Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Таким образом, областью интегрирования 8 в формулах (2) будет прямоугольник, горизонтальная сторона которого есть 1, а вертикальная Ь =- Н/Ь. Следовательно, выбирая начало координат в середине горизонтальной стороны, определим область интегрирования Я в формулах (2) такими неравенствами: ( 1 — —,<х<, й« О. 43з гл 111 пРОстРАнстВеннАЯ 3АдАчА О ъ1Алых ВОлнАх Нринимая эти обозначения, придадим формулам (3) такой вид: о 1ь 1(Л) — 1, ~ е"222(г ~ соз(о2хЛ) о(х, -л з о зз 1(Л) = 1, е1 е"ой ( ( '2 з1п(о2хЛ)11х. дх -л — 'ь Найдем сначала асимптотическую формулу для функции 1 (Л) при больших значениях параметра о2. Рассмотрим интеграл М(Л, г) = ~ ' соз(о2хЛ)йх; з применяя два раза формулу интегрирования по частям, преобра- зовываем выражение функции М (Л, г) к следующему виду: 21В ( 2 22Л) д1 ( 2, 2) д1 ( — г, 2) (...( „,)~"( — ) '"(-2 )~ 1З вЂ” ( Оо.).
до/ (х, 2) — Ч» Возьмем функцию 1 (Л); на основании полученного выражения функции М (Л, г) возможно представить функцию 1 (Л) так: 21я( 2 22Л) д1( 2,2) д1( — 2,2) — л соз ( 2 22Л) до(( 2,2) до(( — 2,2) оогЛ2 1 1 дхг дхо — л о ш — —,, ~ е Иг ~ —., Соз(о2хй)о(х. (5) -л Если мы предположим, что частные производные функции 1' (х, г) до третьего порядка по переменному х ограничены некоторым числом 121, то для всех значений параметра ю и для всех аначений Л з и.
вычислвнив волнового сопготивлвния когавля лает от 1 до оо будут иметь место неравенства о -л о Ев о — ~ е * /Ь ~ — сов (о/ха) /зх ( — е"" вззг ( — . о/5/з ) ) дхз озззз ) ззз -л — а/в — л ' [ (+ ) (-+ )1 дх дх — л (а/(в,а) а/( — в .~)~ о/Р 1 дх ~ дх (а/ ( в, — а) дх а /( —,а) вМ дх дг ~/ дх дг а/(в,-а) */(- в,— )1 АР дх дг + дх дг е-алла с /"/ ( в, ) а / ( —,,)~ дх дгз + дх озз о Ехзлв) з 1 е — л Если предположить, что частные проиаводные по переменным х и з до третьего порядка ограничены, то рассматриваемый интеграл будет иметь порядок оз-з для всех значений ) от /.
до оо. Таким обрааом, функция 1 (Х) может быть представлена так при учете членов порядка аз-'. "(+"")~'/г(' ') '/(-' ')~ Применяя интегрирование по частям, находим для первого инте- грала формулы (5) такое представление: 4З8 ГЛ 1П ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ С помощью аналогичных вычислений находим асимптотнческую формулу для функции Х (Л): — д) ( д! ( д , д) д! ( — д ; д) ~ "'(Л) ~ „1Л1 ( д дх Составим теперь формулу Мичелля. Получим, учитывая лишь члены порядка ел-', д д(((~дд д,д)1 ддд( — 2,д)11( дд 1 д1( 2, О) д! ( — 2, О) соэ ЛдГЛ Примем теперь во внимание формулы и вернемся к начальному определению (2) функции 1(х, з).
После ряда преобразований получим для волнового сопротивления такую асимптотическую формулу: Покажем теперь, что с увеличением числа Фруда волновое сопротивление стремится к нулю. Это положение можно доказать для всех судов мичеллевского типа, но для простоты изложения мы ограничимся рассмотрением лишь тех судов, для которых было определено в этом параграфе волновое сопротивление при малых числах Фруда. Представим формулу Мичелля в таком виде: Х=Х+Хю полагая л, Х, = 4ддл~ 11(Л)+Хл(Л)) 1 Х, = — 'Р1' '( (.(1(Л)+ у (Л)) — '~" —, л гк ВычнслГНИГ ВолнОВОГО ООНРОТНВлгнпк ЛОРАвлн 4ВВ ~1(Х)(~Ьт ~ е"вл*йг = —,(1 — е лл') ( —. — л Совершенно так же гюжно установить неравенство (у())!( — ",",. Отсюда получаем 4уг' 2в.ж Г И Зудгьв ! (вГ1в — ~ ) х,< ' лсг мг ~ гг у'у г лсвевг л, раскладывая выражение в скобках по биному Ньютона, находим следующее неравенство: Х,~4',"'~ +ОД (7) Рассмотрим затем функции 1 () ) и Х (Л), входящие в формулу для Х,.
Придадим выражению функции 7 (Х) следующий вид: а в'в в'в д( Х(Х) = — Л ~ е в"*~Ь ~ — (1 — сов(юх)л)! Нх-(-Ь ~ е"вл*дг ( — бх. дх ду в в -л Последний двойной интеграл равен нулю, так как 1(1!2, г) =х = 1 ( — 1/2, г) = О. Следовательно, о ва 1(Х) = — 2Ь ~ е влт)г ~ — з1пг( — ых))бх. Г д) .г 1 дх 2 — л 1/в Оценим абсолютное значение функции 1 (Х).
Так как синус меньше своего аргумента, то будем иметь, выполняя небольшие преоб« разования, такое неравенство: 0 ! ()в 24 — л где Х., — некоторое вспомогательное число, которое будет определено в дальнейшем. Функции 7 (Х) и У (й) даются формуламп (4). Рассмотрим фупкцкю 1()) для значений ), превышающих л . Для этой фу можно установить следующее неравенство, обозначая через т максимум абсолютной величины производной —; имеем д1, дх' 490 гл Н1 пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых Волньх Для функции с ().) можно найти следующее неравенство: ~У(Л)~( —,"1 ). С помощью этих двух неравенств находим оценку для Х,; имеем (8) Установив неравенства (7) и (8), будем считать, что число ).с ваято равным при неограниченном увеличении с число )в стремится к бесконечности.
При взятом значении Ас неравенство (7) дает следующую оценку величины Х, при болыпих Значениях скорости с: Х ( 4Рсвс(д1) А . (9) я Сввв Обратимся затем к неравенству (8); для больших чисел ) с можно принять, что хв тв 1 с Отсюда неравенство (8) запишется так: или Х„( — Ь'т',, +— 16Я ((дт)"вев1в 54СС ~ ' Это неравенство и неравенство (9) покааывают, что оба слагаемых, иэ которых составлено полное выражение силы Х, стремятся к нулю, когда скорость движения неограниченно увеличивается. Следовательно, волновое сопротивление судов Мичелля стремится к нулю при неограниченном увеличении скорости движения. й 22. Развитие теории Мичелля Основная формула Мичелля для определения волнового сопротивления корабля, идущего по поверхности жидкости бесконечной глубины, может быть обобщена на тот случай, когда бассейн имеет постоянную конечную глубину св.
Для получения формулы, опре- 1 22 РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МИЧЕЛЛЯ где Число у, — положительный корень уравнения у = —,ьйу, ЕА если с ( [1 дА; если же с превосходит )1 ЕА, то число уэ должно быть взято равным нулю. Применяя метод изображений, можно на основании формул, определяющих потенциал скоростей, возникающих при движении корабля по поверхности жидкости конечной или бесконечной глубины, определить волновое сопротивление кораблей Мичелля в канале бесконечной и конечной глубины.
Не приводя соответствующих вычислений, выпишем окончательные формулы [48), [50!. Предположим сначала, что корабль Мичелля идет посередине канала ширины А и бесконечной глубины. Волновое сопротивление корабля определится тогда формулой сэ2 т Х= Ь ~(1о+,7о)+2 5 (12+72) сЫт 1 1=1 (2) в которой постоянные 12 и ув имеют следующие значения: Кг /Ех дх 1[2 lдх 2 З1п ~ — з[1 тх) ~ а2 (А = О, 1,2,...), деляющей волновое сопротивление в этом случае, надо найти сначала потенциал скоростей источника, движущегося с постоянной скоростью под поверхностью жидкости конечной глубины, и затем составить потенциал скоростей простого слоя источников, распределенных надлежащим образом по диаметральной плоскости корабля. Получив выражение этого потенциала, можно затем, пользуясь общей формулой (8) 9 16, найти выражение волнового сопротивления.
Мы не будем приводить вывода соответствующей формулы и запишем ее в окончательном ее виде [48'[, [50'). Имеем (О ' ~~а [ ~2(т)+ у'(у) т ~т (1) свэт' т, у т — Т29ТА С1 492 Рл. Мг. Пуостганстввнная зАЛАчА О мАлых ВолнАх Число ек — положительный корень уравнения 4ясо яЬ2т = — Ь. яь Если канал имеет конечную глубину Ь, то вместо формулы (2) будем иметь такую формулу: Х = ь'~(ХО+Хо)+2Е(Хк+Хк)1 к-к где соя (х ~/ —," кЮ (ткЬ)) дх с(я я1п (х )/ —," Кй (ткЬ)) = — у — 'с)кто(г+ Ь) 1 гра1(,.) (Уе=0,1,2,...), 4леьк'1 к еь Я = (1+ — )с1ккткЬ вЂ” —.
ькт ) ск Число тк — положительный корень уравнения ек 4яоьоьо — ь)ктЬ = тЬ вЂ” — . со хакк 2р е г (г — () етк (хе~(У)+ гк~ (У)1 уеду Х= — ' '1 к -к + и е (е — 1)ет" + 2е У" о еу е,св у' — —. се 16ро е (' е 1е о (у) + е о (у)1 у «(у уе У ' ео Если скорость движения с превосходит 1'еЬ, то т, = 0 и, кроме того, Хо = Хо = О.
В заключение этого параграфа приведем формулы, определяющие волновое сопротивление корабля при возникновении внутренних волн [571. Предположим, что на поверхности бесконечно глубокой жидкости плотности р, находится слой жидкости глубины Ь и плотности ро. Допустим, что корабль Мичелля, осадка которого меньше чем Ь, перемещается со скоростью с. При этих условиях его волновое сопротивление будет определяться формулой 1 22.
Рьзвитин ткоРии мичалля 493 в которой (7)= г=— Р1+ Р2 Р2 РЗ ,(7) „„,.. (, ~" Р7) ет' — дх еЬ, ет(7) в в)п (х )/ — ) ,() „,-.( у'Я) С (7, 2) — дх дв, ~2(7) в1П (х ~Т вЂ” ) С(7,2) = — [(г+1)ет('+ю+2е тм.~ю ( (г ц) -т<,-ь)). 1 4 72 — корень уравнения '†' = Т (7, й), Ю если скорость корабля с меньше чем 7 '" (а,'(7)+ ~, '(7)) (г — 1)ет~+ 2е т~ I 2 ет ам ~/ 7' —— е2 ( — 1)""+9 '" ч/ Втт где йт(7) сов(х ~/~,,) '~)е) а~, ~2(7) в в)п (х ~/ Вт) ~2(7),, сов (х )/ Т~) ет' — е)х 2(в. 2 2 (7) вш (х ~ Т Ц) если яве скорость корабля превосходит эту величину, то 7, = О.
Предполоявим теперь, что судно перемещается в погруженном состоянии, находясь полностью в нижней жидкости. При этом условии волновое сопротивление будет иметь следующее выражение: 494 гл гп пРОстРАнстВеннАя 3АдАчА О мАлых Волнлх Определение волнового сопротивления корабля в переслоенной жидкости конечной глубины было сделано П. Н. Успенским. Полученные формулы имеют достаточно сложный вид, и мы их не приводим здесь, отсылая читателя к работе П.
Н. Успенского [60[. 9 23. Примеры вычисления волнового сопротивления Формулы теории Мичелля были применены к определению волнового сопротивления судов всевозможных обводов с целью выяснить влияние различных особенностей и параметров обвода корпуса корабля на величину испытываемого им сопротивления. Не ставя своей задачей описать многочисленные выполненные в этой области гидродинамики корабля работы, приведем лишь несколько примеров вычисления волнового сопротивления судов простейших обводов *). Рассмотрим судно, поверхность которого определяется уравнением у +В(1+ ')(1 4 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
