Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В первом случае знаменатель подынтегральных функций формул (1) и (2) не обращается в нуль на пути интегрирования, что обусловлено отсутствием периодических установившихся волн при скорости потока, превосходящей критическую скорость [/дй (см. Э 9). Но уравнение с'й СЫСЙ вЂ” д э[т Йй = О 1 ! ! Са(х-а) ~й 2яр ) ( ) ) сойсЬЙЙ вЂ” ннЬйй (4) имеет бесконечное число попарно сопряженных чисто мнимых корней. Воспользуемся этим обстоятельством, чтобы преобразовать уравнение (2) к такому виду, который давал бы с возможной ясностью представление о виде поверхности жидкости.
Преобразуем выражение (2) с помощью формул (5) э 26, по- лучим е тн О ВОЛНАХ От НЕРАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ 12В Разложим внутренний интеграл в ряд по полюсам подынтегральной функции. Эти полюсы находятся из решения уравнения (3); обозначим их через (и = ~ 1, ~2, ~3,...) и отметим, что. Примення к преобразованию рассматриваемого интеграла методы, изложенные выше в зз 13, 15, получаем следующее разложение: ° ч -"! — ! ее ~7е н77 7сА еськх-а7 с7А сей сЬ АЬ вЂ” е есс!сЬ е=т где Подставим этот ряд в формулу (4), найдем с Сх — а) 7) = —,~А„~ р(а)е " сса.
(5) Если давление отличается от нулевого лишь на некотором участке ( — с, 1), то интеграл сх — а) !х — а! ~ р(а)е с' да= ~р(а)е сса В силу этого на пути интегрирования в формулах (1) и (2) будут особые точки; эти точки надо обойти. 5 Л. Н. Сретенский будет стремиться к нулю при неограниченном росте ~х~. Отсюда вытекает, что при рассматриваемом распределении давления и для е ) ф' дй поверхность жидкости не покрывается установившимися периодическими волнами и ее ординаты быстро сходят на нет по мере удаления от области избыточного внешнего давления.
Иное положение будет наблюдаться для скоростей, меньших критической. Если е ( )с'дй, то уравнение (3) будет иметь два действительных корня: $=йеЬ )30 ГЛ. П Плоеная ЭАДАЧА О ВЯСКОНВЧНО МАЛЫХ'ВОЛНАХ Поступая здесь совершенно так же, как при переходе от формулы (9) в 26 к формуле (И) $ 26, мы получаем для потенциала скоростей и ординат поверхности жидкости выражения, содержащие главные значения интегралов. Таким образом, вместо формул (1) и (2) будем иметь следующие формулы: с '( Ь(А) совах — с(Ь) в!пах ) л( + <рх,у р )~ соасЬАА ИьЬАА о 1 "( а(А) ссз ус+ Ь(А) вшах р ) соа сь АА — д в)о АА о (6) Эти формулы дают частное решение задачи о волнах, вызванных прилояоенным давлением, при с ( р' дЬ.
Общее решение получится добавлением к правым частям этих формул новых членов, изображающих свободные установившиеся волны. Эти волны имеют в качестве потенциала скоростей и своих ординат соответственно такие функции: „(Р сов (сох + ~ в) и )сох) сЬ Й, (у + Ь), ь) сов )сох — Р вш )сох, 1 — — В (1 в1п)со(х — а) р(а) Иа, рсо (8) где "о" Если давление будет распределено лишь на участке ( — (, (), то при неограниченном стремлении х к положительной бесконечности это слагаемое будет стремиться к  — — ~ вш )со (х — а) р (а) Иа. где Р и о',) — произвольные константы. Интегралы формул (6) могут быть преобразованы в бесконечные рядй, расположенные по вычетам подынтегральной функции.
Как и в случае с ) )~ дй мы получаем вдесь для т) (х) бесконечный ряд (5), к которому должно быть добавлено слагаемое, учитывающее действительный полюс )со подынтегральной функции. Это слагаемое равно 3 27. О ВОЛНАХ ОТ НЕРАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ 1З1 При стремлении же х к отрицательной бесконечности будем иметь — ~ я1пйо(х — а)р(а) с(а. В рсо Каждое из этих слагаемых изображает периодическую установившуюся волну. Если мы потребуем, чтобы поверхность потока перед областью приложения давлений не была покрыта такими волнами, то мы должны на движение, изображаемое совокупностью формул (5) и (8), наложить движение, изображаемое формулами (7), приняв Р = —, ~ соя1соар(а)о7а, В рс2 — 1 В ~7 = — ~ я1 и 1с,а р (а) с(а. рс2 — 1 При таком выборе Р и Ч мы будем иметь следующее уравнение поверхности жидкости: 1 ро '! 22 — + 1х — а~ 71(х) = —,, ~ А„~р(а)е " да— — — ~ (в1пйо(х — а)+вшито(х — а)]р(а)11а.
(9) В рсо — 1 Первое слагаемое правой части, представляемое бесконечным рядом, стремится к нулю с увеличением ( х ( и дает местное поднятие уровня жидкости. Второе же слагаемое обращается в нуль для х ( — 1; для х > 1 оно отлично от нуля и представляет собою периодическую установившуюся волну, возбужденную на поверхности жидкости внешним давлением. Если давление сосредоточено в одной точке, начале координат, то уравнение (9) принимает такой вид ро Р чч — — "1х! 72РВ 71(х) = — 2~А„е " — )' — ояш)сох~. Последнее слагаемое, заключенное в фигурные скобки, присутствует в формуле лишь для положительных х и представляет собою периодическую волну, поднятую сосредоточенным давлением Р = 11ш ~ р (а) с(а. 1 О 133 гл.
1. плоскАя зАЛАЯА О Ввскоыычыо ЖАлых ВОлнАх з 28 Движение глиссера по глубокой воде результаты предыдущих параграфов имеют интересное и важное приложение к теории глиссирования пластинок. Допустим, что по поверхности бесконечно глубокой яидкости движется с некоторой постояыыой скоростью с прямолинейная пластинка. Задача состоит в том, чтобы по величине скорости движения пластинки,по ыагрузкена нее и по тянущей горизонтальной силе найти давление потока ыа пластинку, величину погружения ее в жидкость и угол наклона к горизонту. Для решения этой задачи допустим сначала, что пластинке придано вполне определенное положение относительыо горизонтального уровня жидкости, характеризуемое углом у наклона и величиной погружения задней кромки. Относя все движение к системе координат хОу, движущейся вместе с пластинкой, получаем задачу об определении установившегося движения потока, набегающего со скоростью с на неподвижную прямолинейную пластинку.
Примем в качестве оси Ох уровень жидкости в бесконечности перед пластинкой; за начало координат возьмем проекцию на ось Ох середины смоченной части пластинки. Пусть у = ах + о— уравнение пластинки, причем а = — йя у ( О. Обозначим, далее, через 2г величину смоченной части пластинки; эта величина неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. В качестве основной ыеизвестной возьмем давление р = ~ (х) в точках пластинки. Эта функция ищется для значений х в пределах от — г до г; для ) х ) ) г функция ~ (х) равна ыулю, так как вые пластинки давление жидкости постоянно.
Составим уравнение для определения функции 1 (х). С этой целью возьмем формулу (19) $ 26 и перепишем ее в новом виде: Р Р Г .. Г о1пйх ср (х, у) = — ехс соз ха + — с яс з'ш хх ехр + ~ ейс 1(й~, рс ЯРс 1 й — х о где х = у/со, или ср(х, у) = — еж -1о11+ 1 ейр 11)с Р С о1пйх рсхрс1й — х о Интеграл в правой части (1) берется по пути, обходящему, в плоскости комплексного переменного й, особую точку х = х сверху. Предположим теперь, что на участке — г ( х ( г к поверхности жидкости приложеыо давление р = 1 (х). Составим, пользуясь формулой (1), выражение соответствующего потенциала 8 28. дВижение глиссева по глувокои ВОде 2ЗЗ скоростей Ф (х, у). Получим Ф(х, у) = т = — еху ~ ~(а)есмх-а)с)а 1 ~ 1(а)с(а~ ' * езус(1с.
(2) Найдем отсюда выражение частной производной потенциала по переменному х; имеем дФ дх етУ ~ 1(а) етих-атс)а + ~ 1 (а) с(а ~ 1сеуУ Й1с (3) рс ярс х — з Пользуясь этой формулой, составим уравнение поверхности жид- кости для значений х от — г до г. Применяя формулу (1) 4 27, находим с . I дФ 1 11х) т1(х) = — 11т ~ — ) —— (4) атт1 с . 1 д дФ~ 2 д1 — = — 1пп дх е у с (,дх дх ) рд дх ' дзЧ с . 1 дс дФ~ 1 д21 — = — 1пп ~ — — ( — — —. дхз 8 „с ~дхс дх 1 рд дхс (5) Отсюда д у с Обратимся к формуле (3), из этой формулы имеем — — + х — = — — ~ 1 (а) с1а ) 1с (1с + сс) соз 1с (х — а) еуу с) 1с. дс дФ 2 дФ т Уравнение (4) может рассматриваться как окончательное уравнение поставленной задачи о глиссировании. В таком именно виде оно послужило Маруо (1521, (р531 и Сквайру (1831 для определения функции 1 (х).
Но нам казалось более выгодным подвергнуть уравнение (4) добавочным преобразованиям,устраняюсцим из него свободные волны. Продифференцируем для этого обе части равенства (4) по х два раза и прибавим к полученному результату само равенство, умноженное на кз. Имеем 134 Гл. г. плОскАя зАЛАчА О БескОнечнО мАлых ВОлнАх Вычислим внутренний интеграл, имеем дз — у д — у й(й+х)соей(х — а)езуе[й= — . + х— дуз (а — х)с+уз су (а-х)с+уз о Отсюда т дз д(В д(В ( дз ( у1(а)да х д ( у1(а)аа дхз дх дх лрс дуз ) (а — х)с+уз лрс ду с (а — х)с+уз (7) рассмотрим интеграл, входящий в эту формулу.
Заменим прямолинейный путь интегрирования комплексным путем С, идущим в верхней полуплоскости над полюсом а =- х — у( подынтегральной функции. Получим у1 (а) с)а . (' 1 (а) да (а — х)з-[-уз ~( у ) + у) (а — х)з+уз — з с Преобразуем с помощью этой формулы формулу (7), получим = л х — (( — б 1(а)(~а 8 3 1 (а)('а ( .1 ) У ) [(а х)з+уз[з + У [[(а х)с+уз]з + с 1(а) да 2 1(а) да + л(х1'(х — у() + х ~ з з — 2хуз д( с с Перейдем к пределу, устремляя у к нулю, получим Г сз доз дч) 1 „, (" 1(а)((а лрс [[ш ) —, — + х' — ~ = л1" (х) + л(х1'(х) + х [ з[ дхз дх дх 1 ( —.) с О помощью этой формулы основное уравнение (6) теории глисси- рования запишется так: лр, ) Нзв — "„'з ( — „,", )-сз) - — (( ) )- 'l(*)4-~ „(',", (з) Левая часть этого уравнения известна, так как форма глиссирующей пластинки задана.
К уравнению (8) мы пришли бы и в том случае, если бы в правой части уравнения (4) было еще дополнительное слагаемое Р соз хх + () з[п хх (9) с произвольными коэффициентами Р н (,). Поэтому мы должны 1 зв. ДВижйний ВлнсскРА по глувокой Води 1В5 потребовать, чтобы при каком-нибудь частном значении х, напри" мер при х = О, соблюдались именно равенства (4) и (5), а не более общие, получаемые присоединением двучлена (9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
