Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Дифференцируя предыдущую зависимость, получаем ьр и, далее, иа йр ЗР 1 + —,ре 9 'Таким образом, а есть убывающая функция переменного $. При изменении 9 от нуля до 1/'р/3 угол а убывает от оо до нуля; для малых 9 имеем а 1 Л= — О= —, 22 ' следовательно, 1 Л = — ао, 2 т. е. рассматриваемая кривая приближается к спирали Архимеда. При изменении $ в пределах, указанных выше, эти уравнения будут определять геометрическое место особых точек кривых равной фазы е. Найдем радиус-вектор Л и амплитуду а точек кривой (15); имеем 1 1х ВОлны НРи дВижинии кОРАБля по кРугОВОму пути ВОЗ При изменении $ в пределах ( — 1, — 1/у' 3) угол О уменьшается от со до О; при больших значениях о имеем /7 = а )/2 )/ 1+ $, о = )/1+ Ц Отсюда Л = 2а/О.
Таким образом, вблизи начала координат рассматриваемая кривая имеет вид гиперболической спирали. Выясним, наконец, вид кривой около точки 1. Этой точке отвечает значение $ = 1/)/3. Пользуясь формулами (16) и (17), находим Р'3(~ 1 ), О= — 2Ф б($ — —.З)' отсюда декартовы координаты запишутся так: — * =- 1 — )/ 3 (~ — = ) +..., —" = — 2 1/ б ($ — =) + .. Исключим из этих уравнений параметр 5, получим — =1+ а = з)/з а Отсюда вытекает, что внешняя ветвь спирали касается в точке 1 прямой, наклоненной к пути центра импульса под углом аготу (1/2)/2) =-19'28'.Мы встречаемздесь известный угол теории корабельных волн.
Точке 1 отвечает также значение $ = — 1/)/3, значениям $ ( ( — 1/)/3 соответствуют точки внутренней ветви спирали. Выполняя вычисления, аналогичные приведенным выше, находим уравнение внутренней спирали вблизи точки 1: х 1 у — =1 — = — +... а а. )/'а. а Таким образом, внутренняя спираль касается в точке 1 прямой, наклоненной под углом 19'28' к пути импульса. Обратимся теперь к установлению формы кривых равной фазы. Умножим первое из уравнений (14) на у, второе на х и сложим результаты, получим ах Ну~ иу з1п(су — 9) (х — + у — ) — сов (~у — д) ~х — — у — ) = — хЕ. ух ~ ЛР) Умножим затем первое из рассматриваемых уравнений на х, З04 ГЛ.
17. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ второе на у и вычтем результаты, получим соз(~р — О)(х — -)- у — ) + з1и(~р — О)(х — — у — ) = уЕ. хх ху '1 х'Ч хх ~ Ыр Ых ар ар ) Решим новые уравнения относительно комбинаций Ых ЫЧ Яу Ых х — +у —, х — ' — у —, а7 мФ нт агу получим ых ау х — + у — ' = — (хз1НОр — д) — усов(<р — О)) Е, "7 "Ф х — + у — ' =- (х соз (~р — О) -+ у з1п (гр — Ъ) ) Е, ху, Нх нр йр или, пользуясь формулами (12), хх Ыу х — + у — = 2ар<рЕ, аф аф , —" — у — =- (рр'+) 1 — 'Е'<Р)'аЕ. йр (18) (19) Знак плюс берется для части кривой, лежащей за путем импульса; знак минус — для части кривой, лежащей внутри пути импульса.
Из уравнения (18) следует, что радиус-вектор рассматриваемой кривой принимает максимальное значение в особых точках кривой, так как в этих точках выражение Е обращается в нуль. Из уравнения (19) следует, далее, что в этих рке точках обращается в нуль и выражение х дуЯ~р — у Их!агр, которое представляет собой величину, пропорциональную производной по ~р от полярного угла точек кривой; следовательно, в особых точках полярный угол достигает максимального значения. Кроме того, в тех точках, где сов й ( 0 и р р' — У1 — 4р' р' = О полярный угол имеет некоторое экстремальное значение; нетрудно видеть, что значение ~р, определяемое этим последним уравнением, меньше нежели 1/(2р), т.
е. принадлежит к числу возможных значений параметра <р. Из этого общего анализа кривых равной фазы легко установить и вид этих кривых. Из центра импульса выходят две ветви кривых равной фазы: одна из этих ветвей располагается вне пути импульса, другая — внутри него. При отходе от центра импульса первая ветвь непрерывно удаляется от центра траектории импульса и достигает наибольшего удаления в некоторой точке, являющейся точкой возврата всей кривой равной фазы.
Эта внешняя ветвь принадлежит продольным волнам, Внутренняя ветвь, 112. ВОлны!и'и ДВи1ккнии ИОРАВля НО кРуГОВОму пути 999 выходя из центра импульса, непрерывно приближается к центру пути импульса и представляет собой внутреннюю ветвь продольной волны. Эта внутренняя ветвь оканчивается в другой особой точке всей кривой равной фазы. Две особые точки кривой равной фазы соединяются дугой поперечной волны. Участок внутренней продольной волны имеет по сравнению с внешней продольной Рве. 69.
волной малое протяжение, но поперечная волна сравнима по своей длине с внешней продольной волной. По свое му виду поперечная волна и внешняя продольная волна могут быть названы спиралями. На рис. 69 изображен ряд кривых равной фазы, образовавшихся при двии1ении центра импульса по окружности радиуса 200 и при угловой скорости П, удовлетворяющей условию ай2/д = 0,01; период обращения импульса вокруг центра окружности будет около 5 мин, Построенные кривые изобрая1ают гребни, долины и узловые линии всей системы корабельных волн. 606 гл.
1у. Иеустхновившиеся ВолноВые дВижения Сплошные кривые принадлежат продольным системам волн, а штриховые кривые принадлежат поперечным системам волн. Закончив описание вида линий равной фазы, мы должны были бы теперь рассмотреть величины поднятия точек поверхности ясидкости. Но этот вопрос исключительно сложен вследствие своеобразной интерференции возвышений отдельных поперечных и продольных волн, проходящих через произвольную точку поверхности жидкости; разбором этого вопроса мы заниматься не будем, Рис. 70. а ограничимся лишь тем, что выясним, какие волны проходят через каждую точку поверхности жидкости. Вернемся к уравнению (7) и допустим, что величины В и а даны, т. е.
рассматривается вполне определенная точка поверхности волны; мы желаем определить значения угла ~р, т. е. найти те точки пути импульса, которые дают стационарное значение фазе поднятия жидкости в точке р ()7, а). Для установления числа решений уравнения (7) изобразим левую и правую его части в виде кривых линий, беря за абсциссу переменный угол <р. Абсциссы точек пересечения этих двух кривых линий дают искомые значения угла ~р. Из рис.
70 видно, что уравнению (17) удовлетворяет бесконечное множество различных чисел <р. Эти числа можно объединить в пары, причем числа какой-нибудь пары порядка п будут заключены между а + 2 (и— — 1) я и а + (2п — 1) я. Этим двум числам отвечают одна продольная и одна поперечная волна, проходящие через выбранную точку. Таких пар — бесчисленное множество, следовательно, через данную точку проходит бесконечное число различных линий равной фазы. Отсюда вытекает крайняя запутанность окончательного рисунка волн.
Но при удалении от центра пути импульса рисунок волн упрощается, так как с увеличением Л начинают последовательно исчезать одна за другой пары продольных и поперечных волн. Глава т' ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ А. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ а) 1. Первый метод Стокса В настоящем параграфе мы изложим содержание основной работы Стокса 1847 г. об определении установившихся волн конечной амплитуды на поверхности бесконечно глубокой жидкости (187).
Будем считать, что движение жидкости потенциальное и плоскопараллельное. Наша задача состоит в определении формы периодической волны данной длины и амплитуды;предполагается известной скорость потока жидкости на бесконечной глубине. Компоненты скорости частицы жидкости по осям прямоугольной системы координат с осью Оу, направленной вверх, запишутся так: дф дф и=с — —, и= — —; дх ' ду ' здесь с — скорость потока на бесконечной глубине, ф (х, у)— искомый потенциал скоростей. В точках поверхности жидкости давление имеет постоянное значение р,; следовательно, вдоль поверхности жидкости будет соблюдаться следующее равенство: дл дл — и+ — и=О, дх ду которое можно переписать так: с — = — — + — —.
др др' дф др дф (1) дх дх дх ду ду Из интеграла Бернулли (2) имеем ) др дтф / дф деф дф деф — — =с — — ( — — + — — ~ р дх дха ( дх дхе ду дхду / ' др даф / дф деф д,р дсф ~ — — = с — — ( — — + — — ~ — я. р ду дх ду (, дх дх ду ду дут! *) В рукописи нет деления гл. У на две части: А. Приближенные решения; Б.
Точные решения.'(Прим. рад.) 608 гл.ч твогия Волн конечной лмплитуды Подставим эти выражения в равенство ((), получим Это соотношение должно удовлетворяться во всех точках открытой поверхности жидкости. Из интеграла Бернулли можно получить второе соотношение для точек поверхности жидкости. Придавая р значение р„отвечающее поверхности жидкости, получаем яу = с — — — ( ( —.) + ( — ) ~ + сопеь. (4) Таким образом, мы должны найти интеграл уравнения Лапласа ~р =- ~р (х, у), для которого соблюдались бы два условия (3) и (4).
Каждое из этих условий представляет собой соотношение между координатами з, у точки на поверхности. Следовательно, определив из условия (4) у в зависимости от х и подставив его в условие (3), мы должны получить тождество относительно т. Чтобы осуществить это, введем в рассмотрение некоторый малый безразмерный параметр е и будем искать неизвестную функцию ~р (х, у) в виде ряда по степеням этого параметра.
Полон~им Ч =.=- еЮ, + е'Ч, + е~т, + причем 2 е са = — — см с,' = 2сссы сз = с, + 2с,с„сз = 2сгс,. (7) Числа с с различными индексами будут находиться из условия, что все коэффициенты ряда (5) должны быть периодическими функциями переменного х. Таким образом, соотношения (6) будут Коэффициенты этого ряда суть неизвестные интегралы уравнения Лапласа; эти интегралы должны быть периодическими функциями переменного х с периодом, равным задаваемой длине Х волны. В теории бесконечно малых воли устанавливается соотношение между Х и скоростью потока с; для волн конечной амплитуды также должно быть соотношение между этими величинами. Однако, определяя периодические волны на основе соотношений (3) н (4), приходим к невозможности удовлетворить соотношениям (3) и (4), не вводя предположения, что скорость потока с зависит от параметра е, который в конце концов дает амплитуду волны. Ввиду этого положим с = се+ ес, + е с, + е се+ (6) с' =- с~ + ес, + е'с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
