Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(13) Можно показать, что при непрерывном увеличении Х от нуля до бесконечности скорость е волн второго вида монотонно возрастает от нуля до числа, определяемого формулой (13), дающей, следовательно, максимальную скорость волн второго вида. Отметим и адесь значительное превосходство амплитуды волны на поверхности раздела перед амплитудой волны на свободной поверхности. Отношение первой из этих амплитуд ко второй амплитуде равно \ еаа Ре — Р~ и достигает большой величины при малом различии плотностей жидкостей.
$ 7. Волны Герстнера Коли в формулах (10) з 6 мы устраним члены з(п Аа и соз ка и возьмем, следовательно, такие формулы: х = а — ие"Э зш (йа — о1), И) у = р + иега соз (йа — ос), р = р+ — „1пай и введем вместо у координату у' по формуле у' = у+ — 1пак.
ь После введения новых переменных уравнения (1) примут следующий вид: 1 х = а — — еаа зш ()еа — 01), й (2) у = р + — е" З соз (уса — ое); 1 е штрихи у р и у опущены. то придем к неожиданному и важному результату, состоящему в том, что этими новыми формулами дается совершенно точное решение гидродинамических уравнений Лагранжа в переменных а, ~), 1; это решение определяет вместе с тем распространение прогрессивной волны по поверхности бесконечно глубокой жидкости. Чтобы убедиться в этом, преобразуем сначала уравнения (1) к более простому виду. Заменим переменное р новым переменным р' по формуле 40 тл.
1. плОскАя зАЛАЯА О Бесконечно мАлых ВолнАх Возьмем уравнения движения жидкости дех дх /д~ ~ ду 1 де — — +' — +б — = — —— дя да йдм 1 да р да д'х дх / дху ~ ду 1 др — — + — +й — = — —— ди дД (, дИ ) дР р дД и составим по формулам (2) левые части этих уравнений. Получим — — — = — е д (о — яй) зш(йа — а1), 1 др 1 р да й — — — = — — е д(о — яй)соэ(йа — а1) — — ее З+ я. др й р д(1 й й Эти уравнения совместны и дают для р следующее значение: Р = — „, (а' — дй) е"З сов (йа — а1) + — „, е'~э — й~+ сопэю (3) Составим затем уравнение непрерывности. Согласно этому урав- нению детерминант дх дх да др ду ду да др должен быть функцией лишь а и р.
Подсчет показывает, что и — ( еэйэ Таким образом, все три уравнения метода Лагранжа удовлетворяются функциями (2) и (3) безо всякого приближения. Заметим, что а и р не будут значениями координат х и у для 1 = О, а некоторыми параметрами, отличающими одну частицу жидкости от другой. Рассмотрим формулу (3). Правая часть этой формулы свободна от времени, если множитель о' — дй приравнять нулю, и тогда формула (3) запишется так: — = — е2йд — й() + сопэ1.
р 2й Эта формула показывает, что для всех частиц жидкости, обладающих одним и тем же р, притом каким угодно, давление р имеет постоянное, не зависящее от времени значение. Следовательно, удаляя иэ всей жидкости слой, для частиц которого вторая координата Лагранжа превосходит выбранное значение р, мы будем иметь волновое движение, причем поверхность волны будет определяться формулами (2) с заменою р этим выбранным его значением. $7. ВОЛНЫ ГЕРСТНЕРА Формулы (2) определяют в зависимости от параметра а прогрессивную волну, распространяющуюся со скоростью к =У Легко видеть ив формул (2), что в каждый момент времени рассматриваемая прогрессивная волна представляет собою эпициклоиду, описываемую некоторой точкой М круга радиуса Л = =- 1Я, катящегося без скольжения по горизонтальной прямой у = В + р; точна М, описывающая зту эпицинлоиду, находится на расстоянии Лекв от центра круга; катящийся круг касается снизу прямой у = В + р.
Отметим, что число р должно необходимо быть отрицательным, так как в противном случае зпициклоида превращалась бы в гипоциклоиду и поверхность жидкости имела бы двойные точки, что недопустимо по содержанию гидродинамической задачи. Самое большое допустимое значение [) есть нуль, и в этом случае поверхность жидкости представляет собою бесконечную последовательность цинлоид.
Покажем, что движение жидкости, определяемое формулами (2), не является, однако, потенциальным. Чтобы видеть это, составим по компонентам скорости и = се"а сов (Йх — О1), и = се"В вш (иск — О1) величину вихря ди ди дх ду Дифференцируя каждую из формул (2) по х и у, получаем после небольших вычислений — = — [1+ е асов(йа — О1)[,— = — е д в1п(аа — О1), да 1 к да 1 дх Ь ду А 1 к д[3 Ь вЂ” е В вш(йа — О1), — = — [1 — е асов(йа — О1)], ду а дх где Л = 1 еккв. Принимая в расчет формулы ди ду ди дх да дх да дх дб дх ди дб ди ди да ду да ду д[3 ду 42 гл г плоскАя задачА О вксконечно мАлых Волнах получаем на основании формул' (4) следующее выражение величины засев З Из этой формулы видно прежде всего, что рассматриваемое движение жидкости есть вихревое; но вектор вихря весьма быстро уменьшается по своей величине по мере погружения в жидкость; зто уменьшение тем более значительно, чем меньше длина распространяющейся волны.
Изученное здесь волновое движение, примечательное своей простотой и законченностью, было открыто в 1804 г. Герстнером (1, Р. чоп бегзФпег" ,1756 — 1832) (102'1 *). Простота формул Герстнера дала возмохсность А. Н. Крылову построить теорию качки кораблей на волнении (137), нашедшую большое приложение в судостроении. $ 8. Установившиеся волновые движения Рассмотрим какую-нибудь прогрессивную волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси Ох. Скорость с распространения этой волны может быть вычислена по ее длине.
Рассмотрим теперь систему координат, перемещающуюся вместе с волной; по отношению к этой системе координат движение жидкости будет установившимся, и весь поток жидкости будет иметь скорость с слева направо. Выведенные выше формулы (5) и (6) из з 6 для скорости прогрессивных волн получают теперь иной смысл. Они позволяют по скорости потока определять длину установившейся периодической волны. Из формулы (6) з 6 видно, что каждому значению скорости с отвечает вполне определенная длина А установившейся волны, развивающейся на поверхности бесконечно глубокого потока.
Из проведенного выше анализа формулы (5) $6 вытекает, что на поверхности потока глубины Ь могут возникать лериодические волны лишь для скоростей потока, меньших чем р' д!г. При увеличении скорости потока от нуля и до )/ дй длина установившейся периодической волны непрерывно растет от нуля до бесконечности. Обратимся теперь к волнам на поверхности жидкости, состоящей из двух слоев разных плотностей. Прогрессивные волны, скорость которых дается формулой (11) з 6, переходят в установившиеся волны, длина которых по скорости единственным образом определяется этой формулой.
*) Штрих у номера литературной ссылки означает, что соответствующая литература указана научннчи ролакторачи, Автором указако лищь косто Лакиой ссылки в тексте, (гтрк.в. ред,) в, рствновпвшпвся волновыз двпжвния >>2 Х' = — Х. 1 и Это требование эквивалентно — = — 1)ь вХ вХ 2ии 2з существованию равенства 2М Рг — Рг 2М р+р,1Ь- г Отсюда находим 1Ь вЂ” ' ирг — (и + 11р Длина Х может быть определена из этого уравнения лишь при соблюдении условия рв ( лрв — (и + 1) р„ из которого следует, что рь >г — 1 — (— рг >ь+ 1 Очевидно, что для взятых значений р, и р, (р, ) р,) всегда существует такое целое число пю что для всех целых значений и ) пв будет соблюдаться это неравенство.
Таким образом, для данных значений плотностей двух слоев жидкости существует бесконечное число различных скоростей, стремящи хся к Прогрессивные волны второго вида, между длиной и скоростью которых существует соотношение (12) з 6, переходят теперь в установившиеся волны. Соотношение (12) 2 6 дает возможность найти по скорости потока с единственным образом длину 1. установившихся волн, образующихся на открытой поверхности и на поверхности раздела. Но величина Х может быть определена лишь в том случае, если скорость потока меньше чем в» (>1 Рг) Иными словами, только для скоростей потоков, меньших этой величины, могут образовываться установившиеся волны второго вида.
Зги волны достигагот большего развития на поверхности раздела, чем на свободной поверхности. В связи с существованием двух видов установившихся волн при данной скорости потока неоднородной жидкости можно отметить следующий интересный факт. Найдем такое значение скорости, при котором длина Х' установившейся волны первого вида была бы целой долей длины 1 установившейся волны второго вида: х4 ГЛ. 1.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БКСКОНБЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ для которых длина волны первого вида будет целой долей волны второго вида. Следовательно, для таких скоростей поверхность жидкости и поверхность раздела будут составляться из двух простых волн с произвольными амплитудами. $ 9. Общие условия для определения установившихся волновых движений Установившиеся волны можно получить непосредственно, без перехода через прогрессивные волны.
Зто мы сейчас сделаем, выведя общие условия для установившихся волновых движений. Для зтих движений начальные условия отпадают и остаются лишь граничные условия. Условие равенства нулю нормальной производной потенциала на стенках бассейна остается в силе и для установившихся движений, но условие на свободной поверхности жидкости ' д~<р дх Г , +у дм ду )у=о должно быть заменено другим. Рассмотрим течение жидкости в неограниченном канале глубины Ь и предположим, что вся жидкость как нечто целое перемещается со скоростью с, имея, следовательно, открытую поверхность горизонтальной, у = О. Допустим теперь, что под влиянием некоторых причин такой простой режим течения изменился н поверхность ягидкости покрылась волнами установившегося вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
