Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Хогнер нашел асимптотические формулы для ординат поверхности жидкости. Эти формулы описывают вид поверхности жидкости на некотором расстоянии от области перемещающихся давлений. Работа Хогнера дает почти исчерпывающее решение задачи о форме корабельных волн; оставались неизученными в исследовании Хогнера лишь некоторые особые области поверхности жидкости. Мы имеем в виду изложить теорию корабельных волн, следуя статьям Питерса [162) и Эрселла П95), содержащим в известном отношении законченное исследование этих волн. Предположим, что по поверхности бесконечно глубокой жидкости перемещается справа налево с постоянной скоростью с некоторая область давлений. Благодаря этому жидкость, находящаяся в состоянии покоя, приходит в движение и на ее поверхности образуются волны. Эту область перемещающихся давлений будем схематически считать за движущийся корабль.
Волны, образованные движущейся областью давлений, будем рассматривать как корабельные волны. По отношению к системе координат, движущейся вместе с кораблем, движение жидкости будет установившееся, причем скорость частиц жидкости, принадлежащих бесконечной глубине, будет равна с и будет направлена слева направо; это направление скорости потока, набегающего накорабль, примем за положительное направление оси Ох. Компоненты скорости частиц жидкости по осям координат, связанные с кораблем, будут дй дй д(Р и=С вЂ” —, Р—— =Ю вЂ” —. дх ' ду ' дх Используя соображения, изложенные в 9 27 гл.
1, можно написать граничное условие для потенциала волновых скоростей ~р (х, у, з) и уравнение поверхности жидкости, подверженной давлению р (х, у): (2) К граничному условию (1) надо добавить требование обращения в нуль частных производных первого порядка функции у на бесконечной глубине, 430 ГЛ. 1П. ЦРОСТРАНСтВВННАЯ ЗАДАа1А О ЫАЛЫХ ВОЛНАХ Найдем потенциал скоростей, удовлетворяющий поставленным условиям, предполагая, что давление р (х, у) есть величина постоянная и равная ро во всех точках круга радиуса а и равная нулю вне етого круга.
Согласно интегралу Фурье — Бесселя зта функция может быть представлена таким двойным интегралом: а а р (х, у) = р, ~ Хо Яг) )о (й ~ Хо (Ьг) г'й', о о г=)г '+у'. Внутренний интеграл может быть вычислен на основании формулы — „"„1Х, ($) = 5Х, Я). Получаем р(х, у) = аро ~ Хо(аг)Х,(а)о)НЙ. о Рассмотрим теперь следующую функцию переменных х, у, г ~ О: Р (х, у, е) = ар, ~ ем Хо (аг) Х, (ай) йИ. (3) о Это — гармоническая функция переменных х, у, г, принимающая при подходе к плоскости г = — 0 значения р (х, у). Устремим теперь радиус круга а к нулю и вместе с тем будем неограниченно увеличивать р„но так, чтобы произведение яа'р, стремилось к конечному, отличному от нуля пределу Я. При таком переходе к пределу мы будем иметь волны, возбуждаемые давлением, сконцентрированным в одной точке поверхности жидкости.
Выполняя в формуле (3)предельный переход, получаем Р(х, у, е) = — ~ йеыХо(йг) д)о. о Можно заметить, что зтот интеграл вычисляется применением формулы а ~ е"'Хо (аг) аа = )г оо ~-)- го о и получает следующее значение1 о' г Р (х, у, г) = — —. (го+ го) * 11, ткоеня к01Аврльных носик !1от1'нпиАл скоростей 431 Отсюда имеем дР— = — ~ К ЕЫ.7О(йГ) С(й = — * ~ )Сог"су (йГ) СУС = о о Здхс зх 121+ рс + 22] 1* Обратимся после выполнения этих вспомогательных вычислений к граничному условию ($) и рассмотрим следующую гармоническую функцию в нижнем полупространстве: д21р Е д1р 1 дР Н (х, у,г) = — + —.
дхо со дс рс дх Функция Н(х, у, г) принимает нулевые значения при подходе к точкам плоскости г =-- О,не совпадающим с началом координат; вместе с тем эта функция обращается в нуль в бесконечности. Следовательно, Н (х, у, г) тождественно равна нулю для всех значений своих переменных, в силу чего для определения этой функции будем иметь дифференциальное уравнение (5) о Так как правая часть этого уравнения — четная фуякция перемен- ного у, то будем искать функцию ср как четную функцию этого же переменного. Положим 1р (х, у, г) = ) А (х, г; ) ) соз 'Ау А)2, о (6) до А 2 доА — — 322А+ — = О. дх2 ~д22 (7) Подставим теперь выражение (6) функции 1р (х, у, г) в уравнение (5), получим С с 1( — '- —:) — + —,— ~соз~а~й, = — ~ й е 2Х1(йг) 1%.
! доА Е дА~ Юх Г 2" ( дхо ' сс дс ) 2нрсг о о Умпожп21 обе части этого уравнения яа соз ру и проинтегрируем где А (х, г; Л) — искомая функция. Так как функция ор (х, у, г) должна удовлетворять уравнению Лапласа, то функция А (х, г; ) ) должна быть интегралом следующего уравнения: 432 гл.
Пь НРОстРАнстВБннАЯ ЗАДАЧА О мАлых ВОлнАх по переменному у от О до оо, Получим совру ду ~ ( —,-)- — — ) сояьудЛ = /доА е дАЛ ~дхо ео д, ~ о о — ~ — соя руду ~ йое" Х,(йг) дй. (8) Левая часть этого уравнения равна, в силу интеграла Фурье, причем переменное 2., входящее в функцию А (х, я; А), заменено переменным р. Преобразуем правую часть уравнения (8).
Имеем С О ~ — соя руду ~ й'е"'Х,(йг) дй = ~ хйое"'дй ~ сояруХл(йг) о о о о но ((41, $ 13.47) О, если й(р, Ыц сов РУ Хл(йг) = о~п ( у ао ро) если й ) р. Следовательно, ~ — соя руду ~ йоео'Х,(йг)дй = ~ йеы ялп (хф' йо — ро) дй. Теперь уравнение (8) может быть переписано так: С л Пользуясь уравнением (7), исключим иэ этого уравнения вторую производную по х, получим — + —. — )лоА = —, ~ йеы ялп (х )/ й' — Ао) дй. (9) л Для дальнейшего целесообразно путь интегрирования, идущий от точки А в бесконечность по действительной оси, заменить криволинейным путем С, расположенным в верхней полуплоскости комплексного переменного й.
Этот путь будет снова соединять точки Аисо. 1 11. теОРия кОРАБельных ВОлн, потенциАл скОРОстгй 433 Перепишем уравнение (9) так: е дА ХаА ~ 1ш~йеа — саус — л,у~ дса са да карс с (10) Общее решение этого уравнения может быть представлено в виде суммы его частного решения Ас (х, з; Х) и общего решения А, (х,г; Х) соответствующего однородного уравнения даАд Е дАд — — — — Х А, = О. даа са да (11) Нетрудно найти частное решение уравнения (10); оно будет иметь вид Асаг — 1х Уд' — Л* Ас(х, г; Х) = — —,1ш~ Жс.
(12) с йа — — й — Ха Обратимся теперь к определению функции А, (х, з; Х); покажем, что эта функция равна тождественно нулю. В самом деле, общий интеграл уравнения (11) может быть записан так: А, = Р, (х; Х) е"" + га (х; Х) ел", (13) где й, и йа — корни уравнения причем й,= — (+-~-)/д .~дд), д,— — (+ — У+4-4д). Число й, больше, чем Х. Две произвольные функции интегрирования г'д (х; Х), г'а (х; Х) могут быть определены изтого условия, что функция А (х, г; Х) должна удовлетворять уравнению (7). Отсюда получаем два дифференциальных уравнения: да7 ' + (йд — Ха) дсд =- О, — '+ (йа — Х ) да = О.
Общие интегралы этих уравнений пишутся так: гд = Яд(Х) соэ ~/ — х + еа (Х) здп )/ — ах, Г еьд / ей У (14) ,1/ ет, 1/ ем г'а = ла(Х)е с с' + йдс(Х)е Чтобы определить произвольные функции дд (Х),..., дс (Х), заметим, что, в силу взятого расположения пути интегрирования С на плоскости переменного й, функция Ас (х, з; Х) будет ограниче- 434 Гл. 1н. НРостРАнственнАН зАдАчА о мАль1х волнлх на на бесконечной глубине, г — = — оо, п, кроме того, при х, стремящемся к — со, будет стремпться к пулю. Из формул (13) н (14) вытекает, что для сохранения этих свойств у функции А (х, г;Х) необходимо прежде всего приравнять функцию Рг (х; )») нулю, так как второе слагаемое в формуле (13) неограниченно растет при г = — со. Функция Р (х; )с) не имеет предела прн х = — ос и любом г, следовательно, надо принять дл () ) = йг (Х) =- О.
В силу этих свойств функция А, (х, г; ),) обращается в нуль. Таким образом, функция А (х, г; Х), входящая в формулу (6), совпадает с функцией А, (х, г; ) ), определяемой формулой (12). Преобразуем интеграл, входящий в формулу (12)1 », ы — 4~»'л л Л = сУс, Аг — А 1» г сг стремится к нулю при неограниченном увеличении радиуса окруясноРис. 4»6. сти Г. Вместе с тем интеграл по линии Г будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении радиуса окружности Г. Принимая во внимание это свойство, преобразуем интеграл А' к следующему виду: А л»+хил м е о + ~ л Аг — — А — л,г К сг с »хе+х»' Л»+х» дк. сс кг+ —.х+».с с» Рассмотрим затем положительные значения переменного х. Интеграл по линии С может быть заменен интегралом по отрезку [Х, 0) оси абсцисс и интегралом по отрицательной части всей мнимой оси и по четверти окружности Г, лежащей в четвертом квадранте (рис.
47). Но в рассматриваемом случае, когда г ~ О, необходимо добавить вычет подынтегральной функции относительно к более удобному виду. Предположим сначала, что переменное г меньше нуля. В этом случае путь интегрирования С можно заменить новым путем, состоящим из отрезка (), 0) действительной оси плоскости сс, всей положительной части мнимой оси и из четверти Г окружности бесконечного радиуса (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
