Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Принимая во внимание, что при отображении плоскости и на плоскость )г нарушается конформность преобразования в точках и„и„можно построить рассматриваемые линии с той точностью в их расположении, которая будет достаточной для дальнейшего. На рис. 49 представлены схематически рассматриваемые линии. Стрелки, поставленные вдоль этих линий, указывают направление воарастания мнимой части функции 1г(и). Чтобы перейти к пределу в формуле (3) для з = — О, преобразуем путь интегрирования ( — с, ао) в новый путь Г, использо- 442 гл.
1и. пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых ВОлнАх ванный в предыдущем изложении. Такое преобразование пути интегрирования возможно благодаря тому, что между осью абсцисс и линией Г действительная часть функции и' и мнимая часть функции У (и) положительны. После такого преобразования пути интегрирования будем иметь вместо формулы (3) формулу (7) для ь. После выполнения этого преобразования заменим путь интегрирования Г путем, состоящим из линий !1 и 1„ которые будут являться линиями наискорейшего спуска, проходящими через точку и,.
Будем иметь = — — 1ш ( (1+из) е"'Р<"!! с(и. яре' 1,+1, Рис. 49. (16) Около точки и = и, имеют место следующие разложения: 1 +и = (1 +Ос)+ ° ° ° У(и) = У(и2) + (и и2) У (и2)+ ° ° ° где е — О1 1+и, = —. 2з!Яе ' 1 (17) ( —;+-,")'. У" (ис) = У 2 зш 0 )/ 8 18' 0 — 1 е вспомогательный угол 0 определяется формулами з!Лд = — . )/818'0 — 1, созд= =з(и0~1+ — ССЛ'О). 1 созе 0 ! . / ! 4 и!ОЕ ' )/'2 '1 4 Уравнение линий 1„1„1, 1, пишется так: Ке У = Ке У(и,). Около точки и, это уравнение принимает такой вид: Ке (и — и,) У" (ис) = О, (18) 443 1 12. АСИМПТОТИЧВС1<ИВ ФОРМУЛЫ Пользуясь предыдущими формулами и полагая и=- и,+ге"', находим из уравнения (18), что угол а касательных к линиям )„1„1, 1, с осью абсцисс в точке и, определяется из уравнения зш~2а+ — д) = О.
1 2 Отсюда угол касательной к линиям 1, и 1, с осью абсцисс, по которым ведется интегрирование, будет а = — — д. 4 Следовательно, переменное и может быть на линиях 1, и 1, изображено вблизи точки из так: 1 †-ш и= из+ГЕ Асимптотическое выражение интеграла, входящего в формулу (7), будет ( «Уе — — Э) 1 У2яе 4 -юге 12э1аз)'21212 Š— 1)" УФ ' Отсюда асимптотическое выражение функции 1, для больших значений параметра еэ и для углов О в пределах 19'28'+ з = Ое + е ( О ~( — я будет 5 эга (ОУ вЂ” д -ьл Ре' Г Я (2э1эз)'~'(212 Π— 1)'~' )'ее Здесь У1 и У, — соответственно действительная и мнимая части второй производной У"(и,), причем У, = )/е22з1ПО $е 81810 — 1соз — 0)0.
2 В начале этого параграфа было указано, что двойные интегралы, входящие в полные выражения функции 1„имеют по отношению к большому числу 1» порядок — 3. Члены такого порядка малости мы условились отбрасывать. В силу этого значения функции ~ в рассматриваемых пределах изменения угла 0 могут, тем самым, быть заменены нулем, так как эти значения убывают при увеличении еэ сильнее, чем значения показательной функции отрицательного аргумента. 444 гл.
1п. пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых ВОлнАх В первой половине настоящего параграфа предполагалось при изучении функции 4, что угол 0 отличен от нуля. Проведемтеперь анализ формулы (3), считая угол 0 точно равным нулю. Для этого значения угла 0 формула (3) запишется так: е —, (1+очс 4 = — — 1ш1па ~ (1+ и') е' е'"' 1'"' с)и. с -о = — — 1ш ~ (1 + и') е'"' У'+"' 4(и.
лрс4 г (20) Преобразуем затем кривую Г в мнимую ось, причем новый путь интегрирования должен идти по левому берегу разреза ( — сос, — 1) и по правому берегу разреза (1, Оос). Выполняя такое изменение пути интегрирования, будем иметь для интеграла формулы (20) следующее выражение: (1 + ио) е1"'У1~'" Йи = г = 1 ~ (1 — и') е4ос~ ' "' с)О + 21 ~ (1 — Оо) е У'" ' 4)и. Применяя этот результат к формуле (20), получаем 1 ~д 4 = — — ~ (1 — Оо) сов(со)4' 1 — ио)44О+ яро' 1 ~~о ( (Ро 1) е- У*-1 41О ярс4 4 1 Пользуясь формулой из теории функций Бесселя ((4), стр.
181, (1)) 1 М о о находим для Ь следующее выражение: ЮЬ' доУо(м) рс4 до44 Чтобы выполнить переход к пределу, преобразуем путь интегрирования ( — со', оо) в путь Г, идущий в первом и третьем квадрантах между осью абсцисс и биссектрисами этих квандрантов. Изменив таким приемом путь интегрирования, положим г = О. Получим '1 мь Асимптотические ФОРмулы 445 Пользуясь формулами приведения ~~ а ау„ — „' = — Уг(ю), 2 — „" = У„,(ю) — Узм(Ф), переписываем выражение функции ~ в таком виде: ~= Ъ(ЭУ (-)-У (-)) (21) При больших ю имеем ~ = — — "у — з1п(со+ — я). рс' г' ЛФ (, 4 Эта формула получена применением асимптотических формул для функций У (ю) и У, (ю): / 2 .
/ 1 У,(Ф) = — ~г — э)п~ээ+ — я), / 2 . г 1 ям ~ +4 )' Обратимся теперь к исследованию функции ь для углов О, подчиняющихся неравенству О< 8~(з, (23) и = ис180. Новый путь интегрирования, будем его снова обозначатьчерез 1, + („ проходит через точку э„определяемую равенством эг= 4 (1+ г 1 — 818 0). При стремлении 0 к нулю число и, стремится к 1/2.
Через точку и, будет проходить путь наискорейшего спуска. Функция У(и) примет в новом переменном такой вид: У = — "." ' (1 — У) У'У + Са О; положим У* (У) = (1 — и) у' Р' + Ьй' О. и исключенных выше неравенством (8). Для этих углов определенный интеграл формулы (7) может быть представлен в виде суммы двух интегралов Ь, и Ь,.
Рассмотрим сначала второй из этих двух интегралов. Точка и„через которую проходит путь интегрирования 1, + („ удаляется в бесконечность при стремлении угла 0 к нулю. Это заставляет сделать заменупеременногоинтегрировапня и ввести вместо переменного и новое переменное э по формуле 446 гл. Н1. пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых ВолпАх Теперь интеграл Ьс запишется так: А,с= с180 ~ (1+дссСО'О)е"*"Ч"В1Ь, 11+11 где ссзс О СЗ" = 01 зш8 Будем рассматривать ссс как параметр и найдем асимптотическое выражение интеграла Ьс для больших значений этого параметра.
Применим метод наискорейшего спуска; для этого отметим следующие разложения и формулы: 1 + и' с~8' О = (1 + Р', с1дс О) +... ... = — (1 + 4 Вд' О + г' 1 — 818' О) +..., 1 2 ~'( ) = ~'( ) + —,( — )'( — „, ~„, + ", У'(Р1) = — (3 — 4/1 — 8 фс 0) ~/1+ 418'О+ )Г1 — 81810, 8 3/2 3 ~„„') РУ*') 2Р'2)1'1 — Зсн Е и =Р1+ГЕ У1+418 В+У'1 — Зсдсэ ' Пользуясь этими формулами, находим асимптотическое выражение интеграла Ьс: р'2я ссз О (1 + с~ сЬ'с О) ' [с*Учи ~'.*! — "" 1,=. (24) Относительно этой формулы надо сделать такое замечание.
Параметр ссс считается большим, и это может иметь место не только при каком-нибудь угле О ча 0 и большом в, т. е. На большом расстоянии от места приложения давлений, но параметр о1* может быть большим при каком-нибудь значении с1 и при угле О, стремящемся к нулю. Это последнее обстоятельство имеет, как мы увидим далее, особый интерес. Рассмотрим в заключение интеграл Х1. Так как при стремлении угла О к нулю переменное ис имеет конечное предельное значение, равное нулю, то для рассматриваемых углов О асимптотическое значение интеграла будет по-прежнему даваться формулой (10), которую можно переписать,вводя вместо функции У (и) функцию Ус (Р).
При стремлении угла О к нулю интеграл Ь1 будет стремиться к интегралу формулы (20) и, следовательно, для малых значений угла О может быть заменен его предельным значением. 44т 12. Асимптотическне Фогыулы Согласно предыдущим вычислениям, мнимая часть этого предельного значения равна дюу ю дююю Таким образом, для углов О, удовлетворяющих неравенству (23), имеем следующую асимптотическую формулу для функции ь: — 4+и', Г з — сов ~ююр (и,) + — п1 + ~~ю' 1/~и („) ~ ' 4 дар 2яс~ОО(1+ю~сВКюэ) г „„1 + сов ~ю"У" (и,) + — я1 . (25) зрею 1/ ею*~ Чтобы закончить составление асимптотических формул для функции ь, остается рассмотреть лишь угол небольшого раствора с биссектрисой, совпадающей с прямой О = 19'28'.' Определение асимптотических формул внутри такого угла связано с продолжительными вычислениями и выполняется с помощью функций Эри. С этим можно познакомиться по статье Эрселла.
См. также статью [200), в которой видоизмененным методом установившихся фаз рассматриваются волны вблизи линии О = О,. Мы же приведем менее законченное исследование функции ~, рассматривая поведение этой функции в узкой полосе, ограниченной двумя прямыми линиями, симметричными прямой О =- О, и ей параллельными. Преобразуем принятую систему координат хОу, вводя вместо нее новую систему координат х'Оу', проводя ось Ох' вдоль линии О = О,. Между новыми и старыми координатами имеют место соотношения х =х совОю — д в(пО„ у = х' вш О, + у' сов О,. Преобразуем выражение ююУ (и) к новым координатам; имеем ююу (и) = ~ (х — иу) у' 1 + и' = = — — (в1пО, + исовО,) )/1+ и'+ — ", (сов΄— ив1пО,) )/1 + и'. Отсюда функция ь, определяемая формулой (3), запишется так: С» е Яд — П+юпю ь" = — — 1ш)1ш ~ Р(и)е' ею""г<") е1и, (26) яэ" где юю'= —,, Р(и) = (1+и')ехр ~ — ю еэ (в1пОю+исовОю)У1+ ию~; 448 гл пг пгостгАнстВкннвя ЗАЛАчА О мАлых ВОлнАх функция У (и) берется здесь для значения О = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
