Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Применим к интегралу (26) метод наискорейшего спуска, считая число оо' большим, а число ду'/св ограниченным. Для применения этого метода надо найти нули производной функции У (и); имеем Л' 2в1ВОоив — сов Оси+ вшО йи )/1+ и' Но 1 . 1 272 . ов Оо = = З1В Оо —— , соз Оо ==— 2у2 3 3 отсюда следует уравнение для определения и: (и — =) = О.
Это уравнение имеет двойной корень: и, =- 1/'1/ 2. Для этого корня имеем следующие значения производных функции й (и): У(и,)=,' $/3, Г(и,)=0, У(.,)=0, Ги(.,)= +У/7. На рис. 50 показано схематически расположение линий 1„1„ 1ю выходящих из точки и =- и„вдоль которых сохраняется значение действительной части функции у (и), равное '/, )/о/о, и вдоль которых мнимая часть возрастает от 0 до оо.
В точке и, эти линии наклонены друг к дру(и) гу под углом в 120', а линия Ц„ т уходящая в бесконечность в четвертомквадранте, наклонена к оси абсцисс под углом в 30'. Это сле~ид дует из того, что в точке и, об- 47' ращается в нуль не только первая производная, но и вторая производная функции о' (и). Переход к пределу ~в формуле (26) осуществляется совершенно Рвс.
30. так же, как и выше, рассмотрением некоторой вспомогательной кривой Г. После выполнения этого предельного перехода интегрирование с кривой Г переносится на линии 1, и ов; отметим, что при таком преобразовании путей интегрирования линия 1, остается в стороне, так как между этой линией и осью абсцисс будут области, где мнимая часть функции ~'(и) отрицательна, что препятствует сходимости интегралов. 1 ех ОгпжАнпв ВндА БОРАБельных ВолН Итак, = — — 1ш ~ Р (и) ее"""1и) с(и — — 1ш ~ Р (и) е'""Роес1и.
и " ' Ее>' Я~ Лрсе лрсе ь Применим к асимптотической оценке этих интегралов метод наискорейшего спуска. Для первого интеграла имеем и = 1/Р'2 + ге '; переменное и меняется от со до О. Таким образом, будем иметь Р (и) ее"'Р1 "1 с(и = е/ 2~~'а' е' — (с 2 2 (1~ 1 Для второго интеграла имеем и = — 1/~/2 + ге ', переменное г меняется от О до со, Отсюда асимптотическое выражение второго интеграла будет Г (и) е'""Р1и) с(и = и ! 1 2га' У Применим эти формулы к оценке функции ь; получим — — ~/ — ~/ — знт 1)/ — (а' — 'и )1. (27) 2 у а' Эта формула пригодна для вычисления ~ вполосе, охватывающей линию 9 = 9„и при больших значениях параметра а'.
й 13. Описание вида корабельных волн Асимптотические формулы для вертикальной координаты точек волновой поверхности, образующейся при движении очага давлений, дают возможность составить законченное представление о виде корабельных волн на достаточном удалении от места их возникновения. 15 л. н.
Оретеисииз 45О гл. Нг. пРОстРАнственнАЛ 3АдАчА О мАлых ВолнАх При описании формы корабельных волн мы будем принимать в расчет лишь те области поверхности жидкости, где вертикальная координата имеет порядок малости по отношению к безразмерному параметру в не выше чем — 1/2. При таком соглашении можно сказать, что левее прямой, проведенной через очаг возмущения перпендикулярно к его пути, поверхность жидкости свободна от волн. Это следует из того, что при х ( 0 выражение ~ дается лишь одним двойным интегралом (2) 3 12, который, как было упомянуто, в з 12, имеет порядок малости — 3 по величине ы. В силу симметрии всего движения жидкости относительно плоскости у = — 0 достаточно описать вид поверхности жидкости лишь в первом квадранте; часть плоскости хОу, находящаяся в первом квадранте, разбивается на ряд отдельных областей.
Возьмем два малых числа е, и е,. Область 1 ограничена двумя лучами з, и О, — з,; для точек этой области соблюдается неравенство зг ( О ( Оа — зз. Область 11 ограничена положительной частью оси ординат и лучом О, + е; в области 11 имеет место неравенство для углов О 1 Оз+ з,(8 ( — я. 2 Затем имеем две переходных области: область 1П, ограниченную лучами 0 и е„и область 1У, ограниченную лучами О, — з, и Оа + е,. Для углов 8, принадлежащих этим областям, соблю- даются соответственно следующие неравенства: 0 ~( О ~( е„' О, — з, ( О ( О, + е,. ~2 О 1 ь- —. ~~" ( )~ 4 )/Бах 1+" г 5 — соз 1ой'(из) + — я~ .
ярс' )Гыу'(и,) 1 ' 4 (2) Отметим прежде всего, что область П можно исключить из рассмотрения, так как в этой области величина ~ имеет по отношению к параметру ю порядок убывания более высокий, чем — 1/2, как это следует из формулы (19) $ 12. Главная часть волнового движения поверхности жидкости, сопровождающая очаг возмущения, сосредоточена в области 1.
Вертикальные координаты точек волновой поверхности в этой области даются при болыпих ю формулой (14) 5 12 и составляются из двух координат: 1 13. ОПИСАНИЕ ВИДА КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 451 Рассмотрим волны, определяемые уравнением (1). Уравнение гребней этой системы волн пишется так: юР'(и,) = 2лп — — л (и = 1, 2, 3,...), 1 или, на основании формул (12) з 12, дЛ 4л (8)8 — 1) з(э В ВВ с~э В(З вЂ” у'1 — 81888)" (1+у( — 818 В)" (3) Все гребни этого семейства выходят из начала координат, причем каждый гребень семейства касается в начале координат оси абсцисс. При изменении угла 9 от нуля до О, — зэ радиус-вектор Л монотонно увеличивается, и если углу 9 придать значение О, то кривая линия (3) встретит сторону угла 0 = 19'28' на расстоя- нии л (8а — 1) сВ от начала координат. В силу этих свойств волны (1), обладающие пучком гребней (3), выходящих из начала координат, носят название продольных или расходящихся волн.
Изменение высоты расходящейся волны при движении по гребню дается формулой у2;ъу 1+иВ А,= —, У (у( или, в силу формул (9) 8 12, зя В (8 — 8) ( В 8(8.-(( ВЦВ)" — )8( — В 'В)' (5) 15* Пользуясь формулами (12) 2 12 и формулой (3), легко установить, что вдоль гребня продольной волны ординаты неограниченно увеличиваются при увеличении угла О. Если в формуле (4) положить О равным 9„то Аг будет равно бесконечности. Это дает указание на то, что можно ждать при точном исследовании волновой поверхности около линии О = Оэ большого увеличения ординат точек поверхности жидкости.
Это действительно и будет установлено при исследовании области 1У. Рассмотрим затем волны, определяемые формулой (2). Уравнение гребней этих волн запишется так: юр (и,) -(- — ' л = 2лп (и = 1, 2, 3,...), 452 Гл. и1. пРОстРАнстВнннАя ЗАдАчА О мАлых ВОлнАх При увеличении угла О от нуля до О, радиус Л монотонно увеличивается от г/ л (Оп — 3) до значения и (8и — 3) сэ 213 8 Это последнее значение — несколько уменьшенное — радиус-вектор Л примет для угла О, отвечающего границе О, — е, области 1. Что же касается угла О = О, то в формуле (2) возможно О заменить нулем, так как изменение асимптотических выражений при переходе из области 1 в область П1 относится лишь к точке и„ибо только эта точка уходит в бесконечность при О, стремящемся к нулю.
Гребень волны (2) пересекает ось абсцисс под прямым углом, и расстояние между двумя последовательными гребнями, изме- рЕННОЕ В тОЧКаХ ОСИ абецИСС, будвт раВНО 2ЛСЗ1я; ЭтО ЕСтъ дЛИНа уетановившейся волны на поверхности потока, текущего со скоростью с. Благодаря всем этим свойствам волны второго семейства носят название поперечных волн. Высота поперечных волн в точках их гребней дается формулой У2пЬ' !+и~ прсс с р сс)с" 1и,) Формулы (9) 3 12 показывают, что при подходе к границе области 1Ъ' амплитуда А, неограниченно растет, и если О положить равным О„то найдем А, = со. Это указывает на неприменимость асимптотической формулы (2) в области 111. Приводимая ниже табличка, заимствованная из статьи Хэвелока И09), дает понятие об изменении э, вдоль гребня поперечной волны.
В этой табличке указаны для разных углов О величины, пропорциональные 8' !2 О. 19'27' ! 9' 19*15' ! 9'28' 1,18 2,00 2,9 3,5 7,5 Числа этой таблицы показывают, что лишь в непосредственной близости к границе области 1 наблюдаются значительные и быстро увеличивающиеся значения ь,. Проведенное исследование функции ~ в области 1 показывает, таким образом, что поверхность жидкости внутри угла з, < О < < О, — е, покрыта двумя семействами волн: продольными и поперечными. Гребни продольных волн, выходя из области начала 453 , ;!3, ОПИСАНИЕ ВИДА КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН координат, расходятся по области 1 веером и подходят к границам области 1У; гребни же поперечных волн идут от границы области 1У и встречают под прямым углом путь очага давлений.
Схематически расположение гребней продольных и поперечных волн указано на рис. 51 как в первом, так и в четвертом квадранте. Обратимся теперь к рассмотрению волновой поверхности внутри угла О < 0 ~( е,. Уравнение этой поверхности для больших а +сг Ьл Рис. 51. значений ю* дается формулой (25) з 12.
Первый член этого уравнения определяет поперечные волны, рассмотренные выше. Если во втором члене мы перейдем от мы* и У* (Р,) к ы и У (и,), то получим асимптотическую формулу для рассмотренных выше продольных волн. Таким образом, поверхность жидкости внутри угла О < 0 ( е, покрыта, как и внутри угла е, < 0 < О, — е„ поперечными и продольными волнами. Но второй член уравнения (25) 3 12, записанный через параметр ыа и функцию У* (и), дает возможность получить некоторые новые сведения относительно продольных волн. Дадим Л какое-нибудь значение и устремим угол 0 к нулю. Тогда аргумент функции Ф1 равный 4 —,-для малых значений О, будет стремиться к бесконечности при О, стремящемся к нулю, Отсюда следует, что вдоль маленькой дужки окружности 11 колебания поверхности жидкости, возникающие от продольных волн, будут обладать стремя- 454 гл.
Пь пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О ИАлых ВОлнАх щейся к нулю длиной волны. Что же касается амплитуд этих колебаний, то внутри рассматриваемого угла они будут неограниченно увеличиваться при стремлении 9 к нулю, как это вытекает из формулы Х Рс2ясйд О (4+ сссйфэ) с ~ )»свя Э-»Ь ярсс с»' ~ Вместе с тем интересно отметить, что при 9 = О, т. е. вдоль пути очага давлений, Ь имеет конечные значения, определяемые формулой (21) 4 12. Асимптотическая формула (22) з 12 показывает, что вдалеке от очага давлений колебания поверхности жидкости меняются обратно пропорционально корню квадратному из расстояния места наблюдения от очага. Длина же волн вдоль пути очага определяется через скорость его движения по формуле Эри.
Обратимся, наконец, к исследованию волновой поверхности в области 1Ч. Уравнение поверхности жидкости в атой области имеет вид (27) з 12 для больших значений сэ' = дх'/сс. Первое, что можно получить из этого уравнения,— это установить формулу гребней волн в рассматриваемой области; уравнение семейства гребней запишется так: х я сс у' = = — — (4п — 1) —; 1/2 г'6 с целое число п должно браться достаточно большим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
