ю, (х) = — 2 2ла ае «ч ы и>5(х) = 2 2лаае С помощью этих формул можно представить, в удаленных частях бассейна, прогрессивные волны, идущие из бесконечности на берег, в следующем виде: 2О .г — / л5 1 5) = — — а )1'2ла соз ~ Ух + о1 + — — — л ) .
х За 4 з 53. Распространенне волн в присутствия наклонного барьера Метод решения задач теории волн, основанный на составлении и интегрировании линейных дифференциальных уравнений, может быть применен к определению тех изменений, которые вносятся в распространение простых синусоидальных прогрессивных волн препнтствием в виде прямолинейного барьера, идущего от поверхности жидкости до некоторой глубины, с данным углом наклона к х горизонту (рис.
14). Решение такой задачи может быть получено соответствующим изменением соображений, изложенных Рис. 14. в $ 41, если угол а наклона барьера к горизонту равен целой части от 90', положим а =-- .л1(211). Вдоль открытой поверхности жидкости, которой отвечают действительные значения з, имеет место условие 1ш( — "; +1 ) =О. (1) С обеих сторон прямолинейного барьера должно выполняться 230 гл. 1. плОскАя 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВолнАх условие обтекания этого барьера ( '„) =о. Это условие имеет место для следующих значений ьс з = 1е "', О ~( г ( а, (2) а — длина омываемой части барьера. Возьмем р — 1 каких-нибудь действительных чисел а„а,...
..., ар 1 и составим следующую сумму: Р— 1 а" гав И',(е) = з аз — ( — + 1тш) . ае(, аа 1=1 В силу условия (1) функция Иг, (г) принимает действительные значения вдоль свободной поверхности жидкости г =- а. Возьмем затем р каких-нибудь других действительных чисел с„с„..., ср и составим сумму а11 ~ И',(з) = ь сте — "~1 — „. аа" 1=1 а„а„..., ар „ (3) С1,С,..., Ср„ер, чтобы имело место тождество р Р— 1 Е-",-~ .( а'ю ч-1 а" г ь сзе — ""' — = ~ а„— ~ — + 1тш) (4) а 2~ 1=1 1=1 для всех значений комплексного переменного г и при любой функции и (з). Сравнение коэффициентов при производных различных поряд- ков в этом тождестве приводит к следующей системе уравнений для определения действительных чисел (3): с1е "' = 1та1, сзе — '"' = 1та, + а1, Сзс — "' = 1таэ+ а„ (5) С Е-(Р Ые = 1та 1+а Се — раа = а1 Из условия (2), путем его дифференцирования вдоль барьера, следует, что функция И', (г) принимает действительные значения в точках обеих сторон барьера.
Заметив это, поставим задачу так определить действительные числа 1 За. ВолнЫ ВХПРИСУтствии НАКЛОННОГО вАРЬГРА В31 Рассмотрение этой системы уравнений показывает, что для угла а = и! (2д) все неизвестные а„а„..., а, „ с, сю...,сег равны нулю, и система (5) принимает следующий вид: се — ем=1ра я ш с +1е Ы+г1еа = 1уа +г + аю с +,е <~+Юм = 1та 1з + а,+м (6) ср,е — 'Р 1'"' = 1кар, + ар — м се р«' р ар,. Оставляя пока в стороне последнее уравнение, находим из всех остальных следующие рекуррентные соотношения: а 1= — с161а а+1 „с+1=— е р ' 3!и 1а (1=1 2,, р — д — 1).
а,11 = — е его 1а ссай (1' — 1) а... с$8' а (1 = 1, 2,..., д — 1); (7) число ас остается произвольным. Аналогичная формула может быть написана и для се~1. Таким путем могут быть составлены выражения тождественных друг другу функций И', (з) и Из (з): зе — 1 ,1а И', (г) = — И'з (г) = гр аз — ~ — + 1тш) . ,Р~ ее (8) М=д Подчеркнем, что по самому своему построению функция И', (з) принимает действительные значения на действительной оси плоскости комплексного переменного г и на двух сторонах барьера: г= ге"'.
Таким образом, определение функции ш (з) приведено к опРеделению такой функции И', (з) комплексного переменного, которая обладала бы свойством, указанным в предыдущем абзаце. Чтобы найти функцию И; (з), отобразим нонформно нижнюю полу- плоскость переменного з, имеющую разрез ВС17 вдоль барьера, Система (6) может быть удовлетворена при р = 2д и сзе —— -- — аз,, Установленные РекУРРентные фоРмУлы Дают Дла аз+1 слеДУющее выражение: 232 гл 1 плоскАя 3АдАчА О весконнчно мАлых ВОлнАх на нижнк1ю полуплоскость вспомогательного кохшлексного пере- менного ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
