Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для всякого значения о знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль при некотором значении 1е = Й„являющемся действительным корнем уравнения йяЬЙН вЂ” — сЬйН = О. (10) у В силу этого интеграл (9) теряет смысл. Но чтобы сохранить полученное выражение функции 2р(х, у),изменим два раза в формуле (6) путь интегрирования.
Мы предполагали, что, начиная с формулы (6), интегрирование ведется по действительным значениям Й. Теперь, приняв установленные предыдущими вычислениями выражения функций А и В, будем в формуле (6) считать интегрирование ведущимся сначала по какой-нибудь кривой Г, верхней полуплосности, а затем по какой-нибудь кривой Г, нижней полуплоскости комплексного переменного Й; та и другая кривые идут от точки й = 0 до точки й = оо. Отметим, что между кривой Г, и действительной осью не должны содер1наться нули о2 функции й яЬ ЙН вЂ” — сЬ йН. То же самое относится и к кривой Г,. К 64 ГЛ.
Е ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ При таком изменении первоначального пути интегрирования условия (7) остаются выполненными. Заметив все это, мы можем написать два разных потенциала скоростей, удовлетворяющих, однако, условиям (3) и (4): ~р1 (т, у) = ~ (А с)1 Йу + В ЗЬ Йу) соз Йл ОЙ, г, ~Ра(Я, У) = ~(АС)1ЙУ+ ВзЬЙУ) СОЗЙхХЙ. (11) г. Ь вЂ” а 6(,У)= ~+ ~ + —,' ~+Я а и+а тю т (12) Будем теперь радиус з уменьшать до нуля; тогда сумма двух первых интегралов правой части будет стремиться к тому, что называется главным аначением интеграла по Коши. Отмечая звездочкой, что интеграл берется в смысле главного значения, будем иметь Пш~~ + Рассмотрим два последних интеграла формулы (12). Около точки Й = Й, мы можем написать следующее рааложение первого мно- жителя подынтегральной функции: — + Ма + ЛХъ (Й вЂ” Йа) + ° ° М где ЛХ„М„...— некоторые функции переменного у; отметим аначение коэффициента ЛХ: ЛХ = с)1 Йау 1(ш ((7с — Йа)А) + з11 Йау.
Пш ((!а — Йа)В). к м а ае Путь интегрирования Г, может быть непрерывно преобразован в отрезок оси абсцисс от точки 0 до точки 7са — е, полуокружность у, с центром в точке Йа и радиуса е и в бесконечный луч оси абсцисс от точки Й, + з до со. Путь Г„в свою очередь, может быть преобразован в путь, состоящий из тех же самых частей действительной оси и из полуокружности ую находящейся в нижней полуплоскости; центр этой полуокружности находится в точке Й„ и радиус есть с.
Рассмотрим потенциал скоростей, определяемый полусуммой потенциалов (11); этот потенциал, который обоаначим снова через ~р (х, у), может быть записан схематически так; 1 пь зАДАчА о пульсиРующем источнике В силу этого имеем — (рейв,у-яй,х+ Еяйй, й"), е вт, где Р = В ((й — й,)А), (;1 = В [(й — й,)В). в ве в-ы По самому своему построению этот потенциал удовлетворяет граничным условиям (3) н (4).
Определим по формуле О в) = — — Ф, (х, 0) яшо( у вид поверхности жидкости. Пользуясь формулами (2) н (13), получаем ОО . '~~ сЬ а (Н вЂ” А) сов ах т) = — — яш о( ля Ое а вв (еН вЂ” — сЬ (е)1 я (14) Этапростая формула, однако, не так удобна для исследования, как та, которую можно получить, используя потенциалы (11).
С помощью этих потенциалов мы можем ааписать выражение ц в следующем виде, используя четность подынтегральной функции и делая замену переменного ИХ = $: х — и ЕО Г ОЬЬГ, и т) = — — яшо( Ве ~ д$— 4ля ВВЬ С вЂ” т СЬ е. г, х — и — — я!По( Ве ~ ' е)$, до Г сЬЬС ен 4ля явЬй — тсЬ» (15) 3 Ч. Н. Сретевеева Совершенно такое же предельное значение имеет и последний интеграл формулы (12), но с той лишь разницей, что перед квадратной скобкой будет стоять вместо — л( величина л(, так как дуга ув лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, два последних интеграла формулы (12) взаимно уничтожаются.
Таким образом, потенциал ~р (х, у) будет записываться так: ~р(х„у) = О -вн ОЬЙ(Н вЂ” А)си ау+ е вв вЬЙН + — е ~~ЗЬ(ев~( вп(~у л ОВ х ЗЬ хН вЂ” — сЬ хН (13) 66 Гл. ь плоскАя 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВОлнАх где Путь интегрирования Г, состоит из полупрямой ( — со, — МсН вЂ” я), полуокружности нижней полуплосности у', с центром в точке — йсН и радиуса я, отрезна оси абсцисс ( — Й,Н + я, ЙсН вЂ” в), полуокружности у, с центром в точке 1ссН =- $с и расположенной выше оси абсцисс и полупрямой (ЬсН + я, ос). Путь интегрирования Г., состоит из тех же прямолинейных участков, как и путь Г„но вместо полуокружности у,' берется полуокружность у,' верхней полуплосности, а вместо полуокружности у, берется полуокружность ув нижней полуплоскости.
Преобразуем формулу (15) к новому виду, считая сначала, что и ) О. Рассмотрим в плоскости комплексного переменного $ = ) + цл мероморфную функцию сь Ьв бвана — тсв6 ' Эта функция имеет два действительных простых полюса $с я — $с и, кроме того, бесконечное число чисто мнимых полюсов первого порядка: $,=с(т„, п=~1,~-2,~3,..., причем (А„будет корнем уравнения пя1п (А +т соя (А = О. Заметив это, рассмотрим контур А,А,АЗА„составленный из трех прямолинейных отрезков, параллельных осям координат.
Отрезок А,А, начинается в точке А„, находящейся на действительной я оси и имеющей абсциссу $ = и = — '(2п + 1), число и — целое; конец атого отрезка, точка А„имеет аффикс 6 = а + ~и; горизонтальный отрезок АвАз кончается в точке Аз с аффиксом $ = -и + (и; наконец, третий отреаок АЗАМ параллельный оси ординат, кончается в точке Ам имеющей абсциссу $ = -и. Оценим модуль функции г" (6) на сторонах построенного контура.
На стороне АтАя переменное $ может быть ивображено так." $=а+ф, 0(р(а. Ограничим снизу модуль знаменателя функции г (в). Имеем в ЗЬ в — т сЬ в = ((а яЬ и — т сЬ и) сов р. — и сЬ и я~п и) + +((а сЬ и — т ЗЬ и) в1п (с + (А ЗЬ и сов (гИ; в пь задача о пгльсиггющкм источники 67 отсюда [$яЬв — тсЬ1['= = (а яЬ и — т сЬ а)' соя' [с + (а сЬ а — т вЬ сс)' в1п' [с + + 2т[с в1п [с соя [с + [с'(яЬв а сова [с + сЬэ а я[п' [с).
Отбрасывая последнее слагаемое правой части и заменяя сумму первых двух членов ее наименьшим значением, получаем [ ~ яЬ $ — т сЬ $ [') (а вЬ а — т сЬ а)' + 2т[с я1п [с сов [т. [ сЬ Ь$ [ ' = сЬ' Ьа сов' Ьр + яЬ' Ьа я1п' Ь[с ( сЬ'Ьсс + вЬэЬа. -х1 Таким образом, на прямой А,А, модуль функции Р Д)ен, равный [Р Я) [е и', может быть ограничен сверху так: :» х > Отсюда вытекает, что х ! е» вЂ” л» с»» Ьэ е~ »»с . 2Н вЂ” их А» (16) Такое ясе неравенство может быть установлено и для отрезка АвАе: А» — < — ""'- " А (17) Рассмотрим теперь горизонтальный отрезок А,А„в точках этого отрезка имеем $.=Л+ас, — а(Л(а. Отсюда получаем [ сЬ Ь| [ = ~/ — [сЬ 2ЬЛ + соя 2Ьа), [ $ яЬ $ — т сЬ $ [ = )» аэ сЬв Л + (Л сЬ Л вЂ” т вЬ Л) ° Из этого неравенства вытекает, что на прямой А,А, рассматриваемый анаменатель возрастает по своему модулю вместе с и, т.
е. вместе с и, не менее быстро, чем '/,ае". Что же касается числителя функции Р ($), то его модуль возрастает вместе с п менее быстро, чем е'"; это следует из неравен- ства 68 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Следовательно, на линии А2А2 будем иметь такое неравенство: (~)) ~ асЬ А ' Отсюда находим следующее неравенство: Аэ — П а и а "1 сьяма 22 ~ 1 я сЬЬЛ 1Ь~2-й сявэ — тсвй а Э сЬЬ (18) Аи х — ЕА ~ СЗЬ| — 2 сЬй (20) взятый по замкнутому контуру А2А2А2А2А„будет равен 2л1, умноженному на сумму вычетов полюсов, находящихся внутри этого контура.
Внутри контура будут полюсы с аффиксами 20 2рм яр2~ ' ' '~ яря. — — 2А' Полюсу — $2 отвечает вычет — юяе, где с!2 622 22 яь 2„(1 — 2+ — 1 полюс же 1р„вмеет вычет — 222 е и, где соэ Ь22 ' 21 Рп~ 2 1 я!э 12 1 — 2 — — ~ т1 Отметив это, будем увеличивать неограниченно размеры контура, придавая числу п последовательно целые значения, стремящиеся к бесконечности. Из неравенства (19) будет следовать тогда, что та Пользуясь неравенствами (16), (17) и (18), мы приходим к следующему неравенству для х ) 0: х ! — ы а а ( 2е н + — еы2-Ю (1 — е н ).
(19) 22ЬС вЂ” тсЬй ах А«АрА4 При неограниченном увеличении числа и, т. е. принеограниченном расширении контура А,А2А,А„ в гориаонтальном и вертикальном направлениях, правая часть этого неравенства стремится к нулю. Возьмем теперь замкнутый контур, состоящий из ломаной линии А,А,А,А, и из участка А2АА контура Г„заключенного между точками А, и А,. Интеграл ! $3. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧППКЕ зз часть интеграла (20), которая относится к ломаной линии А1АоАзА4, будет неограниченно приближаться к нулю, благодаря чему интеграл (20) приведется к интегралу по пути Г,. В силу этого получим х СЬ ос еп х х гзьг,— тсар,'%= — 2лоо1ое и "'+ 2л ~~! о1 е йе'" (24) г, Пользуясь этими формулами, мы можем придать теперь формуле (45) следующий вид для з ) 0: х оо ., х 411 1! = — о1оз1по~з1п — Зо — — зшо~ т о! е "т .
(23) И д 14 т=1 Возвышение поверхности жидкости 1) симметрично относительно оси ординат, поэтому для л ( 0 имеем х Чс .. х чс . %1 — э„, т! = — — 1о з1п Ос з!и — й — — сйп ОЕ ~ ю ел ' "' . (24) и-' д 2~ п~=1 Части общего возвышения поверхности жидкости, изображаемые бесконечными суммами, быстро спадают на нет по мере удаления от источника колебаний. Следовательно, вдалеке от источника поверхность жидкости покрыта стоячими волнами, изображаемыми первыми слагаемыми формул (23) и (24). Но на течение, которое приводит к формулам (23) и (24), мы можем наложить течение, соответствующее стоячим волнам, оо х т) = — О14 СОЗ О! СОЗ вЂ” $4. К Н (25) Тогда поверхность жидкости будет представляться уравнением !х! ое оо .
чт — — э~, 1) = — о!о сов( — Зо-~-О1) — — з1по! 7 о! е и; (26) а (,и ) 1о=1 знак минус отвечает положительным т, знак плюс — отрицательным. Возьмем затем второй интеграл формулы (15). Повторяя для него все предыдущие рассмотрения и замечая, что внутри соответствующего замкнутого контура будет в этом случае пе полюс — $о„а полюс з„ получим х — ы х С!! ЬС ея оз = 2лса1оей + 2Я ~! оэ,„е и ~'". (22) ш=1 г, 70 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Таким образом, мы получаем другое решение поставленной задачи, отвечающее новым условиям о виде поверхности жидкости на большом удалении от источника колебаний.
Это решение состоит из двух частей. Первая часть определяет прогрессивные волны, уходящие в обе стороны от источника со скоростью с = ОЮБ, = айю присущей свободным волнам частоты О. Вторая часть дает симметричное относительно начала координат и быстро убывающее по мере удаления от него колебание поверхности. Относительно полученного решения задачи следует сделать одно аамечанне. Представляя решенпе задачи в виде полусуммы определенных интегралов (11), мы пришли к уравнению поверхности жидкости в виде (14); анализ этого реп1ения покааал, что поверхность жидкости вдалеке от источника имеет форму стоячих колебаний. Мы определяли решение задачи, пме1ощее тот же период, каким обладает дебит пульсирующего источника. В силу этого на полученное решение (14), (23), (24) мо1кет быть наложено любое решение, изобран1ающее свободные периодические волны с частотой О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
