Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Чтобы получить соответствующие формулы, рассмотрим функцию комплексного переменного ь: г'(ь) = „, )е = ~г. 1 Приравнивая нулю знаменатель, получаем уравнение (11), которое будет определять резонансные частоты. Рассматриваемая задача возникает при изучении вопроса о поведении на волне судна с жидкой нагрузкой. Заменяя воздействие морских волн на поверхность судна одной силой, приходим к уравнению (12), и уравнение (11) будет определять частоты опасных волн. Таких волн бесконечное число. ззз гл. и. плоская зпдлчл о нвгствновившихся движениях Разложим эту мероморфную функцию в ряд по главным частям, следуя способу Коши [24).
Функция Р (ь) имеет простые полюсы в точках тов — то 1н=йтн ()с=-~1 ~2 ~З ) где то — положительный действительный корень уравнения ~ 1)н ~ — )в = (), (1) 1 2ь" 1 то+ д рр) р тв РК) 0~ Е д р) .в р+.2 Обратимся теперь к формуле (9) 5 16, преобразуем эту форму- лу на основе равенства (3). Получим лп Е' сов — х а пн(п Он гп — й) п=н лп лп , сов — х , сов — х =-тЕ " +,.„',,Е',..., + лп сов — х ,с Преобразуем правую часть этой формулы с помощью равенств лп Е' .: = — "'(1- —".) и=в Е' , сов — х вш ~ — (1 — — )~, 4гта савв 2г гвп" — т в о п=н лп Е' , сов — х а гвпн+ тв п=Н и — вЬ ~ — "" (1 — — ')1. 4гтн сй а ьн — чисто мнимые корни этого же уравнения, причем тн— действительный корень уравнения н1яв+р =О.
(2) Выполняя необходимые действия, получаем следующее разло>кение: !7. КОЛВВАНИЯ ЖИДКОСТИ В ШИРОКОМ ПОДВИЖНОМ СОСУДБ ВЬЭ Получим + — ',"' ~ 1=-1,' «[(1 — Р) — «'1 я«о ОЬ— 2г Подставив это выражение в формулу (9) 2 16, найдем уравнение поверхности жидкости в новом виде: з ш ~ — (1 — — )) + «, [«о + (~ — Г,оЦ сов о Е ' "У('- — ")])- " 1=1 «[(й — со) — «'„]сЬ (4) Предположим теперь, что параметр г незначителен по своей величине; это может быть в том случае, если отношение глубины жидкости в сосуде к ширине сосуда мало. При этом условии все члены бесконечного ряда (4), начиная с первого, будут малы по своей величине и будут стремиться к нулю, когда г стремится к нулю.
Это имеет место, однако, для значений х, не находящихся в непосредственной близости к стенкам сосуда, т. е. к В = 0 и х = а. Таким образом, для малых значений г можно считать, что поВерхность жидкости определяется уравнением «] 2госоьо 2г а ао«о [«' -[- (2 — со)] Я«о 2г Следовательно, поверхность жидкости в широком сосуде, находящемся в колебательном движении, имеет вид синусоиды. Длина волны Л этой синусоиды определяется действительным корнем уравнения (1) для каждого вида колебаний, даваемых уравнением (9) $16. Имеем 2га Л=— «о Е' СОВ а и'(и Сага — С) с=1 =-4(1- — ".)+ 2«о [«о+ (с зш~ «' (1 — 2 )~+ — ~о)] савв 2г вЬ~ 2 (1 — — )] 37О 1л. 11.
ДлоскАН ЗАдАчА о нвустАновившнхсн двия<к1п!нх Для удаленных корней этого уравнения имеем озй тц' лй т,[Ь го = —, о' = — г ВЬ вЂ” а. а - а Отсюда ЛЬ азат ЛА т 1Ьт = — 'э М~ — г, о о а следовательно, ла те = — г, а поэтому йа )=— Таким образом, длина образующейся волны рассматриваемого колебания будет весьма незначительной. Амплитуда же колебаний будет соа ( а лз) Эта формула показывает, что амплитуда колебаний, отвечающих нечетному г,исключительно велика; это заключение вытекает из обращения в нуль знаменателя, 'в нашей приблиткенной формуле.
Для четного же г амплитуда колебаний будет 2сеа .~ Г а При взятом со эта амплитуда убывает с увеличением параметра г. 5 18. Вертикальные движения сосуда с жидкостью Предположим, что прямоугольный сосуд ширины 2Ь и глубины й покоится на пружинах, опирающихся на горизонтальную прямую. Рассмотрим колебания такого сосуда с налитой в него жидкостью е).
Обозначим через ср (х, у; 7) потенциал относительных скоростей частиц жидкости для системы координат, связанной с сосудом, который имеет поступательные движения в вертикальном направлении. Пусть начало подвижной системы координат хО'у будет в середине горизонтального дна сосуда, н пусть расстояние точки О от неподвижной прямой будет г (1). Напишем интеграл Бернулли, отбрасывая члены второго порядка малости; имеем — = — — йу+ й[Ь вЂ” у) др р дс (1) е) Подробное исследование атой задачи ион<но найти а статье [78).
~ ~з. ввгтиклльныв движкния состдх с жидкостью зт~ Отсюда уравнение поверхности жидкости запишется так: (2) Присоединим сюда кинематическое условие для поверхности жид- кости (3) Найдем частное решение уравнения Лапласа следующего вида: ~р = Т (1) сЫсу зш Йх; (4) условие обтекания вертикальных стенок сосуда, х = ~ Ь, будет удовлетворяться, если число Ь взято равным ял/Ь, где и = 4, 2, 3,... Функция Т (~) еще неизвестна. Запишем уравнение поверхности жидкости так: д = Ь (1) с)г ЬЬ соз Ьх + Ь; функция Ь (~) также не известна.
Подставляя принятые выражения функций ~р и ц в условия (2) и (3), получаем два уравнения для определения функций Т (~) и Х (г): — „, = (д + й) Т„' — „= — ИЬ и Т. Ыг ЫХ. (5) Отсюда имеем — „,- -~- Ь (я + й) ьЫсЫ, = О, — ит|+ й1ЬИТ = О. (6) ь У = — р ~ Я вЂ” йу+ я(Ь вЂ” у)1 с(~. Подставим сюда вместо ~ его значение из формулы (4) и выполним квадратуру; получим У = — 2рдЬЬ.
Обозначим через Х' коэффициент упругости пружин; тогда уравнение движения сосуда запишется так: гл — „+ Х (з — з0) = — 2одЬЬ; ~08 з„— расстояние дна сооуда от опорной прямой при равновесии Найдем теперь зависимость з от времени, для этого определим результирующую У сил давления жидкости на дно сосуда. Применяя формулу (1), находим 372 гл и плоскАя ЗАдАчА О неустАновившихся движениях системы, следовательно, гс = 2рдьЬ.
Поэтому уравнение движения сосуда будет л2~ †' + Хзз = О. ЛГс Для разъяснения вопроса о колебаниях жидкости достаточно принять,что г= Асозо1, О= =. Х Отсюда уравнения (6) запишутся так: сМ, / ос — + лй 15 ЬЬ ~1 — — А соз ОГ) 7 = О, (р11 — [ — ~+дй1ьйьт о 1 — — соз о1 У (7) и вводя вместо переменного 1 новое переменное т по формуле О1 = = 2т.
При этих обозначениях уравнения (7) примут вид (Рх. — „, +(а — дсоз2т)А' = О, — — „, ~~+ — „лй 1Ь ЬЬ т = О. (9) Г 1 йТ7 4 1 — — соэ 2т Ю (8) Таким образом, наша задача привелась к решению уравнения Матье П5Ц. Исследование свойств интегралов этого уравнения приводит к заключению, что на плоскости двух действительных переменных а, д существуют такие области, включающие в себя ось д = О, что для значений параметров а, д, принадлежащих этим областям, интегралы уравнений (8), (9) представимы сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, для таких параметров функции А' и т будут ограничены для всех значений времени, колебание жидкости будет оставаться в известных пределах и поверхность жидкости будет устойчива при колебаниях сосуда.
Но из точек, для которых д = О и а равно квадрату целого числа, будут выходить узкие языки, и для точек а, д, принадлежащих этим языкам, решение уравнения (8) будет представляться тригонометрическим рядом по т, умноженным на неограниченно Перепишем эти уравнения в новом виде, принимая такие сокращенные обозначения: а = —,«ЬЖЬЬ, д = 2й1)ГЬЬА, 9 $9. ОБщАя 3АдАчА О колеВАниях жидкости В сосудв 373 растущую с течением времени показательную функцию.
Для таких значений а, д поверхность жидкости в сосуде, обладающем гармоническим движением, будет неустойчивой. Заметим, что если между параметрами задачи имеет место соотношение то колебания сосуда будут представимы функциями Матье; 9— какое-нибудь целое число. 3 99. Общая задача о колебаниях жидкости в подвижном сосуде произвольного вида Методы, примененные в предыдущих параграфах к определению колебаний жидкости в сосуде прямоугольной формы, могут быть использованы и для решения задачи о колебаниях жидкости в сосудах произвольной формы. Рассмотрим задачу о поступательных горизонтальных движениях сосуда, ограниченного некоторой кривой С.
Свяжем с этим сосудом подвижную систему координат хОу с началом на среднем уровне жидкости; пусть, далее, з (г) — расстояние начала подвижной системы координат от оси абсцисс неподвижной системы. Тогда граничные условия для определения потенциала относительных скоростей ~р (х, у; С) бУдУт Положим ср (х, у; ю) = <р (х, у) сая з = з сья с = сэе9~'. При этих обоаначениях предыдущие условия перепишутся так: и возвышение поверхности жидкости будет определяться формулой ц = — (~р — сэх)„,. ш (2) 0 Рассмотрим область Р, ограниченную кривой С и частью ( прямой у = я, заключенной между точками ее пересечения с кривой С.
Возьмем в этой области две точки эт (х, у) и Р (х, у) и составим функцию Грина 0 (М, Р) для задачи Неймана в области Р. 374 гл. и, плоскАя 3АдАчА О нетстАновнввгахся движкниях Функция ф (х, у), удовлетворяющая условиям ($), может быть представлена через функцию Грина так: 1р(х, у) = — — ~ С(х, у, $, 0) ф($, 0) НЕ + — ~ С(х, у, $, 0) ~1(~. (3) Положим в этом равенстве' р = О, получим ф (х, 0) = — — ~ С (х, 0; $, 0) 1р ($, 0) гф + — ' ~ С (х, 0; $, 0) Щ. (4) Обратимся теперь к интегральному уравнению, определяющему собственные колебания жидкости в рассматриваемом сосуде. Обозначим через В (х, $; 7) резольвенту ядра С (х, 0; ь, 0). Так как зто ядро положительно, то можно написать такое разложение (9'] р„(х, о) ф„(~, о) В(х, $; А,) =$ — ~~~~ — '+й (5) Решение неоднородного интегрального уравнения (4) запишется так: ф ( х з г О ) ~ о ~ г ( х ) ~ В ( х 1 е о ) 1 ( з ) Д ь ~ ( б ) где Р (х) = ~ $С (х, 0; $, 0) (~.
1 Разложим переменное е в ряд по фундаментальным функциям яд- ра С (х, 0; $, 0), получим $ = ~~ т„ф„$, 0). и=1 (7) На основании этого разложения представим функцию В (х) в ви- де ряда О Р(х) = 5'у. ~С(х,О; $, 0)ф„($, 0)д$= — 2Я~' — "1р„(х, 0).' (8) а=1 п=1 '" О~ ~В(х, $, — о ) Р$)д$ = 2Я~~~ " ф„(х, 0). Подставим теперь разложения (5) и (8) в формулу (б); отметим сначала результат промежуточного вычисления: 1 19. 0111ДАН 3АдАчА О ш)лквАнгн!х 1кыдкости Б сосудк зтб В силу этого равенства получаем т ~р (г, О) 1Р(х, О) = сэа' ~ п=г (9) Подставим найденные разложения (7) и (9) в формулу (3), получим выражение потенциала скоростей во всей области Р: Оп (10) п=~ где В„(х, у) = ~ С(х, у; $, О) 1р„($, О) дЕ ! Найдем, пользуясь этой формулой, горизонтальную составляющую Х сил давления жидкости на внутреннюю поверхность сосуда: Х = р~ а(1арр — с,х) — уу) 1Ь; с 1в — направляющий косинус угла, образованного внешней нор- малью к линии С с осью Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
