Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Отсюда вытекает, что интегралом (13) изображается функция (п д (Д для Ве ь ) 0 через значения своей действительной части (12) на мнимой оси. Нетрудно проверить, что функция Г (Ь), определяемая интегралом (13), совпадает в правой полуплоскости переменного с функцией д (ь).
Иными словами, полагая ( 3. Опгеделеним ФУнкцни з (4) уравнения (8) з 7 лишь на прямой ь = р(е "', как зто видно из самого составления интегрального уравнения. Таким образом, можно утверждать, что модуль функции ,.-- ~ —. ~-т)- 1 равен единице прн ь = р(е '"'. Пользуясь уравнением (3) 1 7, можно показать, что модуль функции 6 (ь) равен единице и на линни ь = — (р. Функция 6 (ь) голоморфна в секторе — 17,я < < агя ~ < "/,я — 2а, на сторонах сектора ее модуль равен единице, а в бесконечности 6 (() = 1. Отсюда следует, что 6 (Д = 1.
Для значений ь с отрицательной действительной частью функция, находящаяся в правой части формулы (16), не дает решения уравнений (3) и (8) 1 7. Это следует из того, что интеграл типа Коши (13) определяет с разных сторон пути интегрирования (ос(, — оо() различные аналитические функции. Функция д (ь) для Веь < О должна иметь значения, получаемые аналитическим продолжением через линию (оо(, — оо() значений (16).
Чтобы найти аналитическое продолнгение функции (16) через мнимую ось, обратим внимание на первые слагаемые выражений (14) и (15). Эти два слагаемых станут одинаковыми, если к выражению (15) добавить 2 )и ! 4' (((р() !. Функция а !и 4а -)- а~ 4~ + У ( — 4а) (-Г) аа аа Ьа а а а а ~а) аа Ь 4а + аа 4а ( ьа и"' ы ( ~а) ~" ( — Р) '" х ( — ~,-') ' — а" ( — Ьа) '" — Ь" — 1 (17) Таким образом, формулами (16) и (17) определяется функция д (ь) на всей плоскости комплексного переменного ь.
Но здесь 1 ха принимает на мнимой осн значения 2(в(д(((р)) ), если выбра- Л па та ветвь многозначной функции ( — ь')'", которая имеет действительные значения на мнимой оси переменного Ь. Отсюда следует, что в левой полуплоскости переменного функция д (ь) имеет следующее представление: 42О гл. 111. пРОстРАнстВеннАЯ зАДАчА О ИАлых ВОлнАх следует сделать одно важное замечание. Благодаря тому, что в фор» мулу (17) входит многозначная функция ( — ~')з» с точкой ветвления в начале координат, аналитическое продолжение функции (16) приводит к многозначной функции.
Эта функция имеет, вообще говоря, бесконечное число значений для данного <„и лишь для углов а = — яр/(2д) точка ~ = 0 есть алгебраическая точка ветвления; р и д — два целых взаимно простых числа. При р = 1 многоаначность пропадает. Чтобы иметь дело с одной определенной ветвью многозначной функции д (ь), проведем вдоль действительной оси разрез от точки <, = 0 до точки ~ = — оо. На плоскости комплексного переменного ~, снабженной таким разрезом, функция у (ь) будет однозначной. В правой полуплоскости переменного ь функция д (~) не имеет ни нулей, ни полюсов, так как интеграл типа Коши, входящий в формулу (16), является функцией, голоморфной для Ве~ ) О.
Этим оправдывается апостериори предположение, позволившее построить на основании равенства (4) основное интегральное уравнение (7) задачи. Что я<е касается характера функции д (~) в левой полуплоскости, то благодаря присутствию в знаменателях формулы (17) разностей » » » » ( Р) 1» а» ( Р)»» Ь» функция д (<",) будет иметь в левой полуплоскости и на всех листах римановой поверхности, в которые зта полуплоскость переходит через разрез (О, сс), бесконечное число полюсов первого порядка, расположенных на двух окружностях: ) <". ! = а, 1 ~ ) = Ь. Эти полюсы имеют такие аффиксы: ~;зез»<<< ~ ~ <ЬЗ™<<< (<"1' = ~ 1, ~2, -.пЗ, ...).
(18) Полюсов каждого из двух семейств будет и па разрезанпой плоскости, причем Ы(4<<) — 1 ( и ~~ я!(4а). Обратимся теперь к условию перехода от равенства (5) э 7 к равенству (6) з 7. Это условие, связанное, как было объяснено в з 7, с особыми точками функции (7) т 7, а именно с полюсами (18), будет удовлетворяться, если контур Г выбран так, что он содержит внутри себя все полюсы функции д (е»«.); аффиксы этих полюсов получаются умножением чисел (18) на е "'. Отметим в заключение, что точка <, = 0 есть точка ветвления функции л (~). Около этой точки функция д (<".) имеет следующий вид: д (<,) = а~ '"-1 4-... В этом можно убедиться с помощью формул, определяющих вид интеграла типа Коши около особен- 1 9, ВОлнОВАН повегхностьтнАд нАклонным днОм ности подынтегральной функции (71, в данном случае — около точки з =- О.
Функция я (~) стремится к единице при стремлении ~ 1". ) к бесконечности, так как показатель экспоненты в формуле (16) стремится к нулю при ~ ь ~ = со . Это свойство имеет место на всей разрезанной плоскости. Таким образом, формулы (16) и (17) дают в разрезанной плоскости ь решение системы функциональных уравнений (3) и (8) э 7. Этим самым находится по формуле (1) з 7, в предположении Х) 2яд!а', потенциал скоростей рассматриваемого колебания жидкости над наклонным дном. $ 9.
Исследование волновой поверхности над наклонным дном Применим найденные формулы к определению вида волновой поверхности. Вертикальная координата точки на волновой поверхности определится в обозначениях $7 формулой 2 = — — р(д, 0) сов й РНОС (1) х Функция 1р (у, 0) составляется с помощью формул (1) 3 7 и (16), (17) з 8. Найдем сначала поведение функции 1р (у, 0) около точки у = О, т. е. у самого берега бассейна.
Путь Г, интегрирования в формуле (1) э 7 выберем более определенно, чем выше. Верхняя часть этого контура состоит из кривой С,~ начинающейся в точке ~ = 0 и оканчивающейся в точке ~а ( ( 0 осн абсцисс и продолжающейся от точки ь, в бесконечность по оси абсцисс. Нижняя часть пути Г, симметрична верхней отно сительно оси абсцисс. Криволинейные части Сэ и С, всего пути выбраны так, что они заключают внутри себя все особенности функции д (е"' ~). Интегрирование по верхней и нижней части пути Г, идет от точки ~ = 0 в бесконечность. Путь Г, геометрически совпадает с путем Г, но пробегается он от точки ~ = — ао, лежащей на нижней стороне оси абсцисс, до начала координат и пробегается далее по верхней части пути в бесконечность.
Функция д (Д может быть представлена на прямолинейных участках путей интегрирования так: э (ь) = эг(ь) + 1д, (ь) на верхней части оси абсцисс, э" (ь) = эг (ь) — 1д, (Ь) на нижней части оси абсцисс, Такое представление функции у (~) оправдывается соотношением (3) $ 7. 422 гл. Мь пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА 0 мАлых ВОлнАх Принимая в качестве пути интегрирования линию Г„имеем один потенциал скоростей: р,(у,О)=В. 1, '('",' .'"~" )" + 2 (~ )+ 2 (ь ~)+ При стремлении переменного у к нулю интегралы формул (2) и (3), взятые по криволинейным путям, стремятся к конечным пределам и представляют собой голоморфные функции у. Рассмотрим интегралы по прямолинейным путям.
Найдем поведение функции я(~) около ~ = — ао. Для этого обратимся к формуле (17) 2 8, определяющей эту функцию в левой полуплоскости. Интеграл, входящий вату формулу, мо1кет быть оценен так: где М вЂ” некоторое числа. Поэтому Отсгода имеем, пользуясь формулой (17) 2 8, )б(1) — 1) ~ —" !1! н, следовательно, !К1(д — 1!( — ". ~бзкн( ~ . (4) Второй интеграл формулы (3) сходится при любом значении у и, в частности, при у = О в силу последнего неравенства.
принимая в качестве пути интегрирования лини1о Гю получаем другой потенциал скоростей: 9 9. ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ НАД НАКЛОННЫМ ДНОМ 4вз Отсюда следует, что потенциал скоростей ц~а (у, О) имеет конечные значения около точки у = 0 и в этой точке, и поэтому формула г=- — — ра(д,О) й з2В ~ с (5) х 2 (~ ) В силу неравенств (4) первый из интегралов правой части этого равенства имеет конечное значение в точке у = О. Следовательно, остается изучить второй интеграл.
Представим этот интеграл в сле- дующем виде: — йа(392 — $) — 92~2,~ 2 2 (С+ 2 ) „ — 22(22 1)2+ 92222 4 1 а г ~1 22(с+ 2)9 1+ ~ Первый из интегралов правой касается второго интеграла, то = ~ + $/~ он приводится к части сходится при у = 0; что же введением нового переменного $' = известному интегралу: ~ Ита —,е определяет волновую поверхность с конечными значениями вертикальной координаты около берега и вдоль него.
Обратимся теперь к потенциалу скоростей 2р, и рассмотрим второй интеграл формулы (2) для у, близких к нулю. Имеем 424 ГЛ. 111. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ Около точки у =- О этот интеграл неограниченно растет и может быть представлен так: 4 е д' ам" 4 — — е ' = — — 1пау+ Ьа са Собирая вместе все полученные сведения об интегралах, составляющих формулу (2), приходим к заключению, что потенциалом скоростей <у<(у, х) описывается движение жидкости, сопровоя даемое неограниченными по своей величине вертикальными координатами волновой поверхности около береговой черты.
Чтобы получить полное описание движения, отвечающего потенциалам скоростей <р< (у, х) и <е, (у, х), надо исследовать эти потенциалы для больших значений у при з = О. Для проведения этого исследования необходимо преобразовать формулу (1) $7. Путь Г охватывал полюсы функции (7) $7 и, кроме того, заключал внутри себя точки — а1, — Ь1, которые являются нулями знаменателя подынтегральной функции в формуле (1) з 8.
Возьмем вместо пути Г новый путь Г, которыйотличается от пути Г тем, что точки — а<, — 61 лежат вне области, ограниченной этим новым путем. Применяя теорему о вычетах, имеем новые выражения потенциалов скоростей: <р„(у,О) = Ке ~ е' '» — Ке2ЛИ, Х(Ь)а4 — '1('1+ — ') а 2 (~ )+ т <р'(у,О) = Ке( ~ 1 1 е' с~ — КВ2Л77, д(4)а1 11(+ 1) г,2 < 1) — Ь~~ — — ~) 1 <т где Л вЂ” сумма вычетов функции относительно полюсов — а1, — Ь1. Отметим, что Г, и Г, аналогичны путям Г, и Г, 1 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
