Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Это показывает, что в область, ограниченную двумя арками косинусонд т), и взятую между ее двумя последовательными узлами, вписывается значительное число арок синусоиды т)1. Так как амплитуды косинусоид цт стремятся к нулю с возрастанием времени, то при этом будет наблюдаться в данном месте своеобразное явление биений с неограниченно уменьшающимися общими отклонениями уровня жидкости от равновесного его положения. В добавлении ХЧ1 к своему основному мемуару по теории волн Коши рассмотрел, помимо сейчас приведенного, еще целый ряд других примеров распадения начальных возвышений поверхности ятидкости. Эти примеры, как н разобранные выше, указы- $ З. ВЛССЕЙН С РАВНОМЕРНО ПОНИЖАЮЩИМСЯ ДНОМ вают на всю сложность и своеобразие движения волн, возникающих даже от самых простых начальных форм поверхности жидкости.
Такая сложность и в некоторых случаях запутанность в распространении волн могут быть объяснены наличием дисперсии рассматриваемого нами волнового процесса. з 6. Задача Коши — Пуассона для бассейна с равномерно понижающимся дном Рассмотрим бассейн, дно которого представляет собой прямую линию, наклоненнук~ к горизонту под некоторым углом а. Допустим, что в начальный момент времени поверхность жидкости получила какое-то изменение своего равновесного горизонтального вида, а частицам жидкости сообщены некоторые начальные скорости, зависящие от потенциала.
Требуется определить по этим данным последующее движение жидкости и, в частности, форму ее открытой поверхности в любой момент времени. Впервые эта задача была рассмотрена Б. Н. Румянцевым, который решил ее с помощью интегральных уравнений в предположении, что угол а — целая доля от 90' [35). Мы изложим решение этой задачи с помощью соображений, которые были использованы Б.
Н. Румянцевым и которые основываются на приеме, позволившем решить задачу Коши — Пуассона для бассейна бесконечной глубины. Рассмотрим сначала движение жидкости, возникающее лишь от начального импульсивного давления, приложенного к поверхности жидкости.
Следовательно, начальные условия задачи запишутся так: рФ(х, 0; 0) = ~(х), — (*' ' = О. (1) В з 42 гл. 1 был найден потенциал скоростей собственных колебаний жидкости в бассейне, дно которого наклонено к горизонту под углом а = я/(2д). Этот потенциал дается формулой (6) з 42 гл. 1; перепишем эту формулу, полагая в ней е = 0 и заменяя О через р а, получим ~р (х, у; г) = з — ~ = Ссоз ф'втйе ~ е4 ~ сздасйд2а... Сйд)ае~~'*, (2) у=О где ~~у м ц 30) А;= — — Е У Коэффициент С произволен, будем считать его некоторой функцией параметра а и проинтегрируем обе части формулы (2) по этому параметру от 0 до Ос. В результате получим потенциал скоростей йОБ гл.
и. НлоскАИ 3АдАчА о няустАновившихся дВижВниях некоторого неустановившегося двия1ения жидкости: Ф(х, у; г) = ~ К(х, у; а)С(а) соз'у'а~йо. (3) О Здесь для краткости записи через К (х, у; а) обозначена действительная часть той суммы, которая входит в формулу (2). Определим теперь функцию С (а) так, чтобы были удовлетворены начальные условия задачи (1). Второе из этих условий удовлетворяется само собой, первое же приводит к интегральному уравнению для функции С (а): О ') й (ах) С (а) йо = ~ (х). (4) О Ядро этого уравнения зависит лишь от произведения ах и имеет следующий вид: О-1 1 й(ах) = рйе ~~~~ е' с~дасСд2а... ССд)не~1", (5) 1 О причем ю 1 О Х.х = — — ахе е Ю Таким образом, задача об определении функции С (а) привелась к решению интегрального уравнения первого рода.
Это уравнение может быть решено на основании формул обращения, подобных взаимным формулам теории интеграла Фурье. Такие формулы обращения можно установить, если, например, соблюдается следующее условие: а,~~>р „)'1 (0(х($), ~ Й (ах) — 'йо = (б) й, (у) = ~ Й (и) би. О При соблюдении этого условия будем иметь две взаимные формулы: О О ~(х) = ~ й(ах)С(а)йо, С(х) = ~ й(ах)~(а)йо. (1) О О Можно показать, что ядро (5) интегрального уравнения (4) удовлетворяет условию (6). где $ — какое-нибудь число, а функция Й1 (у) определяется фор- мулой [591 1 е.
вассвнн с гавномвгно понижающимся дном вот Установим это свойство лишь для бассейна, дно которого наклонено под углом 45' к горизонту. Для такого бассейна ядро (5) запишется следующим обрааом: /вх 1 1 1 й (ах) = р ~соя ~ — -(- — я~ -~- — е ) у.й ! Функция )ел (р) имеет вид 1л 1 Л Йл (У) = бР [Яш ~ — + — и) — — е ~~е~ . 4 ) )/2 Составим теперь интеграл (6), получим х,(вч) 1 ( Е ош — Я вЂ” х) Й(вх) — Ив = — др 1 Йо+ в 2 1 в о о СЮ + — яро ~ ~е "'е яш — + е- яи яш — ~ — + о ог г вс, вхЧ ов + — бро ~ ~е "Фесоя — — е 'несся — ~ — + 2 а а1 о О х+Е 1 о х 1 + — яро ~ ~соя — (х+ $) — е е ~ в .
(8) о х С в — Е 1х+Ют ~в Г , ел ~соя — (х+ $) — е ~ — = ~ (соя Л вЂ” е л) — = Л о о Ю =11ш5 'ы" (Л вЂ” 1 — ', ИЧ И и Заметим теперь следующие формулы: ) соя Л вЂ” дЛ = — С1и = — у — 1ви+ Р(и), (9) -л — Ю = — Е)( — и) = — у — 1п и + Д (и), Л Пользуясь таблицами определенных интегралов, можно установить, что интеграл, находящийся во втором слагаемом правой части атой формулы, равен — и, а интеграл в третьем слагаемом равен нулю. Что же касается последнего интеграла формулы (8), то его можно вычислить так: 308 гл.
и. ПлоскАя зАЛАЯА О ниустАновившихся движиыиях где у — постоянная Эйлера, а Р (и) и ч (и) — некоторые степенные ряды, не содержащие свободных членов. Из этих формул вытекает, что интеграл (9) равен нулю. Таким образом, получаем значение интеграла (8): ОЗ У 1 — (2-) сс(ах) — Йо = — яр~ ~ — л + ~ Йо а 2 ~ 2 ) в но — я, 0(*($, Й» = 2 1 ош — (о — х) Следовательно, о — ядро, 0(х($, й (ах) ' йо = О, $(х( оо. Сравнивая этот результат с условием (6), видим, что условия су- ществования взаимных формул соблюдаются, но не для ядра (5), а для видоизмененного ядра 1 2 7с' (вх) = — ~/ — )с (вх). Перепишем для этого ядра уравнение (4): ~ ("') С(") Йо = 1'~ 7(') 1 Г 2 а яе о Это уравнение может быть решено на основании формул обращения (7), написанных для ядра 7с' (ах).
Получим С(х) = — у — ~ lс'(ах)7'(в) йо 1 / 2 э яс о или, возвращаясь к ядру сс (сох), О С(х) = — „, ~ )с(ах)1(в)йо. о Подставляя это значение функции С (х) в формулу (3), получим потенциал скоростей, решающий задачу Коши — Пуассона для 6 6. БАССЕЙН С РАВНОМЕРНО ПОНИЖАЮЩИМСЯ ДНОМ зое рассматриваемого бассейна: Ф(х, у; е) = — ~ ~е о'6 сов ( — + — я) + о + е~~'6 сов ( 4 я)1 Сов 'г' оо6еооо) )сов ( + 4 Я) + о + ' ~У(дбЦ. (10) К2 Дифференцируя зту формулу по времени и полагая затем у = — О, получим уравнение свободной поверхности жидкости: = — ~ ~сов ~ — + — я) + — е- "'«~ ф 6661п 3/ ее 6 оооо Х яхор2~ ~Е 4 ) ~/2 о Х ~ ~ в ("" + 4 я) + ' "10~) (~.
(И) о Формулами (10) и (И) решается полностью задача о волнах при угле наклона дна к горизонту, равном 45'. Составим теперь формулы для определения потенциала скоростей и вида поверхности жидкости в предположении, что движение возникает от начального возвышения поверхности жидкости, без приложения к ней импульсивных давлений. Начальные условия новой задачи запишутся так: рФ (х, 0; 0) = О, — ' ' = Р (х). Нетрудно видеть, что решение атой аадачи будет даваться формулами, получаемыми простым видоизменением формул (10) и (И): Ф (т, у; е) = — ~ ~е'е'е сов ( — + — я) + о ( 4 )~ ~/' ~ ~ ( 4 ) о ЗГ2 1 (12) О т( = — ~ ~сов ~ — + — я)+ — 1сов )/ооеооо Х о О Х ~ [сов ( — ~+ — я) + ' ~ Р(в) е)$.
о 310 гл. 11. ПлоскАя 3АдАчА О неустАновившихся движениях э У Бояны от местного подъема поверхности жидкости Предположим, что в начальный момент времени возникло около точки х = х, концентрированное возвышение поверхности жидкости общей площадью Я. Такое возвышение может быть изображено функцией б (х — х,). Формула (12) 3 13 гл. 1 дает уравнение поверхности жидкости для произвольного момента времени: + 4 )+ О + — '- -"И- ( — "+ — '")+':"1- """' ") Основываясь на этой формуле, Б.
Н. Румянцев нашел, путем ее интегрирования (т. е. суммируя отдельные точечные воздействия), Г 117 -111 Рис. 32. внд поверхности жидкости для начального возвышения постоянной величины, взятого на отрезке длины 10 см и отстоящего на 1 л от начала координат. Соответствующие вычисления были выполнены быстродействующими электронными машинами для значений времени 1 = 1/„1, 2, 4, 8 сея. Результаты подсчетов приведены на рис. 32, рис. 33, заимствованных нами из статьи Б. Н.
Румянцева (35). По оси ординат откладывалась величина 1) =- яц/(2~), где ~ — объем жидкости, заключенной между профилем начального возвышения и осью абсцисс. 312 Рл. 11. плоскАя 3АдАчА О неустхновившихся движениях Приведенные рисунки показывают, что начальное концентрированное возвышение, начиная распадаться, образует две группы волн, одна группа уходит от берега в бесконечность, другая же группа волн идет к берегу, отражается от него и затем, как и первая группа, уходит в бесконечность, и оставляет за собой лишь незначительные колебания поверхности. Аналогичные графики, иллюстрирующие распространение волн от начального импульса, могут быть построены на основе формулы (11) з 13 гл.
1, что и было сделано Б. Н. Румянцевым (рис. 34, рис. 35). Здесь по оси ординат отложена величина 1) =ярр~/(21), где Х вЂ” величина начального импульса. й 8. Неустановившиеся колебания поплавка Допустим, что в жидкость погружено некоторое твердое тело, симметричное относительно вертикали своего центра тяжести. Допустим, далее, что вес тела уравновешивается действующей на него силой Архимеда. Благодаря этому тело будет находиться в состоянии равновесия. Приподнимем теперь это тело на некоторую небольшую высоту и предоставим ему возможность опускаться. Наша задача будет состоять в том, чтобы изучить последующее движение тела, учитывая возникновение волн в окружающей жидкости.
При решении этой задачи мы будем предполагать, что в начальный момент времени поверхность жидкости горизонтальна и телу не придается никакой вертикальной скорости. В силу этого жидкость придет в движение без начальных скоростей своих частиц и начальная потенциальная энергия тела будет расходоваться на образование волн, уходящих в обе стороны от тела в бесконечность. Потенциал скоростей образовавшегося движения жидкости будет удовлетворять при у = О следующим условиям: В силу симметрии тела относительно вертикали, оси Ор, этн и дальнейшие условия можно рассматривать лишь для положительных значений х.
Условие обтекания качающегося тела имеет при х ) О следующий вид: — — = с(1) совр, ар (2) где р' — угол внешней нормали и к поверхности тела с осьв> Оу, с (1) — вертикальная составляющая скорости центра тяжести тела. Предположим, что правая часть поверхности тела дается о г. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ПОПЛАВКА зтз в момент времени г уравнением х = ай (у — г (г)) = а ге (у). Будем предполагать, что а — очень малое число; в силу этого можно принять, что соз р = — аю' (у). Помимо этого, нормальную производную в условии (2) можно заменить частной производной по переменному х, вычисленной при х =- О. Таким образом, условие (2) примет следующий вид: ( — ) =а с (г) ю'(у), причем переменное у изменяется от нуля до — Ь (г), где Ь (г) ) О— переменная осадка колеблющегося поплавка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
