Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вторая же из формул (9), в которой чис- Следовательно, частицы жидкости описывают отрезки прямых линий, наклоненных под разными углами ко дну канала, совершая гармоническое движение с периодом 2ЫО; амплитуда А колебаний зависит от положения частицы жидкости и имеет следующее значение: 26 РЛ.
1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ ло й взято из формулы (17), представляет антисимметричные собственные колебания жидкости в рассматриваемом прямоугольном бассейне. Частоты этих колебаний, симметричных и антисимметричных, определяются по-прежнему формулой (8). При рассмотрении уравнения (8) мы приравнивали обе его части постоянному отрицательному числу. Посмотрим теперь, к каким следствиям мы придем, если приравняем обе части этого уравнения какому-нибудь постоянному положительному числу й'.
мы получим тогда для функций х (х; 1) и 1' (у; 1) следующие выражения: Х вЂ” А (1)евх + В (1)е-"х У = А, (1) сов йу + В, (1) в1п йу. Условие обтекания дна бассейна позволяет выразить функции А, (1) и В, (1) через одну функцию и представить соответствующий потенциал скоростей в следующем виде через две произвольные функции времени а (1) и 6 (1): 1р = (а (1)е"" + Ь (1)е-х") сов й (у + Ь). (18) Граничное условие для поверхности жидкости дает два уравнения для определения этих функций: ааа —,— уй1дйй.а = О, Е1з (19) — „„— уй18йй ь=о.
Эти уравнения будут иметь периодические по времени решения а (1) = С, сов (Ог+ зт), 6 (1) = С, сов (а1 + в,), если между а и й установить следующую зависимость: о' + уй 1я йй = О. При данном о это уравнение имеет бесконечное число положительных и отрицательных решений й„— й„й„— й„...: О( —,", (й,(й,(... Функции сов й,(у+Ь), совй,(у+ Ь), ...
образуют в промежутке — Ь ( у ( О ортогональную систему, причем а совз й„(у + Ь) ду = — (2й„й+ я1Б 2йхй). 1 в Формула (18) дает выражение соответствующего потенциала скоростеи Так как наша теория не допускает неограниченного воз- 1 4. столйие волны, жидкость БескОнечнОЙ ГлУБины зр растания ординат свободной поверхности, то для положительных значений х мы можем использовать только такие потенциалы скоростей: ер = С,е "в" сов [сл (у + Ь) сов (Ое + в,), (20) для отрицательных же х такие: КР = С,ек и сов [ев (У + Ь) сов (ОЕ + в,).
(21) При изучении ряда вопросов, связанных с волновыми движениями в каналах, нельзя обойтись без частных решений (20) и (21). З 4. Стоячие волны на поверхности жидкости бесконечной глубины Возьмем формулу (15) 4 3 и придадим ей следующий вид: аекз А = [ее1 — 2е ткзе ™" сов 2йа+ е-'кзе ™л. е — 22л Оставляя величины ее и [1 неизменными, т.
е. рассматривая волну одной и той же длины и наблюдая за частицей одного и того же погружения, будем увеличивать глубину бассейна. Тогда предыдущая формула будет показывать, что уже для небольших значений отношения глубины бассейна к длине волны величина А будет почти равна аекз и не будет, следовательно, зависеть от глубины бассейна. Иными словами, при рассмотрении волн, коротких по отношению к глубине, возможно глубину бассейна считать бесконечной. Это допущение упрощает в значительной степени все вопросы, связанные с колебанием жидкости в сосудах и бассейнах.
Войдем здесь в некоторые подробности. Отыскивая, как и в в 3, частные решения в виде произведения двух функций, мы получаем следующее выражение потенциала скоростей: ер = [А, (2) сов )ех + В, (1) в[п еех[[А2 Яе"" + В, (2)е-к"] . Скорости частиц жидкости, вычисляемые по этому потенциалу, будут прн неограниченном погружении в жидкость, у -+. — со, неограниченно расти. Для рассматриваемого случая жидкости бесконечной глубины мы потребуем в качестве условия, заменяющего условие (4) в 3, обращения в нуль обеих составляющих скорости на бесконечной глубине. Это требование приводит к обращению в нуль функции В, (е).
Отсюда потенциал скоростей может быть представлен в таком виде в): ер = [а(1) сов их + Ь (т) в[п Мест. е) Здесь, как и во всем предыдущем и последующем, считается, что я)0. 28 ГЛ. Е ПЛОСПАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Граничное условие приводит к следующим уравнениям для определения неизвестных функций а (ь) и Ь (Ь): а'яа иь —,+оеа = О, — +оЬ=О где (2) Интегрируя эти уравнения, мы приходим, как и в я 3, к заключению, что наиболее общее выражение функции у может быть получено сложением двух следующих потенциалов скоростей: — — е""соя ахсоя(оЕ+ е,), (3) ср, = — — ' еь" яш Йх соя (ОЬ + е,).
а Уравнения поверхности жидкости, отвечающие этим потенциалам, запишутся соответственно так: ц, = а„соя йх я1п (ОЬ -(- е„), (4) ц, = а, я1п Ах яп (оЬ + е,). Постоянные а„аю ем ет могут иметь произвольные значения. Полученными формулами определяются стоячие волны на поверхности бесконечно глубокого бассейна. Описание кинематической и геометрической стороны движения для рассматриваемых волн повторяет все, что было сказано в з 3 для бассейна конечной глубины. Но здесь надо отметить одну интересную особенность стоячих волн, возникающих на поверхности жидкости бесконечной глубины, не присущую, видимо, стоячим волнам на поверхности канала конечной глубины. Стоячие волны — волны периодические по отношению к х и д Если мы возьмем стоячую волну длины 2Ы(йи'), где и есть какое-нибудь целое число, то период колебания этой волны будет, как это следует из формулы (2), в и раэ меньше периода волны с волновым числом Ь.
Следовательно, каждый из потенциалов скоростей а д ср = — — е""'*а соя йиях соя(и ф' дйЬ+ е„), а р Еь а д ~р' = — " е""*з я1п йи'х соя (и У фс ь + е„) иу ез 2 4. стоячие ВОлны, жидкость вескОнечной глувины 29 будет представлять движение, периодическое по х и 2; периодом по х можно вместе с тем считать 2ЛИ, а периодом по 2 — число 2п/)~дй. Отсюда вытекает, что бесконечные ряды Ф(х, у; 2) = — ~ — еаа'эсоз)еиахсоз(п у'уз 2+ е„), у',~, ~Л а Й, Ф'(х, у; «) = — ~~ —" еаа'а з2п )2пэх сов (и )/ху)2 г -(- з„) у",а,~~ а будут изображать движения жидкости, периодические по х и по 2; коэффициенты оа и а', должны быть взяты так, чтобы была обеспечена сходимость написанных рядов.
Первый потенциал скоростей дает волны с неподвижными пучностями, а второй — с неподвижными узлами. Вернемся к уравнению (6) в 3 и приравняем общее значение правой и левой части этого уравнения положительному числу )22. Мы получим тогда выражение соответствующего потенциала скоростей в следующем виде: 2р = (А, (~)еа" + В, Яе-"") (А, (~) соз еу + В, (2) Мп пу). (5) Условие ограниченности скоростей на бесконечной глубине не накладывает, как выше, каких-либо ограничений на функции А, (1) и В, (2).
В первых квадратных скобках следует удержать лишь второе слагаемое, если мы будем рассматривать движение для положительных х; если же будем рассматривать движение для отрицательных х, то надо взять только первое слагаемое; оба слагаемых брать нельзя, так как в противном случае 2р неограниченно возрастало бы вместе с ~ х ~. Будем рассматривать движение жидкости для положительных значений х.
В этом случае потенциал (5) может быть записан так: (а (г) соз яу + Ь (г) з)п йу)е — ьх Условие (1) приводит к следующему соотношению между новыми функциями а(2) и ь (2): Ра —, + у)2Ь = О. И 22 Это будет единственное соотношение между этими функциями, и потенциал скоростей запишется так: 1 Фа <у = ) а (2) соз йу — — — з2п Еу1 е-"". ХЬ,~22 Отсюда уравнение поверхности жидкости будет иа ц= — — е =аЛ2 30 гл.
х плосдая зхдхчх о ннсконвчно малых волнах Функция а (~) произвольна; если мы примем ее равной — — ~ сов (о~ + е), с где а есть постоянное число, то получим оэ ~р = — — ~ (соа ку + — зш ку) е ь" соа (оГ -)- з), с~ да (6) т~ = ае-т' з1п (о1 + е). Частные решения этого вида играют большую роль при решении ряда важных задач о периодических волнах.
Частные решения (3) позволяют найти для бассейна, ограниченного двумя вертикальными прямыми х = — Ъ, х == Ъ, решение задачи о движении волн, возникших от сообщения жидкости данных начальных скоростей и от начального изменения горвзонтального уровня жидкости. Иными словами, с помощью частных решений (3) можно найти интеграл уравнения Лапласа, удовлетворяющий, помимо условий (1) з 3, также и условиям (3) з 3.
Это достигается обычными приемами интегрирования уравнений математической физики. $5. Стоячие волны на поверхности слоисто-неоднородной жидкости; внутренние волны Предположим, что на поверхности бесконечно глубокой жидкости плотности р, лежит слой жидкости глубины Ь и плотности р, ( р,. Свободная поверхность и поверхность раздела этих жидкостей горизонтальны при отсутствии возмущопий.
Найдем те простейшие волновые движения, которые могут быть на этих двух поверхностях. Несколько меняя принятую выше систему координат, проведем ось Ох по поверхности раздела в ее равновесном состоянии; тогда равновесное состояние свободной поверхности будет иметь уравнение у = Ь. Обозначим через ф, и ~рэ потенциалы скоростей движения верхней и нижней жидкостей соответственно, а через и, и ц, — вертикальные отклонения точек свободной поверхности и поверхности раздела соответственно от их равновесных положений.
Прежде всего мы мо1кем написать следующие формулы: Давление внутри верхней и нижней жидкостей определяется интегралами Бернулли в их упрощенной форме: д<р1 р, дчч УУ вЂ” = — КУ. Р1 д~ ' Рь а~ р ь, слоисто-ннодногоднля жидкость При переходе поверхности раздела волнующихся жидкостей давление не испытывает разрыва. Отсюда вытекает первое условке сопряжения движения двух слоев жидкости: Р1( др РЬ) = Ре(,~~ — КЧе) .
Решая это уравнение относительно це и снося значения частных производных на невовмущенную поверхность раздела, получаем формулу для определения ординат точек поверхности раздела: ~рз — — о, — ~ 1 / дф~ дф,~ В(ре — Р1) ~ др ' др ~и=ю (2) Примем теперь во внимание, что вдоль поверхности раздела движутся одни и те же частицы верхней жидкости и одни и те же частицы нижней жидкости. Из етого условия вытекает для малых движений жидкостей и небольших наклонов волновой поверхности требование равенства вертикальных скоростей частиц верхней и нижней жидкостей вдоль линии раздела: ддф1 дф дк дк и условие дч2 ~'Ь др дз (4) Входящие сюда частные производные будем брать на невозмущенном положении поверхности раздела, т. е.
при у = О. Исключим из формул (2) и (4) функцию цз; мы получим тогда в добавление к условию (3) новое условие для у = О: Ра( дв +в д ) Р1(~,'+в" — ') = О. (5) Таким образом, гармонические функции ф, и фз должны удовлетворять условиям (1), (3) и (5). Если нижняя жидкость имела бы некоторую конечную глубину Н, то к указанным условиям следовало бы добавить еще условие (дз)з= Н Но при рассмотрении бесконечно глубокой жидкости мы подчиним движение нижней жидкости требованию обращения в нуль скоростей ее частиц на бесконечной глубине. Основываясь на проведенном выше исследовании стоячих колебаний однородной жидкости, будем с самого начала искать простейшие решения новой задачи в следующем виде: ф = (А еь." + В е-"") сов йх сов пе (б) фз = А еьу сов кх сов ор, 32 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
