Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Из формулы (1) получаем уравнение поверхности жидкости для каждого момента времени, имеем т| = — ~ сов ~l ~Ъ|И+ — А1созоте т"". (3) о Положим здесь г = О, получим О тА г соо Ьх 1 т) = — т) Ый + — Ате-™х. ьо то 2 о Ю тА Г соо Ьх т т) = — ~ „,, соз~дйедй+ — Аз(нтхсозое. о Выполним анализ формулы (3). Возьмем интеграл, входящий в эту формулу, и перепишем его в преобразованном виде, используя обозначения 2 10, получим , соз у~айтдй = о = — (81 + от+ ос+ Яо) — 2 ~ соз ~йМ Ый. о Применяя асимптотические формулы, выведенные в $10 для Ям 8о, Яо, Я„получаем для больших значений от следующую Применяя теорию вычетов, можно найти, что первый член в правой части этой формулы равен — ает"" при х(0 и равен — —.
ае-"" 2$ 2т при х ) О. Отсюда следует, что формулами (1) и (3) действительно описывается движение при начальном возвышении поверхности жидкости (2). Покажем, что выражение (3) можно записать без мнимых символов. Для этого заменим контурный интеграл его выражением через главное значение по Коши, получим О 1Е РАСПАДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАтЕЛЬНОСтн ВОЛН З41 асимптотическую формулу: ооо Вх до 10! ох соя ~l дй( е)й = — †' е-1 ' соя — + о я'1 1 Г ооойх е— + — сов ~ — оо — — ) — — ~ сов у ей(йй; у(1 — 4но) 1' оо '1 4 4 ) 2у З й+у о (4) эта формула имеет место при соблюдении неравенства 1 0(но( 4 (5) Если ное будет иметь место неравенство 1 ( 1ООо (8) то будем иметь такую формулу: ~~РХ соо Ах —,сбв~/ «й( дй = — — е сов ов + о н~ 1 Г ю~(ох + у(1 — 4но) В' о1 (, 4 4 ) 2у ) й+у — сов( — оо — — ) — — ~ сов)/яй(дй.
(7) о В формулах (4) и (7) величина х считается положительной; для отрицательных значений х величину в надо заменить через оо' = = г1Ч (х ( и, кроме того, в формуле (7) слагаемое Фх — — е е сов а1 2У надо заменить на о*х л1 — — е в сов а1. 2у Ч= — Аяш~ — — ов)+ у — сов ~ — оо — — )— 2 ~ В ) я(1 — 4но) у оо ~ 4 4) оо '4 Г совах — — ~ — сов )/ дй( о(й. 2н О А+у о (8) Эти замены обусловлены тем, что левые части формул (4) и (7) являются четными функциями переменного х.
Подставим выражение интеграла (4) в формулу (3); выполняя небольшие преобразования, получаем уравнение свободной поверхности жидкости при соблюдении условия (5) и для больших значений парамотра ан 342 гл. и, плОскАя зАдАчА О неустхновившихся дВижениях При соблюдении же условия (6) будем иметь, используя формулу (7), такое уравнение: А Гн т! Н) А Г совах ч = ' 1,' — сов ~ — а — — ') — — то — соя ') яй)дй. Я)! †.о) 1' « ~4 4) 2 ) В+.
о (9) Оти два уравнения относятся к положительным х; для отрица- тельных х уравнения поверхности записываются так: ! Сох т) = — Авш ~ — — а)) + 1, —,соя ( — а' — — )— — — сов)с яй)с)й, 0(х,( —, (10) о сох т) = А я)п — сов о)+ х 4(1 — 4н,) У а' ~ 4 4 ) )гС вЂ”, СОЯ )т — а' — — )— А Г сов)сх 1 — — ~ — соя ~/ бй! с)й, — ( х,. зст О /с+ х о (11) Чтобы привести зти формулы к окончательному виду, заменим входящий в них определенный интеграл его асимптотическим вы- ражением, данным в в 10; имеем для х > 0 ' совйх .х — 2 / ст с' ято 1 — соя )с'яй) с)й = ~ — соя ~ — — — я) . !с+о 1+4но У а ~ 4х 4 Отсюда формулы (8) и (9) запишутся так: А 8но с' 1 т) = — ', соя( — а — — я)+ )с"шо 1 — 16 но (, 4 4 1 — 16тсс Формулы же (10) х, примут вид А 8н т) 1 .
/Овх 1 'тх ) ! — Аяш ~ — — а)), 0(хо( —, (12) 0, -,> —,'. и (11), относящиеся к отрицательным значениям с'1, 1 соя ~ — а' — — и) + ')4 4 1 . с'отх 1 2 т я — А я)п ~ — — о)), 0 ( хо (— о 4 + ..., (18) А яш — соз о), — ( х,. 4 ! гх гьсп~двннк послгдовлтвльности волн Процесс происходящего распадения полубесконечной последовательности волн (2) легко разъяснить с помощью формул (12) и (13).
Рассмотрим сначала область положительных х. Пользуясь рис. 40 и всеми пояснениями, данными к нему в з 10, мы видим, что для значений х и 1, принадлежащих криволинейному треугольнику ОЛ'М, вид поверхности жидкости описывается первым и вторым слагаекыми правой части формулы (12). Первое слагаемое представляет достаточно сложные колебания уровня жидкости. При увеличении времени за предел 1, мы по-прежнему видим, что к этим колебаниям присоединяется движение от прогрессивной волны 1 .
! зэк — Аз1п~ — — ой, 2 ~ д которая распространяется в сторону увеличивающихся х, и область ее существования неограниченно расширяется с групповой скоростью волн частоты о. Точки л, 1, отвечающие этой волне, принад- лежат трапеции ЛАВМ. За пределами атой области, а именно для значений х, 1, находящихся в треугольнике МВС, поверхность жидкости описывается лишь первым слагаемым формулы (12). Несколько иной вид имеет форма поверхности н<идкости длв отрицательных х. Построим график (рис. 41), симметричный рис.
40 относительно оси ОЮ. Для аначений л, 1, находящих- Рис. 41. ся в криволинейном треугольнике ОМЛ' (рис. 41), колебания поверхности жидкости описываются первым и вторым слагаемыми правой части формулы (13). При увеличении времени за предел 1 мы снова видим, что к колебаниям, выражаемым первым слагаемым, присоединяется движение от прогрессивной волны 1, / азт — А з1п( — — а~), 2 уходящей со скоростью д/о в сторону увеличивающихся х. Эта волка возникает около места, характериауемого абсциссой — с8/2 и продвигающегося с групповой скоростью в сторону уменьшающихся к. 344 гл.
11. плОскАя зАПА~1А О нвустАповпв1пихся дви1квнннх Для значений х, 1, прнпачлеяжщих треугольнику МСВ, будут появляться вместо прогрессивных волн стоячие колебания осх А зш — соз аб Зги колебания будут охватывать часть поверхности жидкости, неограниченно возрастающую с течением времени и отступающую от начала координат с групповой скоростью волн частоть1 а.
5 $3. Неустанов1шшееся движение плоского контура под поверхностью жидкости Ф (Х, У; 1) = 1р (х, у; 1). (1) Отметим, что Х = х+ ~с(1) ос. Функция Ф (Х, У; 1) удовлетворяет при У = О следующему условию: д2Ф дФ а„ + у ду = (). (2) Преобразуем это условие к подвижным координатам. Дифферен- цируя равенство (1) и принимая в расчет соотношение между Х и х, получаем дФ д~р д<р дФ д~р — = — — с —, д1 д1 дх ' ду ду дзФ дЧр а21р дЬр дх — = — — 2с —.
+ с' — — с —, ан дсз Шах ах дх где с = с(с/Ж. Отсюда условие (2) запишется так: ( д%~р дЧр д2х '1, дх дх ди д1 дх ' дхз,) ' ду дх (2) Предположим, что под поверхностью бесконечно глубокой тяя;елой я;идкости движется поступательно с переменной горизонтальной скоростью с (1) некоторый замкнутый контур Л. Определим волновое движение я;идкости, вызванное перемещением этого контура. Соединим с контуром Ь систему осей координат, проводя ось Ох по невозмущенному уровню жидкости, а ось Оу — вертикально вверх. Обозначим через 1р (х, у; 1) потенциал абсолютных скоростей жидкости, записанный в координатах, связанных с перемещающимся телом. Функция 1р (х, у; 1) удовлетворяет уравнению Лапласа.
рассмотрим неподвижную систему координат, и пусть Ф (Х, У; р) — потенциал абсолютных скоростей, записанный через координаты неподвижной системы: 1 13. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 545 Уравнение поверхности жидкости будет (4) В начальный момент времени можно задать потенциал скоростей н его производную по времени для у = 0; полон<им рф(,,0;О)=-1( ), ~М*'~А~ = уГ(, ), (5) Будем искать функцию ф (х, у; () в виде суммы трех слагаемых, полагая ф(х, У; 0 =с(0ф<(х, У) — с(г) фт(х, У)+ <Рз(х, У,О.
(6) Функция ф< (х, у) изображает потенциал абсолютных скоростей движения безграничной жидкости, вызванного равномерным перемещением контура 1 в направлении оси Ох со скоростью, равной единице. Функция ф, (х, у) есть потенциал абсолютных скоростей движения безграничной ялидкости при перемещении в ней с единичной горизонтальной скоростью контура Ь', симметричного контуру 1, относительно оси абсцисс.
Что"'же касается потенциала ф (х, у; (), то он выбирается так, чтобы полный потенциал ф (х, у; () удовлетворял граничным и начальным условиям (3) и (5) и, помимо того, условию обтекания контура Б. По самому своему выбору потенциалы <р, и <р, удовлетворяют условию обтекания контуров Ь и Ь' соответственно безграничным потоком, следовательно, этому условию должен удовлетворять и потенциал ф, (х, у; 1). Но было бы весьма сложно искать функцию ф, с одновременным соблюдением волнового граничного условия и этого условия обтекания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
