Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В силу этого в формуле (18) будет отсутствовать второе слагаемое в правой части, но только это слагаемое былопри с ( )/ еН и г = — й1 действительным, остальные были мнимыми. Поэтому Веб" ( — М) =О, и, следовательно, Х = — 0 для всех скоростей потока, превосходя- щих 1/ ЯН. Б, НЕКОТОРЫЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ" ) $16. Установившееся движение твердого тела произвольного вида под поверхностью жидкости Предположим, что под поверхностью бесконечно глубокой тяжелой жидкости движется с постоянной скоростью с твердое тело, ограниченное контуром С произвольного вида.
Определим те «) Наевевие части Б гл. 1даяо редакцией, так как в рукописи Ваеваккя атой части Ве оказалось. (Прим. Р«д.) 88 гл. ь плоскАя 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВолнАх волны, которые образуются при этом на поверхности жидкости, и найдем сопротивление, встречаемое телом при его движении. Для удобства решения этой задачи будем считать, что контур С неподвижен и на него набегает поток жидкости, имеющий на бесконечной глубине скорость с. Свяжем с телом неподвижную систему координат гОу, располагая ось Ог вдоль среднего уровня свободной поверхности в направлении скорости потока на бесконечной глубине; ось Оу направим вверх.
Представим характеристическую функцию течения И" (г) в виде суммы двух слагаемых: И' (г) = — сг + ш (г). Функция ш (г) определяет волновое движение; выражение этой функции найдется из условий обтекания контура С, из условия на свободной поверхности и из требования обращения в нуль волновых скоростей на бесконечной глубине. Все дальнейшее исследование ведется близко к основной работе Н. Е. Кочина ("16'). Вначале же мы изложим приближенную трактовку задачи об обтекании, предложенную Ламбом в его исследовании о движении круглого цилиндра под поверхностью жидкости (25'].
В согласии с приближенным методом Ламба представим функцию ш (г) в виде суммы двух слагаемых, из коих первое, ш1 (г) в сумме с — сг, есть характеристическая функция обтекания погруженного контура С неограниченным потоком; выражение этой функции заимствуется из теории крыла самолета; второе же слагаемое выбирается так, чтобы сумма обоих слагаемых удовлетворяла волновому условию на линии у = — О. Таким образом, условие обтекания контура С удовлетворяется только функцией ш, (г), но не удовлетворяется всей функцией ш (г), как это должно было бы быть при точном решении задачи. В дальнейшем мы увидим, какие трудности возникают при стремлении удовлетворить точные условия обтекания. Итак, функция ш (г) представляется в виде суммы двух функций; представим, для удобства дальнейших вычислений, вторую из указанных функций также в виде суммы двух функций ш, (г) и ш, (г).
Функция шг (г) в сумме с — сг есть, взятая со знаком минус, характеристическая функция обтекания безграничным потоком контура С', симметричного контуру С относительно оси Ог. Функция шгг(г) должна быть' найдена так, чтобы сумма ш (г) = шд (г) + ш, (г) + шз (г) удовлетворяла волновому граничному условию. Потенциалы скоростей фги фю отвечающие функциям и, (г) и ш, (г), будут обладать 1 еь устАнОВНВшееся движение твеудого телА следующим свойством: На основании этих равенств граничное условие (2) 2 9 может быть записано так: дгаз У д'Рз 2У д'Рз . (2) дхз сз ду сз ду Получим г'хз уг ' 21у + из = из. дг сз сг (3) Представим при у = 0 известную нам функцию дгрг/ду в дующего интеграла: = ~ (ЛХсозйх+ Жз(пйх)с(й.
ду с виде сле- (4) Пользуясь интегралом Фурье, находим выражения И (й) и )з' (й): 'а (й) = — ) ' соэ йа гга, 1 Г дарг(а,о) Я С ду функций з г)((й) = — ) ' э(п йа сга. 1 Г дзрз (а, О) я с ду Из этих формул имеем М (й) + Ч (й) 1 ( дгрг(а, О) я 1 ду сз здесь зрз — действительная часть функции из (г). Нетрудно видеть, что это условие равноценно такому условию: I г(зхз уг дхз~ 2у . дхз г(е~ — + — — ~ = — — Иег —.
с(гг сз г(г / сз с(г Функция и, (г) голоморфна и ограничена в нижней полуплоскости. Будем предполагать, что и функция из (г) обладает этим же свойством. При таких условиях предыдущее равенство дает уравнение, справедливое во всей нижней полуплоскости. Запишем это уравнение, принимая такие обозначения: "хз ' ахз — = иг (г), — = из (г), — „= из (г).
88 гч. ь плоскАЛ зАЛАЛА О гксконвчпо мАлых ВОлнАх Введем такое обозначение: Г (Е) И (й) + гу (й). При этом обозначении предыдущая формула запишется так: Г де,(а, О) л Э ду Преобразуем эту формулу к другому виду. На действительной оси плоскости комплексного переменного з имеем в силу равенств (1) ди )я, О) ) /Йи~ ди~) ду 2 )де откуда (6) 2л) ) ') Ы. Интегрирование по действительной оси можно заменить интегрированием по контуру С, охватывающему контур, симметричный контуру С, В силу голоморфности функции шт (з) в верхней полу- плоскости, получаем для Г (А) следующее выражение: Г(й) = — —. )) — з е'У' дг. 2л) „ дг с Контур С обегается в положительном направлении.
Получим из формулы (6) сопряженную ей формулу: 2л~ 1 ~ Ле де — Х Интегрирование по действительной оси можно заменить интегрированием по контуру С, обегаемому в положительном направлении; отсюда, в силу голоморфности функции и, в нижней полуплоскости, получаем (8) Г(Е) = —.) — 'е-'"*дг.
2л1,) Ыг с Вернемся к формуле (4); эта формула дает возможность написать выражение функции д~рэ~ду для любого у ( 0; имеем — ~ (йу совЕ-. )- М в)В)ет) еУУ Ыс. еу о ) мс установившквся двиеквнив тввгдого твла зз Но (М соз йз + Л' зш йз) еьв = ВеГ (й) е-'", следовательно, Р'( ' ") = Ве~ Г(й)е-'а'дй.
ду е (9) Отсюда вытекает интегральное представление функции ют (г): ш,(г) = — 1~ Г(й)е-""Нй. е Подставим зто выраясение е) функции ю.,' (з) в уравнение (3) и будем искать его частное решение в виде следующего интеграла: юз (з) = ~ А (й) е '"* с(й. (11) е Для определения неизвестной функции А (й) получаем уравнение — — й)А(й)с-и Ай= ф~ Г(й)е-мт~(й. Из этого уравнения находим А (й) = — —. 2му Г (й) са й — д/ст Следовательно, 2~З Г Г(й)с оы ст З ь — д)ст е (12) Теперь мы можем написать окончательное выражение функции и ' (з): (1З) е На пути интегрирования находится полюс й = фса подынтегральной функции; поэтому, начиная с формул (10) и (11), будем считать, что путь интегрирования идет в верхней полуплоскостн н состоит, например, из отрезков (О, фст — з), (д/ст + е, со) оси *) Действительное постоянное число, которое можно было бы прибавить к правой части, следует положить, однако, равным нулю, дабы ич (т) обращалось в нуль в бескоиечиости.
90 ГЛ Г ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ абсцисс и из полуокружности верхней полуплоскости, соединяющей концы этих отрезков. Заметим, что, используя главное значение интеграла, можно формулу (12) записать так: Сг ег со (, с' ~ со ~ х — еггсо о (з 17. Определение формы поверхности жидкости Покажем, что взятое частное решение ио' (з), характеризуемое выбранным путем интегрирования, будет давать, с помощью формулы (13) з 16, поток, не имеющий волн далеко впереди погруженного препятствия.
Уравнение поверхности жидкости пишется так: Ч = — '~Неф На основании формулы (13) з 16 получаем 2 Г гГ(й)е сох 2 ц = — — Ве~ й е о дй =- — — Ве.'/(х). (1) о Будем рассматривать переменное й как комплексное н положим ',й == й, + ой„й, ) О. Оценим модуль подынтегральной функции; имеем, пользуясь формулой (6) з 16 1"-";,"'1= /1 (й)с-мх!( ~)ю (з)!)с-гмггх)))с(з) с На контуре С модуль функции 1 — ся и, (г) !' р (Ь) е-гох ~( еоггкчггех'го ( да ~ ессо ~ р, егсг~ г с (2) где з =- зг + его.' не превосходит некоторого положительного числа т; следовательно, $ 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ Эд допустим, что гд и г, удовлетворяют неравенствам о) — а ( с.г,(а и г, < Ь ( О; тогда для всех х ) а и й,<О будем иметь йдго -)- й, (гд т х) < Ьйд + (х — а) йо < О.
Затем, обозначая через д, длину контура С, получим из неравенст- ва (2) Г(й]ее" ! тГ оо ( )т е — г/ся ( ) е — с/со ) Из этого неравенства вытекает, что в интеграле / (х) формулы (1) возможно интегрирование повести по отрицательной части мнимой оси для х ) а.
Так как путь интегрирования в формуле (1) обходил полюс й == у/со сверху, то будем иметь 0(х) = 2ПГ( г ) е " — ~, ' е ""с(х. ЕД „'' Г Г( — хД] со / Э но+ г/со о (3) Предположим теперь, что х отрицательно н меньше, чем — а. Тогда будем иметь для й, ) О гэйд+ (ад + х) йо < Ьйд + (а + х) /со < О. Следовательно, в этом случае интегрирование можно вести вдоль положительной части мнимой оси; и мы получаем О Я (х) ~ сио с(х Г (нд) хд — с/со о (4) Обращаясь теперь к формуле (1), находим, на основании формул (3) и (4), следующий результат: гс.
а 4п /г~ с*о 2 Г Г( — хО т) = — — д(е Г ~ — ~ е + — Не д2 е-т" д)х, с ~ со ) с Э х~+ г/со о (5) ,) = Пе ~ сох,(х 2 г Г(нй с э х~ — г/со о Первая из этих формул пригодна для положительных х ) а, вторая — для отрицательных х ( — а. При неограниченном возрастании ~ х ~ интегральные слагаемые той и другой формулы стремятся к нулю. Первое же слагаемое правой части первой формулы представляет собой установившиеся волны, развивающиеся ") Это место рукописи (до конца параграфа) несколько переработано редакцией.
(Прои. род.) 92 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ББСКОНВЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ далеко за преграждающим погруженным телом. В распространенном виде уравнение этих волн запишется так: г[ = — — ~М ~ —,'] соз —., + У ( —., ) зш —., 1 . Путь интегрирования в формуле (1) обходил сверху особую точку й = д!с', такой выбор пути обеспечил соблюдение дополнительного условия, что набегающий поток не покрыт волнами перед обтекаемым твердым контуром. 5 18. Вычисление сил, действующих на погруженное тело Вычислим главный вектор сил давления потока на погруженное тело.
Воспользуемся для этого формулой Чаплыгина: х — т= —,р'~( — „) ]' Пользуясь обозначениями з 16, имеем лиг — = — с + ю, +ю, -',— ю,. лг отсюда интеграл формулы Чаплыгина может быть записан так: 1~ ° ) [ — „[ сЬ = ~[с'+ ю, + ю, — 2сю, — 2сю, + 2ю,ю,,]ох -]- ,2 + ~ юг да + ~ [ — 2сюг + 2югюэ + 2югюа] ох. (1) Так как функции ю., и ю, голоморфны в нижней полуплоскости, то первый интеграл правой части равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
