Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Оставим нока в стороне начальные условия (3) и найдем серию решений задачи, удовлетворяющих лишь граничным условиям ((). Первое из этих условий запишется в данном случае так: ( ду )2= — А (4) Найдем частное решение уравнения Лапласа дзи д%~ — + — =0 дх2 ду2 (5) в виде произведения функции переменного х на функцию переменного у: р = Х (х; 1) г (у; 1). 1 д2Х 1 азу (6) Х Гхз У гу2 Приравняем обе части этого равенства какому-нибудь постоянно- му, не зависшему от времени отрицательному числу — Ь2. Тогда получим два следующих уравнения: Интегрируя эти уравнения, получаем Х = А, (1) соз Ьх + В, (Г) з(п Ьх, У = А2 (1)е22 + В, (1)е-уз, где А, (1), А, (1), В, (1), В2 (1) — произвольные функции времени. В силу граничного условия (4) функции А, (1) и В, (1) можно выразить через одну функцию 22 (1) по формулам А (1) 2 е В (1)' В2 (2) 2 Отсюда функция У (у; 1) может быть представлена так: У (у; 1) = Р (1) С22 Ь (у + Ь).
Составим теперь функцию 2р (х, у; 1), получим 2р = (а (1) соз Ьх + Ь (8) з(п Ьх) с)2 Ь (у + Ь), (7) Подстановка этого произведения в уравнение (5) приводит к сле- дующему равенству: $2. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, КАНАЛ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 22 где а (с) и Ь (с) — произвольные функции времени, причем а (с) = — А, (т) Р((), Ь (() = Вт (с) Р(с). Для определения этих функций применим второе граничное условие (1), мы придем к следующим двум уравнениям: — „,, +па=О, — „,, +ОЬ=О, где О' =- дй (Ь йй. Интегрируя эти уравнения, получаем (8) а (() = Ст соя (Ос + я,), Ь (с) = Ст соя (Ос + я,), где ффе„ет — константы интегрирования. Возвращаясь к формуле (7), находим выражение потенциала скоростей некоторого волнового движения: р = С, СЬ й (у + й) соя йх соя (От + з,) + + С, сЬ й (у + й) юп йх соя (От + е,).
Найдем по формуле (2) соответствующее уравнение поверхности жидкости, получим о т) = — — СГСЬййсояйхятп(ат+ яд)— у — — 'ой йй я(п йх я)п (ат+ е,). у Таким образом, общее возвышение поверхности жидкости может быть представлено в виде суммы двух волновых возвышений: т), = а, СОВ йХ ятн (Ос+ я,), т), = аз ятн йХ я)П (Ос+ я,), (9) где а„= — — 'сЬйй, а, = — — 'сЬ йй. осс ОС2 я Этим волнам отвечают соответственно потенциалы скоростей с)т)с(у+ А) соя йх соя (От + я„), Асу о (ИО) сЫс(у+ А) ятп йх соя(ат + В2). стт = Рассмотрим волновое движение, определяемое первым из этих потенциалов; волновое движение, определяемое вторым потенциалом скоростей, будет повторять первое движение по отношению к системе координат, смещенной в горизонтальном направлении на расстояние я!(2й).
Итак, рассмотрим волновое движение, 22 гл ь нлоснля 3АдАчА О Бесконечно мАлых ВолнАх описываемое формулами %= —— ау сЛА(у+ Л) о сЛЙЬ соз йх соз ос, (11) ц = а соз (сх вп Од Отметим, что, не уменьшая общности исследования, можно было, изменяя начальный момент отсчета времени, отбросить фазу е.
Формулы (11) описывают простейшее волновое движение, периодическое по отношению ко времени а и по отношению к переменному х. Поверхность жидкости постоянно проходит через неподвижные точки с абсциссами х = — „( —, я + лт), т = О, + 1, +- 2,... 1 с 1 Эти точки называются узлами рассматриваемой волны, а сама волна называется стоячей волной. Прн любом значении времени максимальные и минимальные ордипаты волновой поверхности отвечают абсцнссам х = — „т, т = О, +-1, -+ 2, ...; эти абсциссы определяют пучности стоячей волны. Максималь- ного развития стоячая волна достигает в моменты времени с = — т, т = О, -+ 1, -~- 2, Иа формулы (8), связывающей волновое число с частотой волны, следует соотношение между длиной и периодом стоячей волны.
Это соотношение мы запишем в следующем виде: ус' '2я — = исЛЬ вЂ”, 2яЬ (12) где р = Х/Ь. Из этого соотношения можно получить'следующие следствия. Если длина стоячей волны мала по сравнению с В эти моменты времени максимальные ордипаты волновой поверхности имеют значение а, называемое амплитудой стоячей волны. Надо отметить, что амплитуда а должна считаться величиной малой, дабы удовлетворялись допущения теории бесконечно малых волн. Величины й и О называются соответственно волновым числом и частотой стоячей волны; по этим величинам длина й и период т стоячей волны определяются формуламн 2я 2я о 1 3.
стоячие ВОлны, НАНАЯ конечной Глувины 23 Глубиной канала, то можно принять т' = 2ЯХ/д, Таблица 1 Величины периодов колебаний стоичсй волны / 2па)с 2п т = ~/ — срл —, )л = — (период т, сен) й Длина волны Л, и Глубина воды Ы ы 1о 1оо 1ооо ооооо 319,28 101,03 33,913 25,308 25,308 25,308 3,3913 2,5308 2,5308 2,5308 2,5308 2,5308 31,949 10,724 8,0031 8,0030 8,0030 8,0030 0,80031 0,80030 0,80030 0,80030 0,80030 0,80030 3192,7 1009,6 319,49 107,24 80,031 80,030 1 10 100 1 000 10 000 Найдем тРаектоРии частиц жидкости при наличии стоячей в ны (11).
Для определения зтих траекторий мы должны проинтегрировать следующую систему уравнений: дх дф ду дф М дх ' Ч ду перепишем ее, используя выражение потенциала скоростей (11): дх ау7с сЬ 7с (у+ Ь) дс о сваь зш Йх соз ог (1З) ду луа з)ла(у+Ц до О СЬ 7сЛ соз йх соз О1, при стремлении ) к нулю т будет также стремиться к нулю. Если же отношение )л длины волны к глубине канала будет велико, то Лв т уь ' Следовательно, при неограниченном увеличении длины волны будет неограниченно увеличиваться и ее период. При непрерывном увеличении отношения р длины волны к глубине (и фиксированной глубине) период волны будет монотонно увеличиваться от нуля до бесконечности, так как правая часть формулы (12) представляет собою произведение двух монотонно растущих функций переменного )л. В таблице 1 приведены величины периодов колебаний т, вычисленные по формуле (12), для различных значений )с и для ряда значений Х.
24 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ Проинтегрируем зту систему разложением неизвестных функций х (1), у (1) в ряды по безразмерному числу аЙ, ограничиваясь определением лишь двух первых членов разложений: =ха(1)+~Й ~,(1)+ ..., у =у,(1)+ ай у,(1)+ ... Подстановка зтих разложений в дифференциальные уравнения (13) и сравнение членов с одинаковыми степенями ай приводит к следующим уравнениям: аа1 а сйй(у +й) яш Йх, соя о(, а1 о оййй Ь а ЗЫ й(уа+ й) соя Йх, соя о(.
а1 о аййй Интегрируя первые два уравнения, получаем у.=р* а и р — произвольные константы. Интегрируя вторые два уравнения, получаем х, =- —— д сЫ й(у+ й) оа сй йй я1ВЙая1по(+ С, у, = —, „сояЙая1по(+ Р, ЗЫ й (() + й) оа сЫ йй где С и Р— произвольные постоянные. Итак, х=а —— ауй сйй(у+ й) оа сЫ йй я1п Йа я1п о(+ айС, ауй ЗЫ й(Р+ й) у = р+ аа ( + соя Йаяшо(+ айР. Определим постоянные С и Р так, чтобы а и р были значениями х и у в момент времени 1 = О, т. е.
были бы лагранжевыми координатами движущейся частицы жидкости. Давая в предыдущих формулах 1 значение нуль и заменяя х и у соответственно через а и (1, получаем для С и Р нулевые значения. Таким образом, движение жидкости при наличии стоячей волны описывается в переменных Лагранжа следующими формулами: х=а —— аай ойй(у+й) оа сй йй я1п Йа я!и о1, у=1+— .,й яйй(Р+й) оа сй йй соя Йа я) и О1. 1 Э. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, КАНАЛ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ Из этих двух формул получаем у — р = — $Ь Й (р + Й) с19 Йа (х — а). (14) А = у' сЬ2й(р -(- Й) — сов 2йа. у 2задь (15) Из уравнения траекторий частиц жидкости (14) видно, что части- цы жидкости, которые в момент времени ~ = О находятся под уз- лами открытой поверхности, описывают горизонтальные отреа- ки длины 2а са а (р + Ь) зв ад Частицы же жидкости, находящиеся в момент времени Ь = О под пучностями, будут описывать во все время вертикальные отрезки длины 2А = 2а ~ (~+~) за аь Вернемся к общим формулам (9) и (1О) и рассмотрим сосуд, ограниченный двумя вертикальными стенками х = — Ь, х = Ь и горизонтальным дном у = — Ь.
Найдем такие значения Й, для которых при х = +- Ь удовлетворялось бы или равенство — =О д<р~ дх \ или — '~* = О. дх Соблюдение этих равенств обеспечивает обтекание вертикальных стенок бассейна. Первое равенство будет иметь место при з1п йЬ =- = О, второе — при соз йЬ = О. Из первого равенства находим й= — и, и=-+-1,+2,+3,..., (16) из второго равенства находим й = — (2и+1), и = О, -+1, +-2, (17) Первая формула (9), в которой числу й придадим значение (16), дает симметричного вида собственное колебание жидкости в расматриваемом бассейне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
