Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 91
Текст из файла (страница 91)
е. против направления скорости потока в бесконечности. Для наблюдателя, связанного с потоком жидкости в бесконечности, установившаяся волна переходит в волну прогрессивную, распространяющуюся справа налево, и в этом направлении распространяющейся волне будет сопутствовать найденное выше дополнительное стоксово течение. Это течение называется также приповерхностным, так как его скорость имеет ощутимое значение лишь около поверхности жидкости.
В 9 12 будет дано аналитическое исследование стоксова течения и определена его скорость. Леви-Чивита определил приповерхностное течение для потока жидкости конечной глубины Н42). й 2. Второй метод Стокса Второй метод Стокса для определения волн конечной амплитуды есть по существу дела современный метод решения задач гидро- динамики с помощью конформных отображений Н87'). Найдем этим методом установившее- У ся волновое движение для ятидкости бесконечной глубины *).
Введем систему прямоугольных координат; ось Ор этой системы направим вертикально вверх, проводя ее П через вершину волны;осьОЕ проведем по среднему уровню А жидкости в сторону скорости потока в бесконечности. РасРис. 71. смотрим часть потока между двумя вертикальными прямыми, симметрично расположенными относительно оси Оу и разделенными длиной волны ); эти прямые проходят через низшие точки волны (рис. 71). Допустим, что свободной поверхности жидкости, т.
е. поверхности волны, отвечает нулевое значение *) Установившиеся периодические волповме движения жидкости коиечпой глубины были определены с помощью второго метода Стокса в работе Дз (94]. Предлагаемое здесь автором усовершепствовакие второго метода Стокса путем сведения определекпя волн к решепяю бесконечной системы кубических уравкекий впервые опубликовано в работе (54).
(Прем. рад.) 1 2. ЭТОРОИ МЕТОД СТОКСА 615 функции тока ф, а вершине волны — и нулевое значение потенциала скоростей ф. При отсутствии волн функции ф и ф имели бы следующие значения: ф = — су; ф = — сх, отсюда х = — ф/с, у = — ф/с. Положим, что при наличии волн имеют место следующие соотношения между переменными х, у, ф, ф: 2 Ф а„е э1п( — ф п), 2=2 2м~ а, — ~~1 а„е '~ соз ( — ф и). х= — — — + ф С 2п 2п $= — х 21= — У Х ' Х 2п 2п а= — ф (5= — ф.
СХ ' сХ положим вместе с тем 2п 2п Оо = — — Па„, Юо= — — ао. о= ~ ~ о= В пределах рассматриваемой части потока переменное и будет меняться от — и до и, а переменное р — от О до Оо. В новых Действительные коэффициенты а„а„а„... этих рядов неизвестны. В основу второго метода Стокса положено рассмотрение величин ф, ф как независимых переменных, а величин х, у — как функций этих переменных. Таким образом, Стоке преобразовывает конформно рассматриваемую область волнового потока, заключенную между вертикальными прямыми х = — Ч22„х = — Ч22, и ограниченную сверху неизвестной линией волны, на бесконечную полуленту плоскости комплексного переменного ф + 1ф, 1 1 ограниченную прямыми линиями ф =- — — с)2, ф = — сХ ф =- О.
2 ' 2 При таком отображении неизвестная по форме поверхность волны переходит в ось абсцисс плоскости (ф, ф). Задание зависимости х, у от ф, ф в виде (1) предполагает симметрию потока и волны относительно оси Оу, т. е. вертикали гребня. Введем для краткости вместо переменных х, у, ф, ф соответственно новые переменные $, 2), со, р, полагая ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 616 обозначениях формулы (1) запишутся так: Ч-2 1О„ 6 = — а — У вЂ”" е визг лп, п и=1 (2) Ч-2 Оои ц = 1+юо +,'~ — "е-Зисоз па.
й1 Ось Ох системы координат была проведена по среднему уровню жидкости; в силу этого будем иметь следующее равенство: 112 уо1х = О. -М2 Составим левую часть этого равенства на основании предыдущих разложений, полагая в них Р = О; получим Отсюда следует, что О1о =— 2,у1 и и=1 Возьмем интеграл Бернулли — = С вЂ” ду — — У Р 1 2 Р 2 и применим его к частицам жидкости, лежащим на бесконечной глубине. Для таких частиц имеем Р =Ро УРУ где р, — постоянное атмосферное давление, действующее на поверхность жидкости. Отсюда интеграл Бернулли примет такой вид для рассматриваемых частиц: Ро — 2 — -ду =С-ду Р 2 Следогательно, С= Р" + — с' Р 2 Л(2 1 ~ у) =- —,'„, ~ (ю, + -1~2 —" созпа)($ + ~> оо„созпа)да = и=1 и=1 „2 =- — '.
(- + -'Е+) и=1 1 2. ВТОРОЙ метОд стокса Сгг и интеграл Бернулли запишется так: Р— Р„1 2 р 2 = — (с' — )г2) — уу. Применим это соотношение к точкам свободной поверхности н2идкости; так как вдоль свободной поверхности давление постоянно и равно рв то будем иметь 2ду = с' — )г2.
Это есть основное уравнение нашей задачи. Преобразуем уравнение (4) к новому виду. Для етого введем временно такие обозначения в связи с формулами (1): з=х+1у, и.= <р+ йр, и объединим зги формулы в одной записи: 2 = 1" (в). Отсюда имеем ~, — — )'(н2), но так как !%= то =Ьм 1 Перепишем зту формулу так: (5) Подставим это значение г' в уравнение (4)", выполняя ряд преоб- разований, приводим зто уравнение к такому виду: ( —."'- ИЯ)'+Ж)'1=% (6) — ~ + ~ — ~ = (1+ Во)+ 2(в, + 51)сова+ 2(вз+ Яз)соз2а+...
(") ("~ = ... + 2(в„+Я„)созна+..., (7) Подставим сюда вместо $ и т) их разложения (2), написанные для точек открытой поверхности, т. е. для р = О. Отметим прежде всего такое равенство: Ь 2. ВТОРОЙ МЕТОД СТОКСА 61з — ьь + — -" — (огг+ гг) + + (огг+Ог) + ( . ~, ( ) + (о+ 1О )'(ого+ 8ь) + ( г + гг )(ого+ ~ь) г ... = Г(Яь + агь) -,'— —,ооь, (15) о)о /ооо, оо, г l огг ого г — Оо — Оо'-', ( — '-1- )(об+ Ог) +' — + — )(огг+Оь) + е 2 3) г ог +( — + — )(о)ь-соь) г-(о+ 12 )(ого+86)+' 5 ... = Г(Яь+ ого)+ — ы„(16) В этих уравнениях Г обозначает следующее выражение: (17) Звездочки в скобках поставлены вместо нулей, чтобы сделать на писание уравнений наиболее симметричным.
Составленная система (10) — (16) содержит бесконечное число кубических уравнений относительно неизвестных (18) ого огг ггю агь . К числу неизвестных присоединяется и Г, так как Г содержит с и г, между которыми существует неизвестная еще связь, содерягащая неизвестные (18). Заметим, что к уравнениям (10) — (16) долягно быть добавлено еще уравнение (3). Уравнения (3), (10) — (16) и составляют систему уравнений второго метода Стокса, записанную в симметричном виде.
Будем искать неизвестные (18) в виде рядов, расположенных по степеням некоторого параметра з. В качестве такого параметра возьмем корень квадратный из величины о Š— ' оо=г входящей в уравнение (3). Положим 2 з' =. ~~— ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ ЙЕО откуда следует, что 1 С'1о = 2 2 (19) соп е (свпо + з соп2 + з со 04 + ' ' ')~ Г = е'(Го + з'Гз+ звГ4 +... ) (и =1,2,3,...). Определим неизвестные со в числе шести, ведя, таким образом, подсчет всех величин с точностью до шестой степени параметра е. Положим з (01ш + з со12 + з 01ы) (созо + з 1022 + з 1024) (созо + з 01зз)2 =- е' (со„+ ззювз), = З СО2О = З 01во = з' (Го + з'Гз + е'Г,). (20) Подставим эти разложения сначала в уравнение (12) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях этого уравнения; получим после этого следующие три уравнения: 10 2 созо 2 1 (21) 3 2 1 2 сососооо+ 2сосоо112+ 3 сососозо = ГооЪо+ 2 созз (22) 1 2 1 3 2 3 соззсосо 4 ОЪо014о+ 2ойосом+ 01м+ 3 ОЪосом+ 2 сососозз+ 1 4 2 + 2 ОЪО+ 10 12 20 + 3 1всозосоов+ 10100140 1 2 0124+ созоГО+ (созз+ сососозо) Го.
(23) Подстановка разложений (20) в уравнение (13) приводит к двум уравнениям: 3 2 сдосо20 3 созо~ (24) Совместное рассмотрение уравнений (10) — (16) показывает, что величины (18) имеют по отношению к з порядок малости, равный индексу соответствующей величины; что же касается величины Г, то это есть величина второго порядка малости по з. Заметив это, будем искать все указанные величины в виде следующих рядов: Ь 2. ВТОРОЙ МЕТОД СТСПССЛ 621 3 3 и10и12+ 4 10 ОО+ 2 и20 12+ 3 ЗО 10+ 2 2 + 2 соыоьм = 3 оьзз+ ОьзоГО (25) Из уравнения (14) получаем два уравнения: 4 3 СО10ИЗО + — 1020 — — — ИВО 3 2 4 (26) 1 5 ИООИ10+ Изоо112 + Ивооььз + 3 5 2 5 3 + 4 ивоисо+ 6 исооьзоизо = —,, ивз+ 01воро (27) 4 — Иззоьсо+ 3 Подстановка разложений (20) в уравнения (14) и (15) дает по одному уравнению: 5 5 1 4 ИООИ10+ ИЗОО120 ИОО 6 5 6 3 1 2 5 5 соьоисо+ 4 иввизо+ 3 созо = 6 Оьво (29) (28) Решим систему полученных уравнений (21) — (29).
Из уравнений (21), (24), (26), (28), (29) находим 2 9 з 32 в Оьзо = 2011о изо = — исо ивв = 3 011о 2 625 , . 324 (30) оььо = 24 1010 Иво = — И10. 5 Возьмем затем уравнения (22), (25), (27); пользуясь результатами (30), получаем 0122 = 9оьсо + 4оььо0112 — 4сошро в 2 145 ь 27 2 63 з И32 4 И10 + 2 И10И12 4 И10ГО 739 в 128 з 476 в ивз = исо + исоиьз исоГо 6 3 9 (31) (32) (33) Теперь остается рассмотреть лишь уравнение (23), но будет проще решить это уравнение в самом конце, чем сейчас. Возьмем уравнение (10). Заменим в атом уравнении коэффициент при Яо в правой части через 1 1 — + соо + — Г 2 2 и подставим затем вместо и и Г их разложения (20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
