Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Посвящая настоящую главу теории волн на поверхности плоскопараллельного потенциального потока, мы начнем, однако, с общего рассмотрения пространственной задачи и выведем необходимые для дальнейшего изложения уравнения и граничные условия. Допустим, что в некотором открытом сосуде мы имеем тяжелую жидкость, и предположим, что в начальный момент времени, 1 = = О, жидкость находится в покое — в состоянии гидростатического равновесия.
Горизонтальный, плоский уровень жидкости примем за плоскость хОу некоторой прямоугольной системы координат, ось Ох которой направляется нами вертикально вверх. Во всем дальнейшем, за немногими исключениями, мы будем считать жидкость однородной и несжимаемой. Предположим, что жидкость приведена мгновенно в движение путем приложения к ее частицам импульсивных давлений 1 (х, у, з). В согласии с основной теоремой гидродинамики, возникшее движение будет потенциальным в момент времени непосредственно после приложения импульсивных давлений, если жидкость однородная. Тогда, по теореме Лагранжа, и во все последующее время движение жидкости будет обладать потенциалом скоростей ф (х, у, х; ~), который будет удовлетворять уравнению Лапласа дзф дзф д~ф — + —.+ — = О. дхз дуз доз 16 ГЛ. Х ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БНСКОНБЧ НО МАЛЫХ ВОЛНАХ Компоненты скорости частицы жидкости и, э, 1д будут определяться по функции 1р формулами д~р и= — —, дх ' д~р д(р 0 = — — и1 = —— ду' дг Импульсивное давление 1, приведшее жидкость в движение, связано с потенциалом скоростей следующей простой формулой: 1 =Р% где р — плотность жидкости.
Установим прежде всего те начальные и граничные условия, которым должен удовлетворять потенциал скоростей. Во-первых, в каждой точке поверхности сосуда нормальная производная потенциала скорости должна быть равна нулю: — 'р =О (1) (2) р = — сопз$. Зто условие является основным в теории волн и отличает задачи этой теории от других задач гидродинамнки. При развитии теории волн приходится встречаться с такими задачами, когда на поверхности жидкости давление меняется от точки к точке по некоторому закону, и в таком случае условие (2) приходится заменять более сложным условием; с задачами подобного рода мы встретимся в дальнейшем. При изучении вопросов теории волн наибольший интерес представляет установление уравнения открытой поверхности жидкости; до полного решения волновой задачи это уравнение неизвестно и меняется с течением времени.
Будем записывать уравнение свободной поверхности жидкости так: ь =- ~ (х, у; 1). (З) Так как мы рассматриваем потенциальные движения, то давление внутри жидкости может быть вычислено из интеграла Бернулли: — =- — — уг — — У + г'(1), др 1 р д1 2 (4) для каждого момента времени. Отметим, что это условие соблюдается лишь в том случае, если сосуд, в котором содержится жидкость, неподвижен. Если же сосуд будет перемещаться в пространстве, то условие (1) должно быть заменено другим; с таким условием мы встретимся при рассмотрении движения жидкости в движущихся сосудах.
Затем, вдоль свободной волновой поверхности давление р сохраняет постоянное значение, равное значению атмосферного давления: 3 С. ОВЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЬСЕ УСЛОВИЯ 17 где д — ускорение силы тяжести, у — скорость частицы жидкости и С (С) — произвольная функция времени, которая может быть присоединена к функции ф (х, у, з; ~). Применим интеграл Бернулли к точкам свободной поверхности жидкости, заменяя в формуле (4) величины з их значениями (3), относящимися к поверхности жидкости. После такой замены основное условие (2) теории волн примет следующий вид: — — — ~(д ) + (д ) + ( —,) Д вЂ” уь = соней.
(5) Это условие должно соблюдаться во всех точках открытой поверхности жидкости и во все время ее движения. Между функцией ь (х, у; с) и потенциалом ср (х, у, г; с) должно соблюдаться еще одно соотношение, выражающее то свойство непрерывности движения, что при изменении времени частица жидкости, принадлежащая ее поверхности, не может перейти внутрь жидкости, а все время остается на поверхности.
Это положение можно выразить следующим уравнением: дь дь д~ — +и — +у — — в=О, дс дх ду или д~ дф д~ дф д~ дф — = — — + — — —— дс дх дх ду ду дс (6) Во всех частных производных функции ф переменное г должно быть заменено через 1 (х, у; с), так как выписанное соотношение (6) имеет место вдоль открытой, свободной поверхности жидкости. Перейдем теперь к установлению начальных условий задачи. В момент времени ~ = 0 мы можем открытой поверхности жидкости придать желаемую форму, т. е. в начальный момент времени мы можем произвольно задать неизвестную функцию ь (х, у; С); пусть будет ь (х, у; 0) = / (х, у). Кроме того, в начальный момент времени мы можем произвольно задать потенциал скоростей ф (х, у, г; 0) = г" (х, у, г), (8) причем задаваемая функция г' должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Задание функции г' равноценно заданию импульсивного давления, создающего из состояния покоя некоторое волновое движение; но можно сказать также, что задание функции г' указывает на те скорости, которые в исходный момент времени сообщаются частицам жидкости. Таким образом, задача теории волн состоит в отыскании интеграла уравнения Лапласа и функции ~ (х, у; с), удовлетворяющих 18 гл. г. плосеАя ВАЛАчА О Весконечио мАлых ВОлнАх начальным условиям (7), (8), граничному условию (1)на внутренней поверхности сосуда и двум условиям (5) и (6),специфичным для задач теории волн. В удовлетворении этих условий и заключается вся сложность задач о распространении волн.
Эта сложность проистекает из того обстоятельства, что граничные условия (5) и (6) должны выполняться искомым потенциалом скоростей ~р на неизвестной границе ь = ь (х, у; с), которая входит сама в качестве искомого в изучаемую задачу. Отметим, что с таким положением дела мы встречаемся в гидродинамике не только в теории волновых движений, но также в теории струй и в сложном вопросе об отыскании фигур равновесия жидкой вращающейся массы.
В настоящее время существует немного задач теории волн, которые были бы решены с полным удовлетворением всех указанных граничных и начальных условий. Но широко развита и богата разнообразными реаультатами приближенная теория воля, основанная на предположениях о малости тех возмущений, которые волны вносят в равновесное состояние жидкости. Этой приближенной теории, именуемой теорией бесконечно Асалмыа волн, и будет, в основном, посвящено все дальнейшее изложение. $ 2. Граничные условия теории бесконечно малых волн Будем рассматривать такие волновые движения, которые сопровождаются незначительными скоростнми, и будем предполагать вместе с тем, что отклонения Ь поверхности жидкости в ее движении от горизонтальной плоскости, а равно и все первые производные функции ь по координатам суть величины малые.
В таком предположении условия (5) и (6) из з 1 примут следующий вид. — — д~ = сопзь, (') д~ра де )е=л Допуская малость вторых частных производных д'фд1 дг, д'ср/дге, мы можем заменить в этих условиях (с ) (5 соответственно через (У),=. ( с ),=. Благодаря этим предположениям условия (1) перепишутся так: (2) (8) $ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, КАНАЛ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 1У Постоянное число, которое должно было бы еще стоять в правой части (2), можно считать равным нулю в силу возможности присоединения к функции р любой функции, зависящей от времени.
Исключая из формул (2) и (3) функцию ь, получаем граничное условие для потенциала скоростей: (4) Таким образом, функция у~ должна удовлетворять условию обтеканин стенок сосуда и граничному условию (4), которое в этой упрощенной теории должно соблюдаться не на неизвестной открытой поверхности жидкости, а на не возмущенной волнами горизонтальной плоскости г = О (в области, принадлежащей сосуду).
При известной функции ~р уравнение открытой поверхности найдется по формуле (2) простым дифференцированием. Начальные условия задачи состоят в задании исходного потенциала скоростей и частной производной образующегося потенциала, взятой по времени; это последнее условие равноценно указанию формы поверхности жидкости в начальный момент времени.
Изложенное упрощение задачи о волнах было предложено Коши (А. Ь. СапсЬу, 1789 †18), которого можно считать основателем теории волн [91). й 3. Стоячие волны на поверхности канала конечной глубины Начиная с этого параграфа, мы будем изучать в настоящей главе плоскопараллельные волновые движения жидкости. Изменяя несколько принятые выше обозначения, назовем вертикальную плоскость, в которой протекает движение жидкости, плоскостью хОу, направляя ось Оу вертикально вверх. При атом изменении обозначений условия задачи примут следующую форму: — = О на стенках сосуда, д~р дп и возвышение ц точки поверхности волнующейся х<идкости над невозмущенныи уровнем будет определяться формулой =-+( — '-")а . (2) 2Ч гл.
1. плОскАя зАЛАчА О БескОнечнО мАлых волнАх Начальные условия запишутся так: 2) (х, О) = ~ (х), ~р (х, у; О) = Р (х, у). (3) Применим эти общие формулы к определению некоторых волновых движений частного вида. Рассмотрим сначала задачу о колебании поверхности жидкости в бесконечно длинном канале постоянной глубины Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
