Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Мы не будем выписывать уравнение поверхности для произвольных значений координат х, у, а составим это уравнение для мест, достаточно удаленных от начала координат. Для этого обратимся к формуле Применим формулы предыдущего параграфа к определению движения жидкости, вызванного гармоническими колебаниями некоторого погруженного твердого тела. Допустим, что точки поверхности Я твердого тела имеют в направлении нормали к этой поверхности некоторые скорости, малые по своей амплитуде и периодические по времени. Имея выражения амплитудколебания в зависимости от координат точки на поверхности Я, можно найти простой слой источников, распределенных на поверхности Я, который будет создавать такое же движение жидкости, какое получается при колебательных движениях поверхности тела.
Определение плотности простого слоя через заданные нормальные скорости точек поверхности требует решения интегрального уравнения внешней задачи Неймана. В дальнейшем мы будем предполагать, что такое уравнение решено и, следовательно, известен дебит ~ = а (х„уо, го) соя аг о(Я источника, расположенного в точке М (хо, у„го) поверхности Я. Потенциал скоростей этого источника найдется применением формул (9), (8) и (7) я 25; будем иметь дляэтогоиотенциалатакое выражение: 666 ГЛ. Пк ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ ('14) т 25 и проинтегрируем ее по поверхности о, получим бг гг 2д ГГ / бъг 1 бЯ Ь = — г1,г — ~ ъъ(х, у г )е'**'е сов~ — — аг — — л) —. (2) )' г Преобразуем зту формулу, вводя вместо г новые величины Н, ъ, а, показанные на 'рис. 61, и найдемвыражение ь вдалеке от начала коор- ЪЪ динат.
Имеем к У г Гх,,ъ ъ г= В ~/ 1+( — ) — 2 — сова. (3) б Представим тригонометрический множитель формулы (2) в таком виде: жУЪ I бгг 1 соя ( — — О1 — — л~ = 4 х' бъг I 1 = сов — сов ~о1 + — л)+ 4 Рвс. 61. + яш — ' яш ~ог -)- — л). (4) е ~ 4 Подставим сюда вместо г его выражение (3) и разложим результат в ряд по степеням отношения ъ/ът'. Предполагая, что расстояние Л вначительно больше любого расстояния 1, будем иметь такие формулы, учитывающие лишь первые члены разложений: бъг l бгп би сов — = сов ~ — — — соя а) + .
° ., е ( в в бгг г бъД бг1 я1п — = яш ( — — — сов а) + ... 0 к в Отсюда формула (4) может быть записана так: / бгг 1 ~ т бел 1 ъ т бъ1 сов ~ — — о1 — — л) = сов ~ — — ог — — л) сов ~ — сова) + ~ х Г бЪН + я1п ~ — — ог — — л) яш ( — сов а) . ~ в 4')(,д Далее моъкно написать, что 1 = ==+ его Эти две формулы позволяют написать уравнение поверхности в следующем виде для значений Л, больших по сравнению с максимальным значением 1 в области интегрирования: бг Г / бъЛ 1 ~Ръсоя~ — — О1 — — л) ъ- Е уг~д~д 'с 'ъ е 4 / бгн 1 + Рз вш ~ — — аг — — л)1.
(5) я 4 1 20. кОлеБАния телА под повеэхностью жидкости воэ Здесь приняты такие обозначения: ап Р1 = ~~ д (х„ую г,) е""асов ( — сов а) с(о, ~ ап Рз = ~~ д (хю Ую за) е""в в1п ( — сов а) Ыо'. (6) Введем комплексную функцию Р по формуле и — ы,— т соя а) Р = Р1 — 1Рв = ~~ Ч (хо уо, за) е е Обозначим через б угол между осью Ох и радиусом Л, идущим в точку (х, у); принимая это обозначение, будем иметь х = Л сов д, у = Л в1п б, 1 сова = хз сов д + ув в1п д. Отсюда введенная выше функция Р запишется так: м — Оэ — 1ха ам з — 1уа ме д) ~~у(хюуо за)е е в Теперь уравнение (5) поверхности жидкости мо1кет быть записано короче: в (8) Пользуясь формулами (10) и (11) в 25 и формулой (1), находим для больших значений Л выражение потенциала скоростей, отвечающего волнам (5): 1 Ф = — е"*'е ~ ~Р, в1п ~~ — — ое — — я)— т ази 1 — Р,сов ~ — — о1 — — я)~.
(9) 4 При своем колебании твердое тело излучает в окружающую его жидкость механическую энергию, которая проявляется в виде движений частиц жидкости и поверхностных волн, уходящих в бесконечность. Поставим задачу определить мощность, излучаемую твердым телом. С этой целью рассмотрим вертикальный круглый цилиндр С большого радиуса поперечного сечения, содержащий внутри себя колеблющееся тело. Найдем количество энергии, уходящей через поверхность этого цилиндра в бесконечность в течение одного периода колебания тела.
Эта энергия будет равна работе сил давления, приложенных к жидкости в точках поверх- 510 гл. 1п, пРОстРАнстВеннАя ЗАДАЧА О НАчых волнАх ности С, сложенной с потоком механической энергии, проходящей через поверхность цилиндра; все величины относятся к периоду колебания тела. Для подсчета работы сил давления возьмем интеграл Бернулли р дСЭ 1 — = — — — У вЂ” дг.
р дс 2 Пользуясь формулами настоящего параграфа, находим выражения отдельных слагаемых этого интеграла: дФ со,, Г /оОЛ 1 — емпе сс соэ ОС,с) + дс у2 Л I соЛ 1 + Хсо ЭШ ~ — — СС вЂ” — ЛЧ, 4 )1' дЛ Е ~/'2ЯЕЛ 'ь с 1, д 4 ссЛ 1 +.Оо зш ~ — — сс — — л)1. ~ а 4 В каждой из этих формул выписаны лишь наиболее значительные слагаемые при большом Л.
Составим на основе этих формул выражение давления, причем ограничимся указанием лишь самых больших слагаемых при Л весьма большом. Получим ЕыоСЕ ~Д СОЗ ПС Л) Р "г''2деЛ ~ ~ К 4 I с"Л 1 + Бозш~ — — ос — — л)1 — ег. ~ е 4 Найдем работу сил давления, приложенных к жидкости в точках поверхности цилиндра С. Имеем о оп Так как мы имеем в виду найти энергию, передаваемую за один период колебания, то рассчитаем величину произведения за один период колебания, т.
е. найдем интеграл о а олм о о ~ соЛ 1 оэо + сс З1пС вЂ” — ОС вЂ” — лд й = ~ ео'**'е~.0 ~о. 2 26. колевАния телА под повеэхностью жидкости зн Формула (11) дает теперь следугощее значение для работы сил давления за один период колебания: о о« 2« Ыз ~ — ео"хм ( Р )о В сЮ = — ~ ! Р )о дб. 2д~В 4д — о о Из двух последних формул (10) следует, что поток механической энергии через поверхность С равен нулю за период колебания тела.
Таким образом, за период колебания тела от него уходит в бесконечность энергия, равная величине (12). Следовательно, мощность Иг, излучаемая телом и отнесенная к единице времени, будет И = — "( (Р(оА0. 8яд (18) где 9 — угол между осью 02 и радиусом-вектором Л, идущим из центра сферы в произвольную точку пространства.
Не представляет труда найти, что дебит источников, распределенных на поверхности сферы и образующих потенциал скоростей (14), будет з д = — оАсоз9. 2 Найдем по формуле (7) функцию,Р. Подставляя в зту формулу вместо д его значение, получаем «1 з гг — (хх-4«а ооо о-«ое «1« о) Р = — оА ~~ сов 9 е з 'в~ о Помимо формулы (13), определяющей излучаемую мощность, мож- но установить формулы для сил, действующих со стороны жидко- сти на тело при его колебаниях [18).
Применим полученную формулу к рассмотрению двух задач. Предположим сначала, что сфера радиуса а, центр которой нахо- дится на глубине Ь под поверхностью жидкости, совершает в вер- тикальном направлении гармонические колебания, максималь- ная амплитуда которых есть А. Найдем мощность, излучаемую сферой при этих колебаниях.
Будем предполагать, что для определения величины Р можно де- бит источников д, распределенных по поверхности сферы, нахо- дить по условиям движения сферы в безграничной жидкости, т. е. принять постулат Лэма. Потенциал скоростей такого движения сферы будет ~р = — а оА —,созаг, 1 о сов О (14) 512 гл. н!. пРостРлнствиннля злдлчл о мллых Волнлх соз 6 = у — косинус угла внешней нормали к поверхности сферы Я в точке (хсв у„го) с осью Ог: вв З Гà — (вв — вхв сов о — (ув в(о о) В = — оА~~уее 2 Яз Применим к этому интегралу формулу Остроградского, получим Ф В = — А~Я ее ат, (15) т где Т вЂ” объем сферы Я.
Введем сферическую систему координат с началом в центре сферы и обозначим через г полярный радиус, а через И(е элемент площади сферы Я„радиуса г с центром в центре сферы Я. Ото(ода формула (15) может быть преобразована к такому виду: Зав Г Гà — (вв — (хв сов о — (ув в(о а) в2ю. 2е Подынтегральная функция о' — (хв — (хо сов  — (ув в(о О) ее удовлетворяет уравнению Лапласа; следогательно, внутренний двойной интеграл будет равен, согласно теореме о среднем значении гармонических функций, значению этой функции в центре сферы Я„, умноженному на 4пг'. Таким образом, будем иметь а Зов Р— — 4пе- е~г ((г, о о или окончательно ава' — л .О = ЯяА — е-ал'е К Найдем теперь по формуле (13) излучаему(о сферой мощность; получим Дх — пвр 4в ( '! ) е-вв".лю Выпишем в заключение уравнение волновой поверхности в ее удаленных частях. Применяя формулу (8), находим, что поверхность жидкости представляет собою сене((ство кольцевых волн, расходящихся в бесконечность: авав / 2я,,л( У авЯ 1 — — Ае-""е соз (( — — о( — — я) д)в '( е 4 ~ гв.
колввания тнлл под поввгхностью жидкости 513 Рассмотрим теперь образование волн вращающейся деформированной сферой. Допустим, что поверхность, определяемая в сферических координатах с полюсом в точке (О, О,— Ь) уравнением г=а+1, (16) вращается равномерно со скоростью ю вокруг вертикальной прямой, проходящей через точку (О, О, — й). Найдем уравнение образующихся волн и величину излучаемой мощности. Будем предполагать, что 1 — некоторая заданная функция двух угловых координат 0 и т, связанных с вращающейся поверхностью. Будем предполагать, что 1 (О, т) и ее частные производные первого порядка суть величины малые; в таком случае уравнение (16) будет определять деформированную сферическую поверхность. По отношению к системе осей координат, связанных с вращающейся поверхностью (16), движение жидкости будет установившимся. Потенциал скоростей абсолютного движения жидкости, записанный во вращающейся системе координат, должен удовлетворять условию обтекания поверхности (16).
Определив угловые коэффициенты нормали к поверхности (16), можно составить это условие; оно запишется так: (17) Искомый потенциал скоростей представим в виде потенциала простого слоя источников, распределенных на поверхности сферы г=ш Мы ограничимся разбором одного частного случая, предполагая, что функция 1 (О, у) имеет следующий вид; 1 = АР',,"~ ()г) соз пт, где Р'„"~ (р) — присоединенная функция Лежандра от аргумента )г = соз 0; имеем Р. (р)-(1-р) ш>, ~"р. (р) Ир где Р„()г) — функция Лежандра первого рода и-го порядка. Ис- комая функция д будет иметь следующий вид: ~ =- ОРТ (р) гв Х, где Г) — неизвестное постоянное число, которое должно определиться из условия (17) Функция ~р, соответствующая взятой 17 л.
н. Сретенская 514 гл. 1п. пРОстРАнстВеннАя зАдАчА О мАлых ВОлнАх функции д, записывается так: р= —. (18) Условие (17) дает выражение Ч через известный коэффициент А: Следовательно, плотность простого слоя будет д = —, пезАР„()ь) я1п пт, 2п+ 1 1п1 и+1 Перепишем это выражение функции д, вводя вместо угла 11 угол ф, измеряемый от неподвижной оси Ох; имеем у = ф — в1. По- лучим д = ОА)я1ппфсояа1+ соя пф соя')а (1 + — ф Р~„"'(р), (19) (1 — — ) хя + (1 + — ) уя + зя = ая. Рассмотрим сначала колебательное движение, определяемоо функцией д, = — 'аАР,' (р) я1п 21(в которую представим так: д„= 5ОА я1п' 0 я1п 2ф Функция 17, отвечающая зной функции ан пишется так: — 1пе — ме с 03 з — Шф В1п з1 77 = 5ОА))я1ВЯОЗ1В2~Ре' дЯ. я Этот двойной интеграл мол<ет быть вычислен применением формулы Остроградского и использованием теоремы о среднем значении где а = па.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
