Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Предположим, что это возмущение основного потока обладает потенциалом скоростей, не зависящим от времени: у (х, у). Для невозмущенного движения компоненты скорости суть с и О; для возмущенного движения они будут дх дх и=с — —, и= — —. дх ' ду Применим интеграл Бернулли для рассматриваемого движения = С уу Е ~(с д ) + ( д ) 1 к открытой поверхности ц = т) (х), считая, что в точках втой поверхности добавочные скорости — — и — — малы сравнительно дср д(р дх ду со скоростью потока — =С вЂ” дд+с —.
Р д~р Р дх Но вдоль открытой поверхности ясидкости давление р постоянно. Отсюда получаем возможность определить функцию ц (х) через проиаводную потенциала скоростей. Принимая обычное согла- ~ з. головня для опгкдвлвния гстановившпхся движвнин дь шение о малости движении, будем брать значение этой производной в точках невозмущенного уровня, т. е. для у = О. Таким образом, будем иметь следующее выражение функции тб Но в силу того, что движение установившееся, касательная к волне совпадает с вектором скорости; отсюда д~р 'ч ду дх д~р с —— дх При взятой степени точности расчетов мы можем заменить это равенство таким: Подставляя сюда вместо т) его значение из формулы (1),получаем требуемое граничное условие для свободной поверхности жидкости: (2) Определив интеграл уравнения Лапласа, удовлетворяющий этому граничному условию и всем другим граничным условиям задачи, находим уравнение поверхности жидкости по формуле (1).
Рассмотрим наряду с потенциалом скоростей и функцию тока ф (я, у). Пользуясь известными дифференциальными соотношениями между функциями ~р и ф, мы можем придать основным формулам (1) и (2) следующий вид: — — ~ — — —, ф1 = совз$. д (, дд ~х=о ' ( дз с' ~у=з За счет изменения места отсчета функции ~~ можно константу правой части считать равной нулю.
Получим снова результаты предыдущего параграфа, но пользуясь граничным условием (2). Определим частное решение уравнения Лапласа в виде произведения двух функций Х(х) и г (р). Для определения этих функций получаем уравнение (з) Приравнивая общее значение этих отношений отрицательному числу — Йх, получаем для функции д (х, у) такое выражение: ~р = (Аг соз йх + В, з1п ях)(А,етз + В,е-'х). 46 ГЛ. Е ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Константы А, и В, остаются произвольными, константы же А, и В, определяются по условию обтекания дна канала у = — й.
Используя зто условие, получаем тр = (Аг соя йх + В, яш йх) СЬ Й (у + й). (4) Составим граничное условие (2), которое должно соблюдаться при у = О для всех значений х. Простые вычисления приводят к соотношению между длиной установившейся волны А = 2я!й и скоростью потока: ст = — $Ь— зс 2зй 2я А Уравнение поверхности жидкости найдется по формуле (1): т) = — сййй(Втсояйх — Атя1пйх). 21. (5) Для бесконечно глубокой жидкости имеем ~р = (А„соя йх + В, яш йх) есс, сь т) = — (В, соя йх — Ат я1п йт), 2 с~ с 2я Приравняем теперь общее значение отношений (3) положительному числу х'.
Тогда получим для потенциала скоростей следующее выражение: ~р = (А,е"" -'- В,е-"')(А, соя ху + В, ятп ху). (О) Условие обтекания дна канала приводит зто выражение к более простому виду: ~р = (А,е"' + В,е "") соя х (у + й). (7) Удовлетворим затем условию (2); составляя зто условие, приходим к следующему уравнению для параметра х: ст 1дхй = — х. (8) с Это уравнение имеет бесчисленное множество положительных и отрицательных корней. Для каждого из таких корней мы можем написать потенциал скоростей (7) с двумя произвольными постоянны- ми А, и Вт. Но, как и при рассмотрении стоячих волн, надо заметить, что полученное частное решение (7) пригодно лишь в одной части бесконечного канала.
Для х ) О мы должны приравнять нулю А,; для х ( О постоянную Ад надо сохранить, а приравнять нулю В,. С частными решениями (7) при указанном выборе констант А, и В, мы встречаемся при решении различных задач о волнах. Эти частные решения существуют при любой скорости потока. 1 Э. УСЛОВИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИШЕНИИ 47 Если канал бесконечно глубок, то не будет требования обтекания дна и останется лишь одно условие (2), которое связывает постоянные А, и Вэ следующей зависимостью: хА,+ 1, В,=О, и тогда выражение потенциала скоростей (6) может быть записано так: 1р = (А1Ехх -(- В,Е-х") ( Х СОя Ху — Х я1П Ху) . Это решение, как и выше, приемлемо только в одной части канала. Для х ) 0 мы должны принять 1р = Ве-х" ( —, сояху — хя1п ху), -хх ~еэ для х(0 1р = Ае"'( —,соя ху — хя1п ху) хх Таким образом, параметр х, который можно считать поло1нительным, остается произвольным.
В силу этого полученные потенциалы скоростей можно обобщить, интегрируя их выражения по параметру х, рассматривая А и В как произвольные функции этого параметра. Получим: для х)0 1р (х, у) = ~ В (х) е-х" (+ соя ху — х я1 п ху) дх, 1 Сх 0 для х(0 1р(т, у) = ~ А(х)ехх(+ сояху — хя1пху) Ах.
1 ее о Для канала конечной глубины вместо этих интегральных формул имеем бесконечные ряды, распространенные на положительные корни х уравнения (8): для х) 0 1р(л,у) = ~В„е " "соя х„(у+ й), для л(0 1Р(т, У) = ~Ч~~Ахсхх "СОЯХ,(У+ Я); Ах и Вх — произвольные коэффициенты, обеспечивающие сходимость бесконечных рядов, 48 ГЛ.
1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ВЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ $ 10. Волны на поверхности раздела двух потоков жидкостей дх1 дх, и,=о,— —, Н1= — —, дх ' ду для нижней жидкости дх и =с — —, дх д<р, У ду В силу того, что оба потока— ду, й~ ду дх д~>, дх установившиеся, имеем дхх дч ду дх дхз с —— дх эти точные формулы заменим следующими приближенными: Из этих двух формул следует первое граничное условие для по- верхности раздела: Одновременно с этим кинематическим условием должно существовать условие динамического характера; мы должны написать, что давление не испытывает разрыва при пересечении поверхности раздела.
Пользуясь интегралами Бернулли для верхней и нижней жидкости, получаем с помощью обычных в данной теории приближений одно соотношение, из которого выводим формулу Рассмотрим два потока жидкостей различной плотности; допустим, что верхний поток имеет скорость сг и плотность р„ а нижний поток, который соприкасается с верхним, имеет скорость гх и плотность р,. Предположим, что оба потока простираются неограниченно в вертикальном направлении. Нашей задачей является определение установившихся волн на поверхности раздела этих потоков в предположении, что возмущения, вносимые волнами, неограниченно убывают при удалении от поверхности раздела в вертикальном направлении вверх, а также и вниз. Возьмем невозмущенную поверхность раздела за ось Ох и обозначим через Ч (х) отклонение волновой поверхности от атой оси. Компоненты скорости частиц жидкости могут быть представлены так: для верхней жидкости 1 10.
ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 49 для определения функции т)(х): '1 / дорс дх,~ Ч = )ссре — — е,р,— ) д(рс — р1) (, дх дх (и=с (з) Внесем это значение функции т) в одно из равенств Н) и результат подстановки преобразуем с помощью соотношения (2); получим второе граничное условие: 1 ду с Обратимся теперь к решению поставленной в начале этого параграфа задачи. Согласно условиям задачи мы можем взять выражения потенциалов ср, и ~р, в следующем виде: <р = А,е-"" сов Йх, ср = А,е"" сов )сх. Граничное условие (2) позволяет выразить неизвестные коэффи- циенты А, и А, через один произвольный коэффициент а: А, = ас„А, = — асс.
(5) Составим затем граничное условие (4). После упрощений получим формулу, определяющую длину 2, = 2я/й установившейся волны, выраженной через параметры аадачи: ссрс + сэр, (б) д Формула (3) позволяет затем найти, на основании соотношения (6), уравнение волны: (7) т) = а в1п йх. Полагая в формуле (б) с, = с, = е, получаем с Рс Р1 ГА р,+р, 2а (8) На эту формулу мы можем смотреть как на формулу, определяющую скорость прогрессивной волны длины )„распространяющейся по поверхности раздела двух покоящихся жидкостей различных плотностей. Эта формула показывает, что при небольшой разности плотностей скорость волны незначительна. Для двух потоков жидкости, обладающих скоростями с, и с„текущих между двумя горизонтальными прямыми и имеющих в невозмущенном состоянии глубины Ь„ и Ь„ длина установившейся волны может быть найдена решением трансцендентного уравнения 2аь1 с 2аас дХ р,с, ОСЬ вЂ” + р,с, С1Ь вЂ” = — (р, — р,).
ь А 2а 50 ГЛ. Ь ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Полагая здесь с1 = с, = с, получаем формулу для скорости прогрессивной волны: ~л Рс Р1 2л 2ль1 2льс Р,ссЬ 1 +Р с01— Эта формула может служить также и для определения длины установившейся волны при равенстве скоростей двух потоков. Две последние формулы были обобщены Гринхиллом (А. С. СтеепЬП1) (105'1 на произвольное число слоев жидкости различной плотности. Эта работа Гринхилла содержит исследование самых разнообразных задач о распространении волн. Вернемся к задаче о волнах на поверхности раздела двух потоков и введем подвижную систему координат, перемещающуюся с некоторой постоянной скоростью У слева направо. По отношению к этой системе координат волна (7) будет прогрессивной, идущей со скоростью Г7 в направлении уменьшающихся абсцисс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
