Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Определим, наконец, функцию и!з (г) так, чтобы удовлетворялось граничное волновое условие при у = 0: Это условие, примененное к определению функции и), (г), в силу выбора функции иг (г) перепишется так: I ахз г! '~ зг Ке ( — + — и)з!! = — — Ке(<и),), <)г сг / сг (5) где ! "2(')= <~з'= — 2,! ~'©с — ~ — А! юз= «с (6) — ! Пользуясь формулой „-<н(с-а) <11< <, 1ш(г — и) (6, г — а' с гаемого и!(2), учитывающего те возмущения, которые в основной поток вносит крыло. Распределим на оси крыла некоторые простые слои источников и вихрей; определим плотности того и другого слоя так, чтобы поток жидкости обтекал рассматриваемое крыло.
Представим функцию <Р (г) в виде суммы трех слагаемых: 188 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ перепишем выражение функции се',(з) в следующем виде: О юо(г) = — — '( е-™ Ь(й)с)й, 1шг(Ь, 2 о где Б(й) = — е-"" ~ гЯ)ес"И$. (7) Заметим вместе с тем, что ш,(з) = — — ~ ес"'Х. (Й)с)й, 1шл) — Ь. о Отсюда условие (5) примет следующий вид: Ве ~ — „+ —,, иЪ ! = — —, Ве ~ е-со*А (й) с)й. о (8) Будем искать функцию иЯг), голоморфную в нихсней полуплоскости, в виде такого интеграла: иЪ (з) = —, ~ е-'"*А (й) Нс, (9) о заметив предварительно, что из условия (8) следует дифференциальное уравнение — ++ ~о = — —,, ~ е-со*с.(й)с)й.
(19) о Чисто мнимая константа, которая может быть добавлена к правой части, не имеет значения и поэтому опущена. Подстановка выралсения (9) функции сео(з) в это дифференциальное уравнение определяет функцию А (й): ( ) ьь(ь) А — е/оо Отсюда функция сео(л) получает следующее выражение: (И) о Это есть частное решение уравнения (10). Имея в виду появление здесь полюса Й д/ео на пути интегрирования, мы должны считать, что путь интегрирования, начиная с формулы (9), идет в 22. ТНОРИЯ ПОДВОДНОГО КРЫЛА 2ОЕ обход этого полюса по верхней полуплоскости комплексного переменного /с.
Предположим, что измененный путь состоит из двух прямолинейных участков (О, д/сг — з), (д/сг + е, ао), соединенных полуокружностью т в верхней полуплоскости. К частному решению (11) уравнения (10) мы можем добавить, спроизвольным комплексным коэффициентом С, решение однородного уравнения Нюз за — + — кгс = О. г/г сг Тогда общее решение уравнения (10) запишется так: ааа (2) СС с* ~ 1 С-агах С//С сг,) /а — д/сг с (12) Определим постоянное число С так, чтобы характеристическая функция 'сг'(2) = — сз+ ю (2) давала поток, поверхность которого не была бы покрыта установившимися периодическими волнами далеко перед обтекаемым крылом.
С этой целью преобразуем интеграл формулы (12) к новому виду, считая число 2 действительным и отрицательным. Положим Я(х) са 1 Г'/") с-аххс//с сг ~ /а — с/сг с Из формулы (7) имеем ~ Ь (/с) ( ( — Ле-"'" (еск — е-2 '), я /гг где (13) /с == /с, + //сга ) т ($) ( ( /7. Это неравенство позволяет установить, что путь интегрирования в формуле (13) (при х( — /) можно заменить путем, идущим по мнимой осн комплексного переменного /сот Одо /со. Выполняя преобразования, получаем для интеграла (13) новое выражение: Я (Х) = — г Стах С//2 сг /аз+ сг/сс При неограниченном возрастании ) х ~ интеграл О' (х) стремится к нулю, Из Формулы, определяющей ордннаты точек свободной поверкностн: а Г Йи1 с а — ~йе — 1 .
— (Нен22)г „, (14) к(, нс1сх Е 11О Гл. 1. плОскАя зАЛАНА О Бксконечно мАлых ВОлнАх следует теперь, что константа С в формуле (12) должна быть приравнена к нулю. Таким образом, ю,.'(з) = — — ~ е- с~й. Зс Г ь(й) 1 со ) й — с)со о (15) Для больших положительных значений х интегрирование в формуле (15) мохсет быть приведено к интегрированию по отрицательной части мнимой оси. Так как в формуле (15) путь интегрирования обходит сверху особую точку й = д/со, то для больших положительных х функция а1,'(з) преобразуется к следующему виду: ьч и,(т) ~~ ) с с* с — й'сгЦсо Зпс / Х й — —,с ~~ Г Ь( — й) со ~ со ) со ) йо — З1)со о Получим Ч = — — ~11(+) соз — 'о + Бо(+) з)В+1. (16) Собирая вместе полученные результаты, мы можем написать выражение производной характеристической функции течения, образованного простым слоем источников и вихрей, распределенных на прямолинейном отрезке — 1 ( х ( 1, у = — Ь, з следующем виде: ЫИ' ) ) г(5)Н4 с)с 2Я ) с — С+ йс 1 (' г(с)Ы~ 2К ) С вЂ” С вЂ” йс — ! — Ф 1 ', Л ()си)с.
(17) о Мы должны определить теперь функцию г (з) так, чтобы поток, даваемый атой формулой, обтекал взятое тонкое крыло, изобра- жаемое уравнениями (1) и (2). При неограниченном увеличении х интеграл стремится к нулю; отсюда следует на основании формулы (14), что поверхность жидкости далеко за крылом покрыта установившимися периодическими волнами, уравнение которых будет йя — — — Ве~Ь( —,, ) с '* ~. Запишем зту формулу в другом виде, отделяя мнимую часть от действительной и полагая ~ (й) = ~1 (й) + 1~ о (Й). о за. интягглльнов гглвнвния твогнн тонкого кгылл $23. Интегральное уравнение теории тонкого крыла Обозначим через а, и а углы с осью Ох внешней нормали к верхней и нижней поверхности крыла соответственно.
Условия обтекания этих поверхностей запишутся соответственно так (см. формулу (4) $20): /,.„лсю 1 са Ве ~е"" — ) = с сов ас, Ве(ес"* — ) = ссозаз. с(о Нг ) Рассмотрим первое из этих условий; придадим ему следующий вид: — и соз а, — и з(п а, = с соз а,. Колос мы будем считать, что кривая, представляющая верхнюю поверхность крыла, достаточно полбгая, то горизонтальная волновая скорость будет весьма мала сравнительно со скоростью потока с и предыдущее условие можно будет заменить более простым: и = — сс1яа„ или и = с7", (х).
Совершенно так же получаем условие и для нижней поверхности: и = с1о(х). (2) Составим на основании формулы (17) з 22 левые части этих условий. Пользуясь выражениями предельных значений интегралов типа Коши, имеем в точках верхней поверхности крыла ([8), гл 1У, 3 2), мо (" — ) 1.(х) е с о ьг ~ б(з)ео сЩ+ с(о Со=х — Ы 2 оо — с с 0 + — ~ — —, ~, — г ($) Щ е-сосо-ы с(7о 1 "г гД]лспо 1 Г з(~)ссз, ос с" *г о оо" 2я ) х — ~ 2я ) х — ~ — 2бт яоо) а оСоо о При составлении этой формулы было принято во внимание выражение функции Л (сс).
С помощью полученной формулы мы можем записать условие обтекания верхней поверхности крыла в следующем виде: 112 гл. ь плОскАя 3АдАчА О БескОнечно мАлых ВОлнАх — ~ ) — е-2е лесов — (х — $) )- — + А с* 4 ! сз сс ' 2я (х — ~)с+ 4ьх С КД)с)2 + 2 ) А Б!и с(х ь)(й(к(ь)дь 2 ) с)1(х) О (3) Отметим, что в силу формул, определяющих предельные значения интеграла Коши, условие обтекания нижней поверхности крыла будет отличаться от составленного условия обтекания верхней поверхности первым членом левой части: вместо г/, д (х) будет стоять — 1), д (х). В правойжечастибудетвместо — с~, (х) находиться — с1х(х).
Это второе условиемы выписыватьне будем. Вычитаяпочленно два условия, находим плотность простого слоя источников: д (х) = с~, (х) — с1г (х). Таким образом, условие обтекания (3) приводит к интегральному уравнению для определения плотности х (х) вихревого слоя. Выпишем это уравнение для того частного случая, когда крыло выроясдается в дугу кривой линии; для этого случая ~, (х) = ~, (х) и, следовательно, д (х) = О. Уравнение для определения плотности вихревого слоя принимает следующий вид: 1 '! х(с) Е~ 2я ) х — с = с~г(х) — ~ ~ —, е-'е""соз —,(х — ь) + — с о Это уравнение можно привести к обычному уравнению Фредгольма второго рода, если воспользоваться известной формулой решения интегрального уравнения первого рода [28') ! (5) искомая функция к ($) определяется следующим равенством: ! где  — произвольное постоянное число.
114 гл. ь плоскАя зздАНА О Весконвчно НАлых ВОлнАх удаленной точки начинается с г ', будем иметь 1()-- г ыи'12 ~ †) дг = — 2с ~в22(г + 2 ~ (и,вз + в,из) 2(г. 1из) с с с Первый интеграл правой части равен, со знаком минус, полной циркуляции К потока вокруг крыла. Заметив это, перепишем предыдущую формулу так: ( — „) дг = 2сК + 8 + Т, О = 2 ~шзиодг = )(в, +в )здг — ~и, дг — ')и, 22г, с с с с У = 2 ~ в,из 2(г.
(2) (3) Два последних интеграла формулы (3) равны нулю, поэтому Я = ~ (и, + в,)2 22г. с Интегрирование по контуру крыла С можно заменить интегрированием по действительной оси от — ссдо Оо; тогда Я примет следующий вид: (и1 + вз) Пользуясь выражением функций и„(г) и из(г) через функцию ь (л), придадим последней формуле вид х 8 — ~ (И + и )(~ азохэн (12) ОЦЗ+ ~ Е-озхг,(Ь) 2(й~о(Х о о Переменим здесь порядок интегрирований и заменим функции из и и, их выражениями по формулам (3) и (4) з 22. Получим О Я= —,' (~Ь®(й ~~ (3) ~ '„„3 —;(3) ~ ' "*„~Ц+ о -с Ю с х + —,' ~Ь(й)(й ~~~(р ~ ' "*„,— у(3) ~ ' „"*„.~(~.
о 0~ Вычисляя интегралы по переменному х с помощью вычетов, оп. опгвдвлвнив сил и момвнтл получаем ~ у,(й),(й ~ е-йлг(ре!лье(З ( ~ А(й)ей ~ е-йлг($)е !леся о о — ! Пользуясь выражениями функций Л (7е) и Ь (й), получаем окон чательно Ю Я = я~ Ь(й)Ь(й)ой. о (4) Т = — — ~ п!о (х) !!х Г г г(1)ес х — с+а!' — ! Заменим здесь л!о'(х) ее выражением, взятым из формулы (15) з 22; получим т= —" (~ (..(~ ""' -"а«, яоо ( ' ) й — е(оо ) х — с+Л! ' — м о или т = Я „ ~ (,")„ (й ~ (2) % ~ но 'й" хх = — 2пое йле 'йз х — 4+а! следовательно, Т = — ~ й Нй ~ г($)е-ойьд$. о Применяя к внутреннему интегралу формулу (7) т 22, получаем Т 2Ж( ь(й)ь(й]дй оо З й — е/оо о Интегрирование ведется по кривой, обходящей сверху полюс 7о = б(ео в согласии с выбором пути интегрирования в формуле (И) з 22. Рассмотрим затем интеграл Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
