Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 88
Текст из файла (страница 88)
0+ )/'е ,— Уез с -+ [,75 (Й, О) + Я-з ([с, О)) с[0. г, 1 Заметим теперь, что зУесс с еззссссзв с [зуз(й О) + Я'(Ус, О)) с[0 = Ас О+Уев ,сУзос ", зм -. ' Ро(К О)+ У'(й ОИ "0' Ассозз — [с Ф Возьмем внутренний интеграл втой формулы, будем обозначать его через Я. Заменяя в нем 5 (!) через с! при с постоянном, подставим в него вместо функции Бесселя интеграл (11) 9 10. Получим 596 гл. 1ч. Иеустхнозившиеся ВОлнОВые дВижения Следовательно, Ю я В)П (ве СОВ О + ГГХЕ) 1 ср1 дс 1 ~ йссовз+Угдй вво( гсов — в )11(ув(й О) ~ еч.в() О)) 3О (5) В этой формуле ,7(й, О) = ))вр(х, г)ев'сов(йхсовО)дхс)г, Я.(й, О) = ))вр(х, г)е"' в1п(йхсовО) Ох1)г.
Формула (5) была получена Хэвелоком (125). б 12. 0 волнах, поднимаемых кораблем при движении по круговому пути [531 Метод, примененный лордом Кельвином для определения вида волн, остающихся за кораблем, движущимся равномерно и прямолинейно, может быть использован и для исследования волновых систем, поднимаемых кораблем при его равномерном движении по круговому пути. Метод Кельвина дает возмонсностьохарактеризовать в общих чертах систему волн, остающихся далеко за движущимся кораблем.
В основе этого метода лежит замена действия корабля иа воду действием сосредоточенных ударных давлений, перемещающихся вдоль поверхности жидкости по пути корабля. Если в момент времени 1 = О к поверхности бесконечно глубокой тяжелой жидкости приложен в начале координат импульс давлений, то уравнение поверхности жидкости в момент времени 1 запишется так (см. 9 3): ,сз в)п —, (1) 8 ргйяргв 4г где г — расстояние рассматриваемой точки поверхности жидкости от центра импульса (53). Эта формула имеет место для больших значений величины дгв / (2г). Формула (1) и была положена Кельвином в основу его исследования.
Для решения своей задачи мы воспользуемся также формулой (1). Предположим, что концентрированный импульс давлений перемещается по поверхности бесконечно глубокой жидкости, описывая с постоянной угловой скоростью Я окружность радиуса а; 51г. волны пэи движкнии коэьвля по квтговомт пити 597 этот импульс начал свое движение при ~ = — со. Найдем систему волн на поверхности жидкости в какой-нибудь момент времени; за этот момент времени мы можем взять начальный момент ~ =- О.
Из формулы (1) следует, что в начальный момент времени фаза колебания з, определяемого этой формулой и вызванного импульсом, который был приложен в момент времени за 7 сея до начального, будет равна 1 дн я = — вя+ —. 4г (2) — — =О, (3) откуда имеем г == 2г/7. Из рис. 67 легко получить следующее соотношение: дг = ай соя О д~. (4) При выводе соотношения следует помнить, что 7 надо рассматривать как то положительное количество секунд, которое следует затратить точке (> для достижения точки 1 при движении с угловой скоростью Й.
Из формул (3) и (4) имеем аО. сояО = —. 2г с Из рис. 67 следует (б) г соя О = Л я1п (~р — сс), (6) г' = ая + тт' — 2аЛ соя (~р — а). Возьмем какую-нибудь точку ЛХ поверхности жидкости и поставим задачу: найти такие положения центра импульса, для которых величих гг на е приобретает в точке ЛХ стационар- у ное значение.
Для решения этой за- Г' дачи введем систему осей координат, Ы принимая за плоскость хОу средний р уровень жидкости, ось Ох проведем из Ю центра пути импульса через положе- У ние центра импульса в момент времени ~ = — О, ось Оу проведем перпендикулярно к оси Ох (рис. 67). Примем все обозначения рис. 67. Рис. 6?. Величина з должна иметь стационарное значение при малых изменениях в положении точки О центра импульса; отсюда получаем следующее условие: гл. гч. ИеустАновившиеся ВОлнОВые дВижения 598 Заметим, кроме того, что <р = й1.
Формулы (6) дают возможность найти по данным и и Л величины !р и О. Пользуясь формулами (6), можем преобразовать уравнение (5) к следующему виду: — а<рЛ я(в (<р — а) = а' + Л' — 2аЛ соя(ср — а). (7) 1 2 Это уравнение при данных а и Л позволяет найти величину !р, т. е. то положение центра импульса, около которого созданные волны дают стационарное значение фазе поднятия уровня я!Идкости в рассматриваемой точке М в момент времени ! = О. Откладывая изучение уравнения (7), представим формулы (6) в ином виде, переходя от полярных координат точки М к декартовым ее координатам х и у по формулам х=-Лсояа, у=Леша. Вместо (6) получаем такие формулы: х я!н ~р — у соя !р = г соя О, (х — асов !р)е + (у — а яш ~р)е = г'.
(8) Но из формул (2) и (5) имеем г = арср, г = 2 аср сояб, е 1 (9) где 1 а 1 Р= —— ((о) 4 а12е ! е — — я 2 Из формулы (2) видно, что фаза з больше я/2; отсюда следует, что число р положительное. Теперь уравнения (8) могут быть переписаны так: х я1н !р — у соя !р = 2аре!ре, (!!) (х — а соз !р)е + (у — а з(н !р)е = зеро!', Полученные уравнения позволяют весьма отчетливо представить форму линий данной фазы поднятия поверхности жидкости. Зададимся числом е; тогда при данном !р уравнения (1!) определят линию фазы е.
Эта линия состоит из точек пересечения окружности и прямой линии (рис. 68). Окружность имеет центр в той точке () пути импульса, которая создает установившуюся фазу в точке М; прямая же параллельна радиусу, соединяющему центр пути импульса с точкой (7. Расстояние этой прямой от точки (7 и радиус окружности — величины переменные. Две точки пересе- я 12. ВОлны пРи дВижкнии ИОРАвля по НРугОВОму пути 599 чения прямой и окружности будут принадлежать кривой данной фазы поднятия жидкости. Эти точки будут действительными при изменении угла ~р от нуля до %= — ° 2р ' а = у 1 -г- —,)1. амбр~ Для полного исследования кривых данной фазы представим координаты их точек в новом виде, по- лагая х = а соя ~р + ар~р' соя (ср — ()), (12) — 6).
Рис. 68. уравнение следующему соотношению между угла- у = а я(п ~р + ар~р' яш (~р Подстановка в первое системы (11) приводит к мипи~р: я1П 6 = 2р~р. (13) Угол 6 изменяется в пределах первой и второй четверти, так как ~р ) О. Применим уравнения (12) прежде всего к выяснению формы рассматриваемой кривой вблизи точки 1. Для малых значений параметра ~р имеем 6 = 2р~р, соя (~р — 6) = соя [(1 — 2р) <р) = 1 — — (1 — 2р)' ср' +..., я1П(~р — д) = (1 — 2р) ~р+...; отсюда — — + — — + — — + Исключая у, получаем х=а+а(р — — ) У, . Предельное значение угла ~р, пользуясь формулой (10), можно переписать так: щ =2( — 1я) При этом крайнем значении ~р две точки встречи линий (11) будут сливаться и их расстояние от точки О будет 600 Рл. сч.
Иеустановившиеся ВОлнОВые дВижения Таким образом, вблизи точки 1 ветвь кривой равной фазы будет параболой с осью Ох. Найдем расположение этой параболы относительно пути импульса. Простое вычисление показывает, что разность значений х, отвечающих одному и тому же значению у параболы и окружности, будет ус ар —,)О, т. е. парабола лежит выше окружности.
При данном ср уравнение (13) имеет, кроме корня 6, найденного выше, еще корень д', равый и — 6. Для этого корня имеем д' = я — д, соя(ср — д') =- — 1 + — (1 + 2р)'ср' + я1п (ср — 6') = — (1 + 2 р) ср + ... Отсюда — =1 — Ьр+ — ~ р'+., — =р+ Исключение параметра ср дает связь между х и у: х= а — а(р+ ~ ~( — ') + .. + рсрх ярп (ср — б) —, а0 аср — — = соя ср+ рср(2 я)п(ср — О) + ~р соя(ср — д)]— ад а сар ад — рср' соя (ср — д) — . ар Из этих двух формул легко получаем следующие два соотношения: ах ау сар — соя(ср — д)+ — я!В(ср — Ь) = О, аф — я)п(ср —.6) — — соя(ср — 6) = Е, ах .
сСЕ аср а<Р (14) Это уравнение изображает параболу, проходящую ниже пути импульса и касающуюся его в точке 1. Таким образом, вблизи точки 1 между ветвями кривой равной фазы содерясится окружность, по которой движется центр импульса. Для полного выяснения формы кривой (12) найдем ее особые точки. С этой целью определим производные х и у по параметру ср. Имеем ссх — — = — яш ср + р~р [2 соя (ср — б) — ср яс и (ср — д) ) + а Йр 1 1в. Волны пРи ЛВиженш1 НОРЛВЛЯ по кРуговому пути 601 где Е = совд+ рср (1 — — ) в/ 2р сов 11 Отсюда видим, во-первых, что радиус переменной окружности, имеющей центр в точке «), нормален к кривой равной фазы в точке М.
Затем, особые точки этой кривой определяются из уравнения Е = совд+ рср'(1 — — ) = О. 2р Заменим в этом уравнении 1р его значением через в1пд по формуле (13), получим сов д + — гйп 6 (1 — ) = О. 1.в / 2Р 4р (, сове Перепишем это уравнение следующим образом, полагая « = — сов д: '! '! '! — «1 2 4р Из графического изображения обеих частей этого уравнения легко найти, что в пределах ( — 1, 1) заключаются два корня этого уравнения: один корень положительный, другой — отрицательный. При изменении р от нуля до оо положительный корень возрастает от нуля до 1/)/ 3, отрицательный же возрастает от — 1 до — 1/)/ 3. Решим предыдущее уравнение относительно р, найдем «(1 — «2) Р = 2(1 — З«в) ' Получив эти результаты, обратимся к уравнениям (12) и найдем по ним координаты особой точки кривой равной фазы.
Укажем предварительно следующую формулу: 1 — 3«в «Р1 — «' Подстановка в уравнения (12) дает нам = — (1 — $)сов + вш 3 , 1 - 3«о (1 3«1) )/ 1 — «в . 1 - 3«в « )/'1 «о 2« «1/1 — «2 (15) — (1 — $в) в)п — . сов 3, . ! — 3«в (! — З«в) )/ ~:«в 1 — 3« «)/~ «о 2 «У" 1 «2 602 Гл. 1у. Иеустхновившиеся ВОлнОВые ЛВижения (16) 1 — ЗГе 1 — ЗР,~ 1+ сз Зй У'1 — Зз 3 )/~ — й При изменении 9 от нуля до 1/)/ 3 радиус-вектор Л уменьшается от оо до а, при изменении $ от — 1 до — 1/)/3 радиус-вектор /7 увеличивается от нуля до а. Из формулы, определяющей амплитуду а, следует 1 — Зг,з 1 — ЗЗРЗз а = — агсВд ~Р1 — 3 З~У1 — З или 1 п=гр — агой 3 Ф, (17) где 1 — 322 й )/1 — $' Рассмотрим изменение величины ~р в зависимости от $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
