Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Д ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Условия (1), (3) и (5) дают следующие соотношения между неизвестными коэффициентами А„В„Ад и частотой а: (а' — дй)Аде"" + (а' + Ай)Вде-"а = О, А,— Вд = А„ (о' — дй)р,А, — ((ат — дй)Ад + (а' + дй)Вд]рд = О. Детерминант дд этой системы уравнений имеет следующий вид: дд = 2 (ф — а')[(р, с]д йй + р, я]д йй)а' — (р, — рд)дй я]д йй]. Приравнивая нулю этот детерминант, получаем два разных зна- чения а: ад = дй, о' = дй сййй р,+Р,Дава Определим потенциалы скоростей и величины т]д и Чд для каждой из этих частот.
Рассмотрим сначала первую частоту. Уравнения (7) показывают, что в этом случае В, = 0 и А, = А,; в силу этого выражение потенциала скоростей будет одним и тем же для обеих жидкостей: ф, = ф, = А,едв соя йх соя а1, но величины д]д и т], будут вычисляться по разным формулам: (1) и (2). Выполняя подсчеты, находим уравнение свободной поверх ности: тп = — — Адедасояйхяша1 (8) е и уравнение поверхности раздела, определяющее внутреннюю волну: а Чд = — — Адсояйхя]па1. (9) е Где .0 — произвольная постоянная, Уравнения свободной поверхности и поверхности раздела за-.
писываются в этом случае так: д]д = — 2йай соя йх ядп ае, т]д = Р' йаед"Р соя йх ядп ае. Рд Рд (10) Рассмотрим теперь вторую частоту. Решая уравнения (7) в этом втором случае, получаем для потенциалов скоростей следуюппде выражения: фд = ((а' + яй)е 'т- ~ — (а' — яе-и"-"д Ю соя йх соя ад, фд = ((ад + дй)е-та + (ад Яед")едеВ соя йх соя ад зй 1 3. ПРоггесспвные Волны Полученные выше формулы (8) и (9) показывают, что отношение амплитуды колебаний поверхности раздела к амплитуде колебаний свободной поверхности не зависит от плотностей р, и р, и имеет такое же значение, как будто бы жидкость была однородной.
Совершенно иное имеет место при частотах второго рода. Здесь, во-первых, при данной длине волны частота пропорциональна разности плотностей и, следовательно, при небольшом различии плотностей частота колебаний весьма мала; таким образом, период колебаний будет значителен. Во-вторых, и это является наиболее интересным в данной задаче, отношение амплитуды колебаний поверхности раздела к амплитуде колебаний свободной поверхности жидкости имеет, как это следует из формул (10), значительную величину: е~" Ря — Р~ Таким образом, внутренние волны второго рода получают значительное развитие по отношению к волнам на свободной поверхности и достигают большой амплитуды, если разность плотностей двух жидкостей мала. Результаты, полученные для симметричных колебаний, повторяются полностью и для асимметричных колебаний по координате х.
б 6. Прогрессивные волны Вернемся к формулам (10) з 3, определяющим потенциалы скоростей стоячих волн (9) з 3. Положим в этих формулах а, = а, = =- а, е, = '/,и, е, = 0 и сложим эти потенциалы; мы получим тогда потенциал скоростей %= —— ад сэ й (у + й) о сайй зш (йх — а1), соответствующий прогрессивной (распространяющейся) волне, бегущей по поверхности канала глубины й без изменения своей формы: т) = а соз (йх — с1). (2) Эта волна движется в направлении возрастающих х со скоростью с = а)й. Коли бы мы взяли снова а = аэ = а, но положили з„= Ч,я, еэ = и, то получили бы прогрессивную волну, распространяющуюся со скоростью с в направлении убывающих лп г~ = а соз (/сх + с1). Потенциал скоростей соответствующего движения жидкости Л.
и. Сретммкпа 34 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БГСКОНВЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ будет писаться так: 1р = — ~ (~ з(п(ЬЛ+о1). б с'с йй Для жидкости бесконечной глубины имеем следующую формулу для потенциала скорое~ей прогрессивной волны (2): = — — е"с з1п(йх — о1).
б (8) Для прогрессивной волны, бегущей в сторону отрицательных х, потенциал скоростей пишется так: 1р = ~ егзз1п(Ьх+ о~). б Обратимся к анализу формул, определяющих скорость прогрессивной волны. Рассмотрим сначала канал конечной глубины Ь. Из формулы (8) 2 3 получаем для скорости с следующее выражение: се = а 1ЬЬЬ, й или дЕ 2ЛЬ С' = — С)1 — ' 2;1 Л (5) Простые рассмотрения показывают, что при А = 0 имеем с = О, а при Ь = оо имеем с = рАЬ.
При непрерывном увеличении длины волны Ь от нуля и до бесконечности скорость с монотонно растет от нуля и до )1 ЯЬ. Действительно, производная от с по А, равная сас— 2, К этой формуле, установленной Эри (6. В. А(гу, 1801 — 1892) (77), можно прийти, рассматривая жидкость бесконечной глубины; для жидкости бесконечной глубины о' = яЬ, следовательно, скорость распространения прогрессивных волн по поверхности всегда полон'ительпа.
Из этого следует, что скорость распространения прогрессивной волны по поверхности канала конечной глубины Ь ни для одной волны не превосходит у' ЯЬ. Эта максимальная скорость отвечает волнам очень большой длины. Из формулы (5) можно вывести вместе с тем, что за скорость очень короткой волны можно принять следующее выражение: е2, с' = —.
2я 1 б. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ жидкости бесконечной глубины будет ЯХ 2я (6) В таблице 2 приведены значения скоростей волн разной длины и для разных глубин канала. Рассмотрим волновое движение, определяемое потенциалом скоростей (4), и найдем формы траекторий частиц жидкости при этом движении. Таблица 2 Скорости распространенна прогрессивных волн . ° / Ел 2яй с = ~ — 1Ь вЂ” (скорость волны, м/оал) 2я Х Длина волин Л, м Глубина аолы ь, м 1ооо 1О 10 100 1 000 10 000 Дифференциальные уравнения траекторий запишутся так: — = — ай Их д сЬй(у+й) лтт о с!т йй соэ ()сх — о(), — = — а)с лу л айй(у+ й) от с сЬай э)п (Йх — о1). (7) Будем интегрировать эти уравнения с помощью степенных рядов по параметру а(о, полагая х = хо (1) + акхт (1) +..., (8) У = Уо (1) + а)срт (1) + ".
и ограничиваясь подсчетом лишь явно выписанных членов. Подстановка этих разложений в уравнения (7)приводит к следующим уравнениям, которые надо последовательно интегрировать: — — — соз ()охо — О1), ох, д сЬ й (ус+ й) Ю с ой ай — — з(п ()схо — о(). лу1 8 сй й (ус+ й) ат с сЬай 1,2495 1, 2495 1,2495 1,2495 1,2495 1,2495 2,9487 3,9513 3,9513 3,9513 3,9513 3,9513 3,1300 9,3246 12,495 12,495 12,495 12,495 3,1321 9,8980 29,487 39,513 39,513 39,513 3,1322 9,9045 31,300 93,246 124,95 124,95 зз гл.
ц плоская зьдьчь о вксконкчно малых волнах Из двух первых уравнений получаем хо =- а уо = [э где а и [в — постоянные. Интегрирование двух последних урав- нений дает хд =— оЫ (я+Ь1 явь ьь юп(йа — а~) + С, у, =, соя (йа — св) + Р, вь ь(1+ ь) где С и .Р— две произвольные константы. Определим эти константы так, чтобы введенные выше постоянные а и [в были координатами Лагранжа движущейся частицы жидкости. Для этого нужно, очевццно, С и Р приписать следующие значения: С = „„„„яшйа, Р = — „„сояйа.
оЬь(б+ Ь) . яЬьУ+ ь) ьвььь ьяььь Теперь ряды (8) приводят к следующим приближенным уравнениям траекторий: х=а+а сы (я+ ь) вь ьь [яьп йа — яш (йа — ае)), у=р — а яы у+ь) яь Йь [соя йа — соз (йа — ав)). Исключая из этих уравнений время ~, находим, что каждая частица жидкости описывает при своем движении эллипс с полуосями сьь(б+ь) яы(б+ь) и параллельными осям координат, причем горизонтальная ось больше вертикальной. О погружением в жидкость меньшая ось стремится к нулю и на дне принимает это значение.
Движение по эллипсу идет по часовой стрелке, и полное время пробега эллипса равно 2я/а = Мс. Мы рассмотрели волну (2), идущую слева направо; для волны, идущей справа налево, все предыдущее сохраняется, за исключением того, что частицы жидкости будут описывать свои эллиптические траектории против часовой стрелки. Отметим, что при прохождении прогрессивной волны по поверхности канала бесконечной глубины частицы жидкости описывают круговые траектории.
В этом можно убедиться, интегрируя тем же приемом, как и выше, дифференциальные уравнения траекторий,' составленные на основании потенциала скоростей (3). Приближенные уравнения траекторий имеют вид х = а + аеяя [я1п йи — я[п (йа — ао)), у = р — аевв [соя йх — соя (йа — ав)). (10) $ Э. ПРОРРБССИВНЫЕ ВОЛНЫ К изложенным результатам о форме траекторий частиц жид- кости надо отнестись с большой осторожностью. Эти результаты являются совершенно справедливыми для волн бесконечно малой амплитуды, т. е. являются справедливыми при тех упрощающих предположениях, которые лежат в основе теории бесконечно малых волн. Но при изучении волн конечной амплитуды мы встретимся с замечательным явлением, обнаруя<енным Стоксом (С.
С. 81о)сез, 1819 — 1903) [187], [188), переноса жидкости в на- правлении распространения прогрессивной волны; прогрессивная волна создает внутри жидкости движение частиц в направлении своего распространения. Таким образом, частицы жидкости не описывают замкнутых траекторий. При распространении прогрессивной волны по поверхности жидкости бесконечной глубины частицы жидкости на бесконечной глубине находятся в покое. По отношению к покоящейся в беско- нечности жидкости и берется скорость прогрессивной волны с.
Но по отношению к каким частям жидкости следует измерять ско- рость волны в канале конечной глубины, ведь все частицы жидко- сти находятся в этом случае в движении? Покахсем, что центр тяжести всякой массы жидкости, содержащейся в какой-нибудь момент времени (например,' в начальный) между свободной по- верхностью, )дном канала и двумя прямыми линиями ~ удаленными друг от друга на расстояние длины волны,' находится в покое. Координаты частиц жидкости, принадлежащих такой массе, могут быть определены формулами (9) через свои координаты Лагранжа а, р, 1. Первая из этих координат меняется внутри рас- сматриваемой массы жидкости между а, и а, + 2я/)с, где а,— какое-нибудь число. Координата р меняется от — Ь до а соз йа, так как в момент времени ~ = 0 уравнение свободной поверхности есть р = а соз Йа. Координаты Х, У центра тяжести рассматриваемой массы жидкости имеют следующий вид: Х =+Цхйхс[у, У= Р ~~удхду, где М вЂ” величина массы жидкости.
Перейдем в этих формулах к переменным а и р; будем иметь а,+ за~в а сов ⻠— й а,+Ва) В а сов й» У= ~ ) ~ у ('У дав)р, М,) „Ю(о, р) »с — й а»+В»~э а сов йа М р ~ ~ (*г У) Дав[[) ав -З 38 тл. ь плоскАя зАдАчА О БескОнечнО мАлых Волнлх Выполняя дальнейшие вычисления с точностью до первых степеней ай включительно, имеем Н(т., р] Ь =1, М=2лр— и, далее, «+о яо о Х= — ~ Иа ~ ~а+а *Г Г ( сьл(б+л) 2ЗЛ оь лл (з(п йа — з|п (йа — сМ))) ар, аа — л аа-Роа1Л о У = — ~ да ~ (р — а „[созйа — соз(йа — О1))~ ф. г г р ойй4+ л) а — л Вычисляя зти интегралы, приходим к следующему результату: я 1 Х=а + — „, У= — — Ь.
о хл с 2я ' (11) Волны второго вида, получаемые из стоячих колебаний (10) 2 5, обладают скоростью, находимой по формуле 0Х 2ЯЬ Ра — Ра с' = — 1)т— 2я Х 2ЯЬ р,+р,тв— (12) Для коротких волн получаем отсюда со = р,+р, 2я при небольшом различии плотностей скорость с будет весьма мала. Таким образом, при прохождении прогрессивной волны центр тяжести рассматриваемой массы жидкости остается в покое. С этим центром тяжести мы можем связать неподвижную систему отсчета, по отношению к которой и измеряется скорость волны. Обратимся, наконец, к прогрессивным волнам на поверхности неоднородной жидкости.
Применяя изложенный в настоящем параграфе способ перехода от стоячих волн к волнам прогрессивным, мы приходим, основываясь на результатах 8 5, к следующим заключениям. По свободной поверхности и по поверхности раздела двух жидкостей различных плотностей могут распространяться прогрессивные волны двух разных видов. Волны первого вида, получаемые из стоячих колебаний (8) и (9) 2 5, распространяются со скоростью с, определяемой формулой ~ х волны ГБРстнеРА зз Для длинных волн имеем сз = (1 — — ') дЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
