Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 66
Текст из файла (страница 66)
46). На линии Г мнимая часть функции )/ Й' — Аг полонсительна, в силу этого модуль функции ЕК» — Рх Ъ'В» — Л» О Ы, ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН, ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 434 полюса й = й,. Проводя вычисления и замечая, что интеграл по линии Г обращается в нуль при неограниченном увеличении радиуса этой окруясности, получаем для интеграла Ь новое выражение: й йо — Ул — й* Ь= дй+ л йо — — й — Ло х — еи — хУлч:-* + .
Ах— сс о хо — — х+ Ло со 2яй, Ея — ах й' — Л* хо с' + 4Ло После этих вычислений можно за- Рис. 47. писать выраясение функции А (х, з; Л) в следующем виде. Для положительных значений х имеем А(х,з;Л)= — Пе7 ' сй" '~ йл яро со —,, +4Ло Ю Рхс — х УЛ*+ос — 1ш ~ Хс с1х; яорс о хо — — х -~- Ло со для отрицательных значений х имеем Рос+с У Л +х А (г, з; Л) = — 1ш ~ . с(х. хорс 1 йч о х'+ — х+Ло со Подставим эти выражения функции А (х, з; Л) в формулу (6), получим выражение потенциала скоростей движения жидкости, сопровождающего корабельные волны. Для х ) 0 имеем О 2с Г йлсооЛР й, — осУ йо — л»„ о ~/ —, -~- 4Ло Я вЂ” — Ул*-йю — — 1ш ) соз Луа% ~, дх; (15) о о хо — о х+Ло со ввв гл.
Пг. пРОстРАнстВеннАя зАдАчА О мАлых ВОлнАх для х ( О имеем Я С Х 222+хт Ы+хо ср(х у,в) = — —,1ш ~ сов)суд)с ~ с(х (1О) о В 12. Асимптотические формулы для вертикальной координаты волновой поверхности Вертикальная координата ь волновой поверхности определяется по формуле (3) $2, если использовать выражения (15) и (16) в 11 потенциала скоростей. Получаем для х ) О а ~/ — + 4А2 с' ою О + о 1Ш 1 СОВ),у 21)2 1 ~~~". +Х Е 422 — х~ь'+22ЦХ' (1) хору ус о о хо — — 2 х + Ао со для х ( О имеем О О 1ш сов)су 21)2 + сохо+ха и+хЯх (2) Я Г х Уса+ хо хору а о хо+ 2 х+Ао Отметим особо, что в правых частях этих формул следует перейти к пределу, полагая в = — О. Введем на плоскости хОр полярную систему координат, полагая х=ЛсовО, У =ЛЗ(ВО, и рассмотрим безразмерный параметр ю = дВ/со.
Дальнейший анализ будет состоять в нахождении асимптотических разложений для величины ь при больших аначениях этого параметра. Рассмотрим сначала второй член формулы (1) и правую часть формулы (2). Вводя вместо )2 и х новые переменные интегрирования по формулам )2 =Йсову, х=)св1пу, преобразовываем рассматриваемые двойные интегралы формул (1) и (2) к следующему виду: О Юо Я ( 2 „у 1 а!патсов(ау сост) хауса уо а а Йа+ Сс ВШ2 7 в 12. Асивгптотические ФОРмулы 437 Исследование этого интеграла, которое мы здесь не приводим, показывает, что для больших значений ю и при любом значении угла 0 он имеет порядок го ' Н95').
Не принимая в расчет члены такого порядка малости, можно формулу (1) переписать так: о "у — +4У У св Это выражение ~ относится к положительным х; для отрицательных значений х величина ~ равна нулю. Ввиду того, что вся волновая поверхность симметрична относительно оси Ох, достаточно предполагать, что угол 0 принадлежит первой четверти. Преобразуем предыдущую формулу, вводя новое переменное интегрирования и и полагая = — )~ 1 -~- и'. Отсюда имеем — = — У1+ и' )с,=+(1+и), — 'в + 4).в = — 'в (1+ 2и').
~Ф Следовательно, ь запишется так: Яе — и+сии в — — 1ш1пп ~ (1+ив)е" х ЛР~ г — о о ,с еь(с вв — ввоо>Уг+"мни. (3) 'в' = (соз 0 — и зш О) )/ 1 + и' (4) для углов 0 в первой четверти. Предположим сначала, что В ~ О. Найдем производную иу 2ив в1з Π— и сов 0+ вш 0 У1+ив Прямой переход к пределу в этой формуле недопустим, так как интеграл, получающийся после замены 2 нулем, расходится.
Чтобы перейти к пределу надлежащим образом и найти вместе с тем асимптотические формулы для ь" при больших значениях параметра ю, изучим на плоскости комплексного переменного и функциго 438 гл. 1Н пРОстРАнстВнннАя зАЛАчА О мАлых ВОлнАх Эта производная обращается в нуль для двух значений переменного и: и~ = 4 с180(1 + )/1 — 818~0), 1 4 сьй 0 (1 — )Г1 — 8 18~ О). (5) Эти значения будут действительные и положительные, если угол О не превосходит угла Ос первой четверти, удовлетворяющего уравнению 1 190==. 2 г~й Угол 0» равен 19'28'. Изучим функцию и' сначала для углов О, удовлетворяющих неравенству 0<0<0, =1928'. (6) Разрежем плоскость комплексного переменного и по линиям (1, со1) и ( — », — со1).
Проведем на разрезанной плоскости через точки и, и из линии, вдоль которых действительная часть функции К сохраняла бы свое значение, а менялась бы лишь мнимая часть атой функции. Для построения этих линий надо принять во ® внимание, что в точках и, низ нарушается конформность прег~~ образования плоскости переЮ менного и в плоскость перемени ного )г. На рис. 48, представляющем Г первый лист римановойповерхности функции (4), проведены линии»„»„..., 1», 1,, вдоль которых не меняется действительРис. 48. ная часть функции г'; стрелки на этих линиях указывают направление увеличения мнимой части функции. Две из проведенных линий упираются в разрез (1, со1), и от него они должны быть продолжены по второму листу римановой поверхности. На этом втором листе рассматриваемые линии уходят в бесконечность, и мнимая часть функции У принимает там положительное бесконечное значение. Линии 1„1» доходят до разреза ( — 1, — оо 1) и далыге продолжаются на втором листе, уходя в бесконечность, где мвкмэя часть функции Г будет равна отрицательной бесконечности.
Продолжения линий 1„)„Ц и 1, на втором листе указаны на первом листе римановой поверхности штрихами. $ >2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 439 Обратимся теперь к выполнению предельного перехода в формуле (3). Для этого преобразуем первоначальный путь интегрирования ( — со, оо) в новый путь Г, идущий в удаленных своих частях в третьем квадранте — между осью абсцисс ВО и биссектрисой третьего координатного угла, а в четвертом квадранте — между осью абсцисс ОА и биссектрисой координатного угла этого квадранта. Легко видеть, что Ве иэ ) 0 в удаленных точках пути Г; в силу этого множитель — (>эым э е' будет равномерно ограничен.
Вместе с тем мнимая часть функции >>(и) будет во всех точках этого пути положительна, благодаря чему при преобразовании пути интегрирования ( — со, со) в путь Г интеграл не будет терять своего конечного аначения. В силу этого возможно в интеграле, взятом по линии Г, положить г равным нулю. В результате этого будем иметь вместо формулы (3) такую формулу для функции 9 = — —,1ш ~(1+ иэ) е"УОО'ои. (7) г Обратимся к установлению асимптотической формулы для функции ь, предполагая, что угол 8 находится в пределах 0 ( Е, ~( О ~~ о, — е„ (8) где е, и з, — два малых произвольно взятых положительных угла. Преобразуем путь интегрирования Г в сложный путь, состоящий из линии („ линии („ проходящей через точку ию и линий (, и 1„проходящих через точку и>. Надлежащее стремление к положительной бесконечности мнимых частей функции >> (и) междулинией Ги линиями 7, и („а равно и между линиями („(э и отрезком и>и> оси абсцисс, обеспечивает возможность преобразования линии Г в новый, сложный путь интегрирования, проходящий через точки и> и и .
Рассмотрим интеграл Ь> = ~ (4+ И2)Е"Уои>»и. 'з+>з Асимптотическое выражение этого интеграла для больших значений параметра е> может быть найдено по методу наискорейшего спуска. Функция У (и) обладает в точке из нулевой производной, и, кроме того, вдоль пути интегрирования (, + (2 действительная часть этой функции не меняется, а мнимая часть меняется 440 гл. Н1 пРОстРАнстВеннАя ВАЛАНА О мАлых ВОлнАх 1 + и', = — СС01 О (1 + 4 (яс 9 — $Г1 — 8 (81 0), У (и,) = 4 созО(3+ У 1 — 8ва'0)У 1+ из соз 0 У ( — 8 Сдз 0 11 ° 2 (и2) (и — и,) = 1г. )1Г1 + и2 (9) Пользуясь этими формулами, находим применением правил метода наискорейшего спуска следующее асимптотическое выражение для интеграла Ь11 1 1 а 1 1 (иУ1ио+ — и) с — — иУ"(иом Ь1=(1+и,)е ) е Йг, или (( + ис) У 2к 1 [иу1ю)+ — и) У с1$'" (ис) Найдем теперь асимптотическое выражение интеграла (1 + ис) Е У(и)1 йи.
1,+1, (19) (и) Около точки и1, через которую проходит путь нового интегриро- вания, имеем следующие разложения: 1 + и' = (1 + ис) +..., У (и) = У (и,) + — У" (и,) (и — и1)' + ..., где 1+ и', = — СС810[1+ 4 (810+ У 1 — 8 СЛ10), У(и1) 4 созО (3 — г 1 — 8С8~0) г 1 + и, ссзОУ~ — ЕСХ10 У" (и,) =— У (+"„ (12) от оо до нуля (в точке и ) и до оо в удаленных точках линии )з на втором листе. Следовательно, путь 1, + 11 может служить для применения метода наискорейшего спуска. Около точки и, переменное и на линиях 1, и 11 может быть 1 представлено так: и = и,+ ге', причем г может иметь как положительные, так и отрицательные значения, малые по абсолютной величине.
Далее, около этой же точки имеем 2 1 1 + и' = 1 + и, + ..., У (и) = У (и,) + — У"(и,)(и — и,)' + ..., причем 2 !2 Асимптотические ФОРмулы 441 кроме того, — рз и — и, = гее, (и — и1)2 = — 1гз. Применим к вычислению интеграла Гз метод наискорейшего спуска. Пользуясь формулами (12), получаем е 1 л 1 1 (иУ(ис1+ — л1 р — иУ"(и,)л* Ьи = — (1 + и,) е ') е' дг. — л Заменяя определенный интеграл его значением, приходим к асимптотическому выражению интеграла (11): У 2Я (( + и1) 1 [иг(ис — — «) А2= ' Е 4 (13) Г Ф ) Рл (И,) ( Асимптотические формулы (10) и (13) позволяют написать асимптотическое выражение функции ь, определяемой формулой (7).
Для больших значений параметра Ф и для значений угла О, удовлетворяющих неравенствам (8), имеем Р'АЯЯЕ ( (+ и1 Г 1 соз ~с1(г(иг)+ — я1— '()г (у (,,)) 4 (+и з — '( л( )~- — ' )). Г' Ф1 л(И ) 4 (14) Вернемся к формулам (5), определяющим величины и„и„и предположим теперь, что угол О превосходит угол Ое = 19'28'. Придадим формулам (5) такой вид: , = —,с(ОО(1+1~/828'Π— 1), 1 и, = — с(я О (1 — гр'8 (я' Π— 1). 1 (15) 4 Найдем на плоскости переменного и распределение линий, в точках которых действительная часть функции )г (и) сохраняет свое значение, равное значению действительной части этой функции в точках (15), а мнимая часть меняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
