Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Отметим теперь, что в силу этого последнего равенства и равенств (18) уравнение (17) запишется так: А +А =( 1В соз 2вва — 1 —, звп 2та) (Аов — А„,,) (т =1, 2, 3,...). (19) Выясним теперь вопрос, до какого предела может изменяться индекс т и сколько, следовательно, будут иметь функций взятые 4 а Волны В БАссейне с ЕАклонным дном 4оз две последовательности уа (у, 2), уг (у, г), ..., )(„, (У, 2), 24 (У1 2) хг (У~ 2), ° ° ° Кпв (У~ 2)1 Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим показатель степени у функции т (у, 2) для значений у и г, принадлежащих бассейну. Положим у=ссояО, г=сюпО, — и~(О~(0; получим — к [(~ + — ) у + ( (~ — —.) 2] = — Ь !(1 + — ) я(п(Π— 2алг)+ ((1 — — ) соя(Π— 24пп)1.
Показатель степени у функции т,а (у, 2) мол4ет быть преобразован к такому виду: -"!(-'+=') -'(-'- — ') 1= ~( 11 .( 4~ = — — Ь ((1+ — ) яш(О+ 2ащ) — г(1 — — ) соя(О+ 2ан4)1. 4/ Потребуем теперь, чтобы функции у (у, г) и ~4 (у, 2) были ограничены во всем бассейне; это требование приводит к выполнению двух неравенств: я1п (Π— 2ит) ( О, я4п (О + 2ит) ) 0 для всех значений О от — и до О. Рассмотрение этих неравенств показывает, что целое число т не должно превосходить д — 1!2, т. е. самое большое допустимое значение и равно д — 1. Однако же взятые последовательности функций у (у, 2) и )( (у, 2) не могут состоять: первая из дфункций, а вторая из д — 1 функций, потому что необходимость удовлетворять условию (3) влечет за собой необходимость присоединения к функции ~44, (У, 2) пеРвой последовательности фУнкЦии т (У, 2) втоРой последовательности, а эта последняя функция неограниченно растет при удалении в бесконечность внутри бассейна.
Чтобы выйти из этого затруднения, необходимо рассмотреть отдельно два случая. Угол и может быть или нечетной долей 90', или же четной долей 90', 1) а= —, д=2р+1; 2) а - —, у=22. 2т ' 2д ' Покажем, что в первом случае функция ур (у, г) дает возможность удовлетворить условию (3) без привлечения функции )(ры (у, г). 404 гл гп пРОстРАнстВиннАя зАдАчА О мАлых ВОлнАх Таким образом, первая последовательность будет состоять иа р + + 1 функций, а вторая — из р функций.
Возьмем функцию Хр (у, г); имеем Хр(у г) = Арехр) 2 " ~(Ь+ ~ ) у+'(Ь вЂ” ь )г]) где = — Ве Р.г«' = — 1еы. р Следовательно, Хр(у, г) = Ар ехр( — — й )((е"'+ — ) у+1(1еач — — ) г1). Отсюда получаем после небольших преобразований левую часть условия (3): дХ р дХ р 3 1т - — "(! — ) 1 / т т — в)п а + — сов а — — йАр ~1 — — ) е ~/ ду дг 2 ~ 1) Предположим теперь, что коэффициент Ар выбран так, что Ар, находимый из решения системы уравнений (19), получает действительное значение. Больше того, будем рассматривать не функции Х (у, г), Х (у, г), которые удовлетворяли граничным условиям (2) и (3), а лишь их действительные составляющие, т.
е. функции <ра (у, г), ~р, (у, г), ..., ~рр (у, г), <р, (у, г), ..., ~рр (у, г), представимые формулами (4) для чисел Ь, даваемых формулами (16) и (18). При таком соглашении функция ~ур (У, г) = Ве Хр (У, г) будет удовлетворять условию (3) без привлечения функции ~р„+, (у, г). Отсюда следует, что функция г" (у, г), определяемая следующей конечной суммой, будет удовлетворять граничным условиям заДачи ДЛЯ а = 2(2р+Ц р р г" (у, г) = Ве ~ А Х (у, г)+ Ве ~~ А,„1Х'„,(у, г). (20) Таким образом, потенциал скоростей стоячих колебаний в рассматриваемом бассейне запишется так: Ф (х, у, г; 1) = г" (у, г) сов йх сов ог, 1 З. ВОЛНЫ В ВАССБИНВ С НАКЛОННЫМ ДНОМ 405 и соответствующее возвышение поверхности жидкости будет 2 = — — Г(у, 0)созйзз1па1. Ю Отметим в заключение выражение коэффициентов А; решая систему уравнений (19), получаем Кт+1 Кз+1 Км+1 А (23) К1 1 Кз 1 Км 1 где .Р— 1 Кз = соз21а — 1 + з1п21а (! = 1,2,..., р).
Коэффициент Ар получает действительное значение А, если А, придано следующее значение: К1 — 1 Кз — 1 К1+1 Кз+1 Предположим теперь, что и а а= — =— 2д 4г В этом слУчае всю последовательность фУнкций Хм (У, з), Х (У, з) приведем к 2з функциям: хо(у з) х1(у з) ", х-1(у,з) х,(у,з), ..., х,,(у,з), х,(у,з), и покажем, что действительная часть функции х, (у, з) будет удовлетворять условию (2) без присоединения функции х,(у, з), но при определенном выборе коэффициента А,. Имеем ~' = — г, Отсюда Х.'(у, з) = А' р~ — —,й [((+ —,) у+1(1 — —,)зД. Составим для функции Х, (у, з) левую часть условия (2).
Получим у — ' — О'Х,' = — — [(1 + —,) + 1(1 — —,)1уяА;е ' Предположим, что коэффициент Аэ выбран так, что [(~ + — ) + 1(1 — — )1 А; есть число чисто мнимое: В1. В таком случае действительная часть 4оз ГЛ. 111. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ функции ке у, (у, г) = 1р, (у, г) будет удовлетворять граничному условию (2). Отсюда вытекает, что функция Р (у, г), составленная по формуле Р(у, г) = Ке ~ А''у (у, г)+ Ве ~ А тт~,(у, г), (24) тих=О будет определять потенциал скоростей Ф (х, у, г; ~) данной выше формулой (21); соответствующее возвышение поверхности жидкости будет даваться формулой (22). Коэффициенты А, входящие в формулу (24), имеют прежнее выражение (23), но начальный коэффициент А, будет определяться из равенства С(1 1) (1+ ~)1,"+~ ~+~ ",— +' ,А В (25) В предыдущем исследовании были определены стоячие волны в бассейне с наклонным дном.
Применяя обычный прием, можно получить Рз этих волн установившиеся волны и прогрессивные волны, распространяющиеся параллельно береговой черте. Потенциал скоростей, отвечающий прогрессивным волнам, запишется так: Ф (х, у, г; 1) = Р (у, г) соз ()сх +. О1), причем функция Р (у, г) определяется формулой (20) или формулой (24) в зависимости от величины угла а. Скорость распространения прогрессивной волны вдоль оси Ох будет определяться формулой С= ОПС; принимая во внимание формулу (7), находим другое выражение для скорости: (26) Составим функцию тз (у, г), получим — 'а (1~.— ', )с — — 11 (1- ', )р Хо (у г) = Аос ' Отсюда часть полного значения возвышения поверхности жидкости, возника1ощая лишь от функции )(,(у, г), будет равна ~ — Аасоз ~ — 7с (1 — -) у~в(п(йх~п1), Назовем длиной волны в направления, перпендикулярном к а О.
ВОЛКИ У НАКЛОННОГО ДПА. ВгаггоРОВЫЕ ВОЛНЪ| СТОКСА '|О7 береговой черте, величину 2к 2 ( Т) Длина волны, измеряемая вдоль береговой черты, есть Х = 2кй. Отсюда получаем — ф' )„а+ )„а Отметим затем, что частота колебаний стоячих волн, даваемая формулой (7), получает следующее выражение: $ 6. Простейшие примеры волн у наклонного дна. Береговые волны Стокса Дадим явное выражение аготенциала скоростей для двух значений угла. Предположим сначала, что дно бассейна наклонено к горизонту под углом а = 45'. Б этом случае число г = а и для составления потенциала скоростей имеем следующие значения параметра ь: 1о = Отсюда получаем — )г — — а ([ — — )у е — а (~+ )(о (у, г) = Аое' — 'а(а- )(а (у, г) = Аое' Ма — — а (е+ )у Далее, 7а К,= — а— )а+1 ' применяя формулу (25) 2 5, получаем А = —,~ ~(( — — ) — ~((+ — )1В. дту формулу можно представить в более простом виде, меняя *) Ср.
с формулой (5) $ 3. и формула (26) для скорости прогрессивной ааолны перепишется так о): е'= — ' ~ $~)а+Л'. 2к Аа 4О8 ГЛ. П1. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ значение действнтельного числа В; получим Предположим теперь, что угол са == 30'. В этом случае будем иметь 1 3Ф вЂ” — аа ьа = — И. ьг= — Ие ' = — 1е ' д=з, р=~, — 'а(1~ — ', )* — — 'а(1- — ', )а та(у,г)=А,е ' е к а П вЂ” — 1 л — — 1 21(у, г) = Агехр~ — — й [(Хе ' + 1 )у+ К ((е — 1 Н )(1(у, г) = Ааехр~ — 3 Й[(1е + 1 )У вЂ” 1((е — 1 )г1).
Далее, К.= — ', (( — У3 — "„',) 1а А = (а+И)А; 1а+ 1 1+ 1 г 3 Аа= 3 — 1 УЗ здесь А — действительное число, равное А,. Выполненные вычисления дают возможность написать по формуле (20) 3 5 выражение потенциала скоростей. Ограничимся лишь А.=[(1--1)- ((+ )1В (2) Составим теперь формулу (24) г 5. Пользуясь формулами (1) и (2), находим Р (у, г) =- В ~(1 — —,) сов [ — й (1 — —,) у1— — (1 + 1 ) в1п [ — Й (( — — ) У) е + В ~(( — — ) Х Х сов [ — й (1 — —,) г1+ (1 + — ) в1п [ — й (1 — — ) г$~е Отсюда уравнение волновой поверхности будет 1, — — 'а(1+ — 1)а 2 =~ — ' ВЫ(й~~~))(1 — — ).
' + (( — — ) сев [ — Й ~1 — — ) у1 — (1+ 1) в1в[3 Й (а — — ) у1) . (3) ! с. ВОлны у нАклонного днА. ВегегОВые Волны стоксА 499 составлением уравнения прогрессивной волны. Имеем г'и Я =+. — з!Е(йх+ О!))(а+(а+1) е ' ( ') ] х Х соз~ — й (! — — ) у1 +5~1 — е ~ ( !) 1з!п~ — е(( — — ) у). (4) Отметим, что величины 1 — 1!'! и ! + 1!!, входящие во все предыдущие формулы и в формулы (3) и (4), могут быть выражены через Ои И й: К найденным частным решениям задачи о волнах над наклонным дном при угле а = я!(2д) может быть присоединено одно простое частное решение, пригодное для любых значений угла а.
Такое решение получается из рассмотрения левой части граничного условия (3) 9 5. Найдем такую функцию !р (у, з), которая являлась бы интегралом уравнения в частных производных первого порядка: — з!на+ — сова = О. д!и . д!и ду дг Общий интеграл этого уравнения запишется так: ~р = ~ (з з!и а — у соз а). Произвольная функция г сложного аргумента и = з з(п а — у сова определится подстановкой в уравнение (1) 9 5. Функция ~ (и) будет интегралом уравнения ЕЧ Я вЂ” йз1 = О. ди"- Интеграл этого уравнения, ограниченный в бесконечности, запишется так: 1 — СЕи а в!п а-у иаз а! Условие (2) $5 будет удовлетворяться, если будет существовать равенство о' = уй зйт а, Таким образом, по поверхности бассейна, дно которого наклонено к горизонту под произвольным углом а, будет распространяться волна, характеризуемая потенциалом скоростей Ф вЂ” С СОЗ (ЬХ 'О!) Ей(а и!и а-У иав а! 420 гл.
гп. пРОстРАнстВеннАя зАЛАЯА О мАлых ВОлнАх Уравнение этой волны запишется так: т. = о з1п(ьх — О~)е-засова Найденная волна носит название береговой волны, так как вертикальные отклонения точек ее поверхности от горизонтального не- возмущенного уровня имеют заметные значения лишь у береговой черты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
