Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Ксли бассейн имеет бесконечную глубину, то вместо формулы (23) будем иметь другую формулу, а именно: я = Сеэ*, и тогда потенциал скоростей запишется так: 9~ = [В,Х„(Ь) + В,У„(1гг)] соз (пО + сс) ет* соз (о1 + е). (27) Граничное условие (2) приведет к соотношению а' = д)г, не зависящему от числа и, Уравнение поверхности жидкости запишется так: ь = — — [В~Х„(1т) + В,У„(1сг)] сов (вО+ а) э[в (о1 + е).
(28) Ординаты ь, определяемые формулой (26) или формулой (28), обращаются в нуль в любой момент времени для значений радиуса г, обращающих в нуль двучлен В,Х„(йг) + В,У„()гг), (29) а также и для значений угла 9, обращающих в нуль соэ (п0 + о). Двучлен (29) обращается в нуль для бесконечного числа различных значений г, а соз (пО + а) обращается в нуль для 2п различных значений угла О. Таким образом, вся поверхность жидкости разбивается на бесконечное число клеток, ограниченных дугами двух последовательных окружностей и двумя радиусами, отвечающими соседним значениям угла О, обращающим в нуль соз (п0 + и).
Эти окружности и прямые линии, выходящие из начала координат, называются узловыми линиями, а все движение жидкости определяет стоячие волны. При надлежащем изменении функции 6(О) возможно представить формулой ([9) стоячие колебания жидкости внутри угла произвольного раствора 29. Допустим, что стороны этого угла расположены симметрично относительно оси Ох. В точках сторон этого угла должны удовлетворяться условия Эти два условия будут удовлетворены, если число и в уравнении О" + иэЭ = О. 334 гл. 1П. пРОстРАнственная ЗАдАчА О мАлых ВолнАх считать не целым, а равным и= ~у (У=1,2,3, .) или = —,", (2ж — 1) (Л =1,2,3, ...).
В первом случае и = О, во втором я = я/2. В первом случае имеем 6 = Асов( — МО), во втором случае имеем В = Авш 3 (2М вЂ” 1)01. 'г ЗР Отсюда получаем два разных выражении потенциала скоростей стоячих волн, развивающихся на поверхности рассматриваемого бассейна: 1р = (В1Х.1т (йг)+ В,У л (йг)) сов( — У0) сЬй(г+ й)сов(о~ + е), 1р = (В1Х „(йг) + + В,У „, (йг)) вш~ — (2У вЂ” 1)01ОЬй(г+й)сов(О~+в). — МИ-1) [2р Если угол ~4 — нечетная доля угла в 180', то потенциал скоростей второго вида выражается через элементарные функции при любом индексе 1т'.
В самом деле, если (р= 1,2,3,...), то индекс функций Бесселя будет равен половине нечетного числа 2 (2У вЂ” 1) = — 2 (2Р 1)(2д — 1), а в этом случае функции Бесселя вырождаются в элементарные функции. Отметим особо, что для р =- 1 угол р = я; следовательно, бассейн, в котором образовываюгся стоячие колебания, имеет твердую вертикальную перегородку, проходящую через положительную часть оси Ох. Вернемся к формуле (12), определяющей стоячие волны с семейством взаимно перпендикулярных узловых линий. При данной частоте колебаний с величины пг и и связаны лишь одним соотношением (9). Следовательно, существует бесконечное число стон- 1 1.
пеРиодическии колевания пОВеРхности жидкости 335 чих волн, зависящих от одного параметра. Отсюда вытекает, если принять во внилтаиие линейность уравнений и всех граничных условий, что, проинтегрировав уравнения (12) по свободному параметру, получим снова периодические колебания поверхности жидкости; эти колебания будут иметь частоту с. Решая уравнение (9) относительно ЬЬ, получаем ЬЬ = У( — "").
Отсюда зависимость между Ь, и и и запишется так: оЬо [ аоЬо 1Ъ ( ~ ) Следовательно, обозначая через у вспомогательный параметр, бу- дем иметь / оса т I ооа 1' . поЬ = ~~ — )сову, пЬ = ~~ — )в1пу. Отсюда формула (12) для потенциала скоростей, если считать коэффициент а какой-нибудь функцией параметра у, перепишется так: 1р= — а(у) ~сов ~У( — '"") сову — *„+ У( — ~) в[ну+~+ + ~Р( —;") ° + — ~Ю" +В (+ ) ( + ). Перепишем эту формулу, вводя следующие обозначения: т (оо1 'т х = гсов0, у = гв1СО, — ~[ — ~ = Ьг = Л; Ф будем иметь 1р = — а (у) (сов [Л сов (у — О)) + сов [Л сов (у + О) ) ) Х 1 ' ;С с)г Ь(з -[- Ь) сов(о1+ е). Проинтегрируем обе части этого равенства по у от 0 до 2я.
В результате получим потенциал скоростей нового периодического движения: Ян Ф = ~ ~ а(г)сов [В сов(у — 0)]с[у.с[ай(в+ Ь)сов(сг-[-е) -[- 1 о тл + т ~ а(у) сов [Ясов(у+ 0)[1[у сЬЬ(з+ Ь) сов(с1-[- е). 1 о Преобразуем это выражение к новому виду, пользуясь формулой 13 Л. Н. Сретенский 33З ГЛ. НЬ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Сонина: сов (я сов о2) = Х2 Я) — 2Х, ($) сов 2о2 + 2Х2 ($) сов 4а— — 2Х, ($) соя бе2 + Получим 2л 2х Ф = ~Х2(В) ~ а(у) Иу — 2Х2(В)соя26 ~ а(у)соя 2уду+ 22 + 2Х2(В)соя46 ~ а(у)соя4уду— 2 2л — 2Х,(В)соя68 ') а(у)совбуйу+...) СЬЕ(я+ Ь)сов(О~+ в). 0 Таким образом, мы нашли потенциал скоростей нового периодического движения, зависящего от одной произвольной функции а (у). Беря эту функцию равной последовательно (, сов 2у, сов 4у, сов бу, ..., получаем стоячие колебания, описываемые потенциалами скоро- стей ср = В Х„(йг) соя п6 СЬ й (я + Ь) сов (Од + в) (п = О, 2, 4, 6, ...), (30) входящими в общую формулу (24) (без участия функции У„(лг)).
Аналогичными вычислениями можно получить потенциал вида (30) и для нечетных значений индекса и. Следовательно, система стоячих волн со взаимно перпендикулярными прямыми узловыми линиями дает систему стоячих волн с круговыми и радиальными узловыми линиями при надлежащем сложении волн первой системы. $ 2. Установившиеся волны Рассмотрим поток жидкости, текущий по горизонтальному дну и обладающий скоростью с в направлении положительной части оси Ох. Допустим, что под влиянием каких-то причин на поверхности этого потока образовались установившиеся малые волны, сопровождаемые некоторым потенциальным движением жидкости.
Обозначим через ~р (г, у, в) потенциал скоростей, добавочных к основной скорости потока. Составляющие скорости частиц жидкости по осям координат запишутся так: де де де и=С вЂ” —, Р= —— дк = д.. и2 = —— 2 2. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНЫ 387 Повторяя в значительной степени рассуждения 8 9 гл. 1, приходим к заключению, что потенциал скоростей ф (х, у, г) удовлетворяет на среднем уровне жидкости, г = О, граничному условию а на дне водоема условию (82 )~=А (2) где Й вЂ” глубина водоема.
По известной функции ф (х, у, г) уравнение поверхности жидкости запишется так: =+( — ").=. Всякий интеграл уравнения Лапласа ф (х, у, г), удовлетворяющий условиям (1) и (2), будет определять некоторое установившееся волновое движение жидкости. Заметим, что для бесконечно глубокой жидкости, имеющей на бесконечной глубине скорость с, условие (2) заменяется требованием обращения в нуль частных производных функции ф (х, у, г) при г = — оо. Возьмем такой частный интеграл уравнения Лапласа, удовлетворяющий условию (2): ф = асозт(х+ з,) сов и(у+ з2) СЬЙ(г+Й); (4) здесь з„зг, а — произвольные константы, а числа т, п, Й связаны условием Й' = т' + и'.
(5) Условие (1) дает вторую связь между этими числами: тг = —,1ЬЙЙ. (б) и уравнение волновой поверхности будет — ~ ~~+зЬ2ЙЙз«п [(х+ е,)1/ ~, 2ЬЙЙ1 Х а /гй „„,(о.«.~«у « — ' ~«а~. «е Подставляя это значение тг в формулу (5),получаем и' = Й'(1 — ~~, с)«ЙЙ).
Отсюда потенциал скоростей (4) запишется так: ф = асов[(х+ е«)~/ гг 1ЬЙЙ~соз [(у+ 82)Й1/ 1 — ~, «ЬЙЙ~ Х Х СЕЙ(г+ Й), 388 ГЛ. П1. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Величина Й может рассматриваться как свободный параметр. Найдем, как при изменении Й будут изменяться числа т и и, обратно пропорциональные длине волны в направлениях осей координат. Из формулы (7) вытекает, что если скорость потока с меньше чем у' уй, то Йй должно превосходить корень й,й уравнения со 1Л ЛОЛ (9) сЛ ЛЛ ' Прн уменьшении с от "у' уй до нуля корень йой уравнения (9) монотонно увеличивается от нуля до бесконечности. Прн изменении ЙЬ от Й Ь до бесконечности величина и увеличивается монотонно от нуля до бесконечности; величина жет увеличивается монотонно от й, до бесконечности.
Следовательно, прв увеличении йй от й,й до бесконечности длина Ь, волны (8) в направлении осн Ох уменьшается монотонно от 2Ый до нуля, длина же Ьо волны в направлении оси Оу уменьшается монотонно от бесконечности до нуля. Отсюда вытекает, в частности, что прн йй, равном корню й,й уравнения (9), длина волны в направлении оси Оу равна бесконечности, а в направлении оси Ох равна 2ЫЙо и определяется, следовательно, через скорость потока по формуле (9), которую перепишем в таком виде: со = — ' ФЬ вЂ”.
у3,д 2ЯЛ 2л Ло В этом частном случае волна (8) обращается в плоскую волну, изученную в гл. 1: ~ = — — 1/ ~ ' ЗЬ2йойзш[йо(х+ ег)) и ~р = а соз [Й, (х + е,)[ сЬ [йо (г + Ь)). Предположим теперь, что скорость потока больше чем у' уй. При этом предположении величина 1/ 1 — + сЬЙЬ будет реальной для всех положительных значений й. При увеличении йй от нуля до бесконечности числа т и и будут монотонно расти от нуля до бесконечности.
Следовательно, при увеличении йЬ от нуля до бесконечности длины волн в направлениях координатных осей будут одновременно уменьшаться от бесконечности до нуля. В силу этого последнего заключения выводим, что при с > у'уй не будет плоских волн, так как при обращении в нуль числа и будет обращаться в нуль и число т. $2. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНЫ 389 Найденные волновые движения зависят от нескольких параметров. Придавая этим параметрам различные значения, получаем различные волны. Складывая соответствующие потенциалы скоростей, можно получать новые виды волновых движений, Поясним это простым примером.
Приравняем в формуле (4) фазы е, и е, нулю, получим потенциал скоростей ~р =- а сов тх сов пу сЬ й (2 + й); составим еще другой потенциал скоростей, полагая е, = Ы (2п), е, =- и! (2п): ~р = а е1п тх в(п пу СЬ й (2 + й). Сложим эти потенциалы. Получим потенциал скоростей нового установившегося движения: Ф = а сов (тх — пу) сЬ й (2 + й). Уравнение поверхности жидкости, отвечающее новому потенциалу скоростей, будет 2 = А в1п (тх — иу), где А = — — СЬйй.
К (10) У тэ+ иг Образующие этой цилиндрической поверхности и, в частности, гребни ее наклонены к оси Ох под углом, тангенс которого равен т/и. Угол же а оси Ох с перпендикулярами к гребням волны будет определяться формулами п т в1па =— сова = у тГ+ и2 Г' иР+ из Формула (5) показывает на основании формулы (10), что Отсюда формула (6) устанавливает связь между скоростью потока с, длиной волны А и углом ок с = — весе аьЬ вЂ” й. ДА 2п 2Я Х (11) Нетрудно видеть, что новая поверхность ягидкости представляет собою цилиндрическую поверхность, направляющей которой слу- жит синусоида с длиной волны 390 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
