Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Если скорости движения сферы меньше чем)Гдй, то продольные волны получают малое развитие по сравнению с волнами поперечными. Эти последние волны наблюдаются и при небольшом удалении от точки О, причем они выходят за пределы угла в 38'56'. На рис. 53, а изображены для с = Ч8 ~'дй сечения волновой поверхности различными плоскостями, проходящими через вертикаль точки О. Следы этих сечений на плоскости з = 0 показаны на рис. 53, б; эти следы наклонены к положительной части оси Ох под углами: А Амплитуды волн наиболее развиты вдоль центральной линии А и уменьшаются при повороте сечения к г'.
Отметим, что на рис. 53, б линия В совпадает с линией С. Если же с)~/дй, то вдалеке от точки О большое развитие получают продольные волны по сравнению с поперечными. Амплитуды продольных волн приобретают наибольшие значения 472 ГЛ. Пв ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ в точках двух прямых, наклоненных под углами к положительной части оси Ох. ж )г о) Ж' УГ Ю 4 д в) Рнс.
53. На рис. 53, в, построенном для с = 1) 2дЬ, показаны сечения волновой поверхности теми же плоскостями, как и для предыду- ~ 1в. движвник секты под новкгхностью жидкости 479 щего случая. Но так как вдоль плоскостей Р, Е, В возвышения ничтожно малы, то изображены лишь сечения плоскостями А, В, С. Наиболыпими амплитудами обладает кривая В, отвечающая углу в 18'26', угол же (1) равен адесь 16'42'. Виглей, пользуясь числовыми расчетами Хзвелока, построил две диаграммы, указывающие распределение горизонталей поверхности жидкости [204) (рис.
54 и рис. 55). Рис. 54. Рис. 55. Найдем теперь волновое сопротивление сферы. Так как потенциал скоростей двил'ения жидкости находится в данном случае с помощью потенциала скоростей диполя, движущегося под поверхностью жидкости, то при составлении формулы (8) 5 16 надо воспользоваться формулами (1) и (2) $ 17 для Р (9) и (7 (9). Как было указано выше, двойное интегрирование по Я надо устранить и заменить )г (х„у„г,) ИЯчерез 2яазс, приняв 1 = — 1, т=О, я=О. При этих условиях будем иметь юз Р(0) = О, ~(0) = — — вес40е 'с откуда — — Яем в ыь Рв(0) + ~з(9) = —, вес'9е 474 гл. пг.
НРОстРАнстВВннАя зАЛАчА О мАлых ВОлнАх Применяя формулу (8) $ 16, находим волновое сопротивление сферы: мо мо 2яРаоуо ~ о 6 „ооо'о (6 (2) со а)о Преобразовывая подынтегральную функцию подстановкой Ь = = $8 О, можно выразить величину Х через функции Макдональда [204'] СО Ко (и) = ~ е-ась ой~ о 0 Кг(и) = ~с)гуе-ао"оба о и получить следующее выражение волнового сопротивления: = — ""." ~ ( — '..")+(+ —...) (4)1""" 5 19.
О волновом сопротивлении эллипсоида Рассмотрим теперь движение трехосного эллипсоида. Изменяя несколько название осей координат, возьмем вертикальную ось за ось Оу, а две горизонтальные — за оси Ох и Ог. Напишем в этих координатах уравнение эллипсоида: —, + у + —, = 1 (а,> Ь ) с). (1) С» аЬо Г 4 о7Ь <р= — — их ~ — —, 2 — ао Оао+Ь а ' где 7. — эллиптическая координата точки (х, у, г) по отнопгению к системе софокусных поверхностей второго порядка хо уо ао ао+ Е Ьо+ б со+ д — + — + —.
= 1. (2) Числа Л, со„ р„ уо даются формулами ' 1( + () а ' Р' ' 1(ь + г) а ' о о О уз = ~ ~, йо = (а'+~)(Ьо+ ~)(со+ ~). о Допустим, что глубина погружения центра эллипсоида есть Ь, а скорость поступательного движения есть и в направлении отрицательной стороны оси Ох. Потенциал абсолютных скоростей частиц жидкости, обусловленных движением эллипсоида в неограниченной жидкости, пишется так: 2 29. О ВОЛНОВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА 475 Нетрудно видеть, что су есть частная производная по переменному х от функции У, изображающей внешний ньютоновский потенциал эллипсоида однородной плотности 2 и 6= — —; 2я 2 — а,' имеем ар+4 Ьр+4 ~'+~1 О Возьмем какой-нибудь эллипсоид семейства (2): хр ур Ы вЂ”,+ — + — =1, а' Ь' с' (3) где а" = а'+ т, Ь" = Ь' + т, с" = ср + т. Внешний потенциал этого эллипсоида некоторой однородной плотности 6 пишется так: с У' = яб'а'Ь'с' ~ ~1, НУ, 1,4; (4) пр ро ур и гр' получаются из сс„р„ур, 22 заменой в них а', Ь', с' на а", Ь", с'2; что касается Х', то это есть положительный корень уравнения х2 у2 2 а' +6' Ь' +б' с' +б' (5) разрешенного относительно переменного О'.
Очевидно, Л' =- = )с — т. Отсюда следует, что выражение (4) потенциала У' может быть переписано так: аЬс 6 Это равенство выражает известную в теории притяжения теорему Маклорена. Найдем из равенства (4) производную функции У' по переменному Х' в точках поверхности эллипсоида (3), т. е. при Х' = О. Пользуясь формулами, выражающими декартовы координаты х, у, 2 через эллиптические координаты Х', р', у', определяемыми с помощью софокусной системы поверхностей (5), имеем дх х ду у дс 2 дх' 2(а 2+2 )' дь' 2(ь 2+2) ' д7с' 2(с'2+М 476 1'л. 1н.
пРОстРАнстВкннАН 3АдАчА О мАлых ВОлнАх Отсюда получаем искомую производную — —, ~ —,) = 7о+ (ао — 7о) — 2+ (Ро — То) —.2 (6) Яб' (,ЭЛ')л. о о Ь" ' Отметим затем формулу для дифференциала дуги линии )л = сопел, у' = сопзг при Л = О; имеем до' = ~ ~",", дЛ'. 22'о'о' Теперь формула (6) перепишется так: )> а о ог хо ° ° уо = 7о + (ао 72) —,2 + (Ро — 7о) —...
° (7) зас'а'еуое'2 'лзе' 1л'=о а' Ь' Заставим число с' стремиться к нулю; в силу этого эллипсоид (3) превратится в фокальный эллипс семейства (5); будем вместе с тем увеличивать плотность б' так, чтобы произведение с'б' стремилось к некоторому конечному числу с. Нетрудно найти, что ((шД>гр'у', сЬ', ао>ро>7о,а'",Ь' ) = е' о х2 у2 у' (а — с ) (Ь вЂ” с)) ~ 1 — — —, У,, дг,0,0,2,а — со,Ь2 — со. Применим к формуле (7) эти предельные значения различных величин, получим (8) Так как эллипсоид (3) обратился теперь в эллиптический диск е, то 2' будет изображать потенциал простого слоя, распределенного на этом диске с поверхностной плотностью хо у2 р= 2О1/ 1— 22 22 Ье 22 Это выражение плотности слоя вытекает из формулы, дающей предельное значение нормальной производной потенциала простого слоя.
Таким обрааом, у' = 2а~~)/ 1 —,~ е го = (х — з)2 + (у — 2))2+ г'. 1 1г, О ВолнОВОм сОпРОтиВлении эллипсоидА 477 Применяя теорему Маклорена, получаем выражение потенциала Ф' эллипсоида (1) через потенциал Г' простого слоя: Потенциал У будет равен потенциалу У', если число о взято равным аЬс а 2я Ъе (аг — сг) (Ье — с') 2 Отсюда вытекает, что ньютоновский потенциал однородного эллипсоида плотности б равен (во внешнем по отношению к эллипсоиду пространстве) ньютоновскому потенциалу простого слоя плотности азс а / Ьг е)ъ р= — 1/ 1 —,, —,, (9) я ~/'(аг съ)(Ьг сг) 2 — ас У аг — сг Ьг — сг ' Итак, аьс и (( Г ~г Чъ еЦде) яЯаь съ)(Ьъ сг)2 — ае.Ц У аг — сг Ьг — еъ с е Отсюда находим потенциал скоростей ър, вызванных движением эллипсоида: д)е аде а 1)е Х да Я )Г(аъ — сг) (Ьъ — сг) 2 — ае Таким образом, действие эллипсоида (1) совпадает с действием системы диполей, распределенных на эллиптическом диске; оси этих диполей параллельны скорости движения эллипсоида, а моменты их равны р, = — 4яр.
Обратимся к вычислению волнового сопротивления; для этого составим функции Р (О) и () (О) 2 17. В рассматриваемом случае имеем 1== — 1, т=-О, п==О, р = — 0; следовательно, ъ е — — «г ае Р(0) = 2„„, С "' Я~)Ъ(ЕЕ, Ч)З!П( —, ЗЕСО)Е са О$1)г) = О, е аъ аъ сг (О) = — 2я, е "' )))ъ($, г)) соз( —,зес 0) е "' ъ)2сьъ). 478 Гл. 1Н. пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых ВОлнАх Чтобы вычислить Ч (9), введем вместо $, Ч новые переменные интегрирования го и О, полагая я = Ь/ав — е' явп ов сов д, е) = )/ Ь' — е' соя эв, сЦ 11Ч = )/ (а' — е') (Ьв — е') я(пв сэ я1п О йэ сед, 0<со<я, 0<6<я, Получим, пользуясь формулой (9), следующее выражение функц д (0): 2еволс яесв8 — —,вес'е .
—, Уь свеев всоси ел е (в(0) = — — е "' ~явпвюеи' Йо Х Я ив 2 — ао о е Х ~яш'д сов( Ев Ь/а' — е'весОЗ1пасояб)Ю. о (10) Делая во внутреннем интеграле замену переменного соя 6 = 2, находим, что этот интеграл равен 11 ( — в "Р' а' — е' вес 0 в1п со) . Отсюда формула (10) запишется так: ел 2еолс весе 8 — —, весе е г — в ев-евсеево сова 1 е с Х 12е'"' 1 ( — у а' — ее яесО'ввпсэ) я1пвсэдсэ. (, ив о (11) Интеграл этой формулы разбиением промелеутка интегрирования на две части точкой с» = я/2 может быть приведен к следующему виду: е(В ~ (Ь' — е')яв яес 9 ~ 1, ( — 'в Ь/ а' — е' яес О я1п ео) х о Х 1 1 (1 яв )/Ьв — е'яес'Осоя со)в(песо 1/~всэдсо.
(12) где 1, (2) — функция Бесселя мнимого аргумента. При этом следует применить такую формулу из теории бесселевых функций: спв 1/ 2 1 1 (1) 1/ 2 1 — 1 (11) 1 мл о волновом сопротивлкнии зллипсоида 479 Применяя к интегралу выражения (12) второй интеграл Сонина (1), [4), приводим зто выражение к такому простому виду: У в ~ Ь )Га~ — оввес 03/1 — рвяесвО) ~I и Г Г2я 1 г— , иусояО в (ав — Ьв) и (1 — рввесвО) и Ьв — ог где р'= Таким образом, двойной интеграл формулы (10) определен, и функция () (О) получает следующее выражение: 2 ф'2ядаЬс яеси Π— —,вес*о о вл ~)(О) =, — е '"' Х „(ав ог)Ч 2 — ао .Т в '( — в в' ав — оввес 0 У1 — рвяесг01 Г г Х (1 — рввесг 0) и Обращаясь к формуле (8) 3 16, находим волновое сопротивление зллипсоида при его поступательном движении вдоль большой оси.
со скоростью и: 32авра авьгсв (2 — ао) (аг ог)во г'ав — свяес О У1 — ргяесв01 гвл — — .*о лО ао савве ' (1 — рв вес'О) Ь Делая здесь замену переменного т = 1я О и принимая обозначение Ьв — ов ~)в ав Ьво получаем формулу Хзвелока (122) 32агра авьвсв (2 — ао)г (ав Ьг)оЬ ф в Ьвр'(1 + )(1 О~в)1 Х (1 Овсе)ч' Эта формула относится к тому случаю, когда а ) Ь ) с. Если же будут иметь место неравенства а ) с ) Ь, то зта формула 430 Гл. 1п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
