Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Береговая волна была найдена Стоксом, скорость ее распространения определяется формулой с = .— ю и а. ХА (2я Заметим, что число ь, входящее в первую из формул (4) з 5 и отвечающее волне Стокса, равно — е-"'. Такие значения чисел были исключены из рассмотрения в предыдущем параграфе. $ 7. Общая задача о волнах в бассейне с наклонным дном Определение волновых движений в бассейне, дно которого наклонено под произвольным углом а ~( я/2 к горизонту, представляет собой задачу, требующую для своего решения применения разнообразных методов теории функций комплексного переменного. Мы дадим решение этой задачи, основываясь на замечательной работе М. Разо [175). При своем изложении решения мы будем опускать некоторые детали вычислений, которые читатель сможет сам легко восстановить.
Возьмем частное решение уравнения Лапласа следующего вида: Ф = ~р (у, г) соз Йх соз ОГ. Функция ~р (у, г) — ре1пение уравнения (1) т 5 — должна удовлетворять граничным условиям (2) и (3) $ 5. Для построения функции у (у, г), удовлетворяющей этим условиям, возьмем частное решение ( (у, г; ь) уравнения (1) т 5, содержащее произвольный комплексный параметр ь и некоторую функцию А (ь), зависящую от этого параметра: У(у, г; ь) ='ВеА(ь) ехр ~ — я ((ь+ — ) у+ ф — Цг1'(. Возьмем затем на плоскости комплексного переменного ь некоторую линию Г и проинтегрируем функцию) (у, г; ь) по этой линии; выполнив эту операцию, получим решение уравнения (1) з 5: Ф"1( д -( -'Ю*] ср(у, г) ="Ке А'(~)е' л' Рх д~, г а 7 3АдАчА О ВолнАх В ГАсскйпг с нАклОнным дном 4)! Покажем, что при падле кащем выборе кривой Г и функции А (ь) построенная функция ~р (у, г) будет удовлетворять граничным условиям задачи, В определении функции А (ь) заключается вся сложность и интерес задачи.
Для удобства проведения дальнейших вычислений введем вместо функции А ( ~) новую аналитическую функцию д ( ь) и некоторое комплексное число т,полагая где О =-- Оа)д. При новом обозначении функция еа (у, г) запишется так: ег(у з) = Ве т~ 1 4 ехр )2 й ~(~+ )у+ т(~ )з)). (1) Составим граничное условие (2) $ 5, получим — а (» т — ) а Пега~ д(~) е " ~Ц = О.
г (2) ") Рис. 45 даи редакторами. (Прим. ред.) Чтобы удовлетворить этому условию надлежащим выбором функции д (а), необходимо выбрать определенным образом путь интегрирования Г. В качестве такого пути будут взяты два различных пути, приводящие в конечном итоге к волнам двух существенно различных видов. Первый путь Г, будет состоять из совокупности двух кривых С' и С", выходящих из начала координат; кривая С' проходит по первому и второму координатным углам и асимптотически приближается к отрицательной части действительной оси. Кривая С" симметрична кривой С' относительно действительной оси. Кривые С' и С" касаются в начале координат отрицательной части действительной оси, образуя около точки 0 клюв.
Это требование, накладываемое на вид кривых С' и С", обеспечивает сходимость интеграла (1) при нижнем пределе для У ) О и г ( О. Интегрирование по кривым С' и С" ведется от начала координат в направлении к бесконечно удаленным точкам этих кривых (рис. 45 *)). А12 ГЛ. П1. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ В двух сопряженных точках кривых С' и С" множитель в формуле (2) е' 1 д~ 1 К(»+ — )и имеет сопряженные значения; следовательно, чтобы удовлетворить условию (2) лля пути Г„достаточно число 1 взять действительным, положив, например, т = 1, а функцию д (Ь) подчинить условию з (ь) = з (ь) (3) Второй путь интегрирования Ге в формуле (2) будет составляться снова из кривых С' и С", но пробег по этим кривым будет иным ибудет начинаться в бесконечно удаленной точке кривой С, доходить до начала координат и затем будет продолжаться от начала координат по кривой С' до бесконечно удаленной точки этой кривой.
Для пути Г, условие (2) будет соблюдаться, если функция д (ь) будет удовлетворять условию (3), а число т — взято равным 1. Обратимся теперь к условию обтекания дна бассейна. Это условие (3) з 5 запишется так: 1 ~е «1 — еа1 — Ке(Се ака 1 еае) Х уК)" ( " 'д1= О, (4) г — (ь — — )+ ' где г — расстояние от начала координат до произвольной точки г = — у кд а дна бассейна.
Следствия, вытекающие из этого интегрального равенства и касающиеся неизвестной функции д (ь), приобретут более простой вид, если вместо переменного ь ввести новое переменное ь', полагая — ~Š— ак При такой замене переменных первоначальный путь интегрирования Г преобразуется в новый путь Г', который получится вращением пути Г по стрелке часов па угол а. Таким образом, условие (4) перепишется так: Вект () ~(~' — —,) е а ( "*')1 е ( ~~1 д~' = О (5) 4(4 ГЛ. 111. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Рассмотрим затем уравнение — й ~е'"11 — — ) + (т = О; 2 1 - ь ) корни этого уравнения суть — а1е '"', — Ь1е е'"'. (2) Все дальнейшее рассмотрение будет относиться к тому случаю, когда число з1'т меньше чем 1 н, следовательно, длина волны в на- правлении оси Ох будет достаточно большой, а именно удовлетво- ряющей неравенству (3) При этом предположении числа а и Ь будут положительными, корни же уравнения (1) будут лежать левее мнимой оси, так как 1 и ( — н.
2 [пу(езаг) = [пд(г)+ 1п (4+ ' ~(~+~". (~ — е1] (4 — Ю] Из этого равенства вытекает такое следствие: 1п[д(е'"'~)[= 1п[д(~)[+1п~ (ь+ ~(~~ " .) ~. (4) Предположим теперь, что функция д ((,) не имеет ни нулей, ни полюсов с положительной действительной частью.
В таком случае гармоническая функция 1п[д(~) [ может быть представлена в правой полуплоскости в виде потенциала двойного слоя плотно- 1 сти — 1п [д (1г)[, распределенной на оси ординат: ОО 1п [ д Я) ! = — ~ 1и [ д (и) [ „... ь = $ + 11(. — 6 Применим эту формулу к определению 1п [д (~) [ в точке 1", = (ре '"', ~ = р з[п 2и, т) = р соч 2и, получим 1п[а((ре-ю1)[ = — ~ 1п[д((г)[ Рз'и з . (5) (О Если длина волны не удовлетворяет неравенству (3), то все исследование значительно усложняется [1761, [1771.
Возьмем уравнение (8) з 7 и прологарифмируем его, получим Ь з. опвндвлннив фтнкцни е Ы) 415 Если в уравнении (4) переменное ь принять равным (е ' ~р, то получится следующее равенство: )п) д ((р) ) = )п) й (ере-222) ~ + )п ~ (Р+ е) (Р+ Ь] 2ае) (р Ь 222 ) +1 ~ (р+ )(р+Ь) (р 2ае) (р Ь 2ае ) Это уравнение установлено для полоясительных значений р. Но из уравнения (3) 2 7 следует, что 1п ( д ( — ер) ! = 1к! Ь" ((р) (, т. е. уравнение (7) справедливо и для отрицательных значений р.
Пользуясь этим равенством, придадим уравнению (7) такой вид: я ~ (й( )~~ра — 2ресоз2а+Ы + о рз)п2а ( 1 ) (р+е)(р+Ь] + Ре+2Ресоз2а+221 + ( (р еезае)( ьеза1) Таким образом, для определения функции1п ! л ((р) ( получили интегральное уравнение Фредгольма.
Заметим, что в силу неравенств а ) О, Ь ) О и сс ~ я/2 известный член уравнения (8) не имеет особенностей на пути интегрирования. Уравнение (8) может быть решено с помощью преобразования Фурье, так как простой заменой переменных ядро этого уравнения делается зависящим лишь от разности переменных. Введем вместо з и р новые переменные и и и, полагая и е.
2=е, р=е; положим вместе с тем 1п ! л ((з) ( = Н (и), 1п ! л ((р) ! = Н (и). В новых обозначениях уравнение (8) перепишется так: л е "(е' " — 2соз2а-(-е" е ее "-)-2соз2а+е" "1 (е +а)(е +Ь) + и (Š— аЕзае) (Е" — ЬЕ2"') (9) Сложим почленно равенства (5) и (6), тогда получим интегральное уравнение для определения значений функции л ( ~) на мнимой оси: 416 ГЛ РН ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Чтобы найти из етого уравнения функцию Н (и), умножим обе его части на =е ыа Г' 2я и проинтегрируем результат по переменному и в пределах от — оо до со. Повторяя обычные в таких случаях преобразования, нахо- дим (59) = ) Н(Р)е~"'"еЬ =', (10) где .~/2 — „) ( (ее „еам) (ее Ьеаа1 ) + ( е'"ее)и. е" +2ссз2а+е .
1 Функция С (ю) может быть преобразована к такому виду: ге(~) = ) 1,„,У е~ + (а+ Ь]е + аЬ (фа~" — 2ассе2ае" +аз Уесе — 2Ьссе2ае" +Ьа ! применяя формулу интегрирования по частям, получаем новое изображение функции ге (и): 6(ю) = е — ассе 2ае ае е Этот интеграл может быть найден с помощью определения вычетов в полосе — оо( Ве и< оо, 0~(1шо~(2Л. 2е~" + (а+ Ь) е" (ее" +(а+ Ь)е" + аЬ 'е — 2асоз2ае + аз , ее е е — Ь сов 2ае ЗР е ЫР.
' е "— 2Ьссз2ае +Ье ) 1 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕРНКЦИИ 8 <81 417 Получаем после выполнения вычислений Ь: (ю) — [е — аю 8-1а-а)ю]а. ю [1 е-ааю) величина ю определнется через параметр а так: ею = а и е " =- Ь. Проведя вычисления, получаем ~/2ЛК( ) = 1+е ' Далее имеем 1 — [е 2л К(й) = г — [1 — еем Ю'е) [1 — е ааю] 1+е "ю 'Теперь монено составить формулу (10); после ряда вычислений получаем ~ П(Р)е""<Ь вЂ” — ( е -ааю + ~ совести. е а — 1 1 (11) Функция Н (Р) может быть получена отсюда с помощью общей формулы обращения преобразования Фурье.
Но проще найти зту функцию, основываясь на следующей формуле, которую легко установить с помощью теории вычетов: Ю Еа ")П[(Š— Е е)(Е-™ — Е- е)]Е)Р= аа — — ю 2яе +1 — соз оаео, т ) О. е '" 1 Полагая в атой формуле сначала т = 2, а затем т = и/а, получим вычитанием результатов ~ еоее[п) ) [е — е 2Е [ е ею+1 [ е'ю — 1 е -ааю+ 1 ) е ааю — 1) )созеош 14 Л. Н. Среаеаеаиа Интеграл, входящий в формулу для К (ж), может быть также определен с помощью теоремы о вычетах, при атом надо рассматривать контур, ограничивающий полосу — оо < Ве и ( оо; О ( )ш и ( аа.
413 гл. Н1. пРОстРАнстВеннАя зАЛАчА О мАлых Волнхх Сравнивая эту формулу с уравнением (11), Находим веизвестную функцию: (е~ — е )(е ~ — е ) 1 ( (е — е )(е — е ) 1 )' (е — е )(е — е ) (е" — е ' )(е" — е" Вернемся к переменному р; получим на основании формул (9) ре ее ре Ье р'™ Р Формула (12) дает значения действительной части функции )п д (~) в точках мнимой оси. На основании свойств интеграла типа Кожи (8) функция, изображаемая интегралом Р(ь) = —.
~ сЬ, 1 Г 1п(, ()) е))( еп (13) взятым по мнимой оси, принимает при подходе справа к точке (р этой оси следующие значения: )п(д(1)р()(+ —, ~ е(г, (11) при подходе же слева к той же точке принимает значения: — )п(д(11р)))+ — ~ ~ ог. (15) К(Я)=ехр~ ', ~ "" '' (г~, (16) мы получаем функцию, удовлетворяющую уравнениям (3) и (8) $7 для Веь ) О. Проверка уравнения (3) достигается прямой подстановкой в него найденного выражения функции л (ь). Что же касается уравнения (8), то проверка этого уравнения сложнее, так как интегральное уравнение (8) з 8 обеспечивает удовлетворение Отметим, что логарифмы, входящие в две последние формулы, определяются формулой (12), а от интегралов, входящих в эти формулы, берутся их главные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
