Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 93
Текст из файла (страница 93)
зх На рис. 72, заимствованном пз статьи Вильтона, представлена установившаяся волна, отвечающая значению параметра Ь, равному Рис. 72. 1/у'10, и отношению 7/а = 14,6; скорость соответствующей прогрессивной волны будет с' = 1,2 дХ/2я. Эта волна близка к предельной волне Стокса, для которой также сз = '1,2 С1,'2я. 628 ГЛ.Ч, ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ $ 3. Предельная волна Стокса. Исследования А. И. Некрасова и Мичелля В приложениях к своему основному мемуару о волнах Стоке высказал предположение, что с увеличением амплитуды очертание волн приближается к некоторой предельной форме, характеризуемой наличием на вершине волны угловой точки [[871.
К части волны, имеющей эту угловую точку, стремятся гребни промежуточных волн при увеличении амплитуды. Стоке доказал, что угол между касательными в угловой точке всегда равен 120'. Волны подобного вида можно наблюдать на берегу моря, где дно постепенно понижается; здесь волны, приходящие из открытого бассейна параллельными рядами, постепенно растут в своей высоте и становятся вблизи своих гребешков необыкновенно резкими по очертанию.
Такие волны сильно прибли~каются по форме к рассматриваемой предельной волне Стокса. Первое определение формы волны Стокса было дано Мичеллем и затем А. И. Некрасовым. Анализ А. И. Некрасова мы здесь воспроизводим, но в конце параграфа пользуемся теми значениями числовых коэффициентов, которые были найдены Мичеллем [321, Н551. Допустим, что изучаемая волна распространяется, без изменения своей формы, со скоростью — с справа налево по поверхности бесконечно глубокой жидкости. Сообщив тогда всей массе жидкости скорость с, получим движение кгидкости с неизменной формой открытой поверхности.
Введем прямоугольную систему координат ЕОу, выбирая ее начало в угловой точке О волны и проводя ось Оу вертикально Ркс. 73. вверх. Будем считать, что поверхности волны отвечает нулевое значение функции тока ф и волны симметричны относительно вертикали самой низкой точки В волны [рис. 73). Рассмотрим одну какую-нибудь волну ОВА изо всей системы периодических волн и покажем прежде всего, что угол 2а между 1 3.
ИССЛЕДОВАНИЯ А. И, НЕКРАСОВА И МИЧЕЛЛЯ 629 касательными к двум ветвям волны, сходящимися в угловой точке 0 волны, равен 120'. Характеристическая функция потока ю (г) может быть представлена около точки 0 функцией, дающей обтекание угла раствора 2и, симметрично расположенного относительно вертикали точки О: 1 и= — Ае' з", А)0. Б точке 0 скорость жидкости равна нулю, в силу чего иктеграл Бернулли записывается так: Уэ = — 2ду.
(2) Применим этот интеграл к линии тока ф == 0; в окрестности точки О линия тока ф = 0 представляется двумя прямыми линиями, составляющими между собой некоторый угол 2а. На линии 1у = 0 около точки 0 имеем у = — г эгп ~ — л — а) и у = — г э1п ~ — л + а~1 ~ 2 ) ~2 )' 1 У = ( пАе' г" 1 ) = пАг" 1.
Отсюда интеграл Бернулли запишется так для двух ветвей линии тока ф =- 0: и1Аэг" ' = 2уг соэ а. Так как это равенство должно иметь место для всех (достаточно малых) значений г, то 2п — 2 =1. Отсюда находим и; получаем и = 11',. Из формулы (1) имеем Г 3 ф = — Аг'ьэ1п ~ — В+ — и) . ~ 2 4 На линиях В = — (11', и — и) и В = — (11, и + а) функция тока должна быть равна нулю. Отсюда /3 1 '1 . /3 - 1 эгп~ — а — — и) = 0 эш( — й+ — л) = О. ~2 4 ) ' (12 4 Следовательно, и = ЫЗ и угол мея1ду касательными в угловой точке к предельной волне равен 120'.
Заметим, что этот результат имеет место и для предельных волн, распространяющихся по поверхности жидкости конечной глубины. Обратимся теперь к определению всего потока жидкости и, в частности, к определению формы волны. Рассмотрим какую-нибудь одну волну ОВА; допустим, что точке А соответствует нулевое значение потенциала скоростей, а точке 0 — значение гу, ~ 0; тогда в силу предполагаемой симметрии ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ взо волны относительно вертикальной линии, проходящей через самую низкую точку В волны, этой точке будет отвечать значение потенциала скоростей ~ре)2; вдоль всей линии ОВА функция тока ф равна нулю. Расстояние между вертикалями точек О и А равно длине волны ); эти вертикальные прямые суть линни равного потенциала ере и О.
Скорость потока в бесконечностп равна с, значит, ~р, = ~). Рассмотрим часть ОВАКР потока жидкости, заклкп|еипую между вертикалями точек О и А. Этой области будет отвечать на Ряс. 74. плоскости комплексного переменного и~ = ~р + )ф прямоугольная полоса О'В'А'Е'Р' в верхней полуплоскости, заключенная между осью абсцисс и прямыми ~р = 0 и Ч~ = сХ (рис. 74 *)). Отобразим конформно каждую из областей ОВАЕР и О'В'А'Е'Р' на внутренность круга радиуса единица плоскости вспомогательного комплексного переменного и = $ + и).
Установим точное соответствие между плоскостями переменных (г, и) и (и, и). Выберем зависимость з = з (и) так, чтобы при обходе границы ОВАЕР потока переменное и, выходя из точки и = 1 и двигаясь по часовой стрелке вдоль окружности ) и) = 1, проходило точку В' при и = — 1 и достигало точки А' при и = 1. Потребуем затем от функции г = г (и), чтобы при движении точки з от А к Е переменное и описывало бы верхнюю сторону рэдиуса (1, О) от точки и = 1 до точки и = — О, а при движении точки г от Р к точке О переменное и описывало бы ния;нюю сторону радиуса (1, О) от точки и = Одоточки и = 1. Таким образом, область ОВАЕР, обладающая неизвестной границей ОВА, отображена конформно на внутренность единичного круга ) и ( = 1, разрезанного по радиусу (1, О), Точка и = 0 будет, очевидно, логарифмической точкой ветвления функции г = з (и).
Прн обходе точки и = 0 по маленькой е) В рукописи автора отсутствует ркс. 74. (Прел. рад.) 3, исслвдоВАния А. и. нвкРАСОВА и мичвлля 631 окружностк прогна часовой стролкн переменное г будет уменьшатьаг ся на Х. Из этого следует, что производная — „будет иметь в точке и = О полюс первого порядка с вычетом, равным — Х. Затем отметим, что точка и = 1 не может быть обыкновенной точкой функции г (и). Действительно, при сходе точки и с прямой ЕА на дугу окружности в точке А аргумент числа г — ) подвергается резкому изменению: на прямой ЕА он равен — п!2, з точках же дуги АВ и вблизи точки А он равен, согласно теореме Стокса об угловой точке, — Ы2 — ЫЗ.
При сходе переменного и с радиуса ОО в точке и = 1 на дугу окружности ОВ аргумент числа г меняется от — Ы2 до — я!2 + я)3. С другой стороны, при сходе переменного и с линни ЕА на дугу круга аргумент числа и — 1 уменьшается на Ы2; при сходе переменного и с линии ЮО на дугу ОВ аргумент числа и — 1 увеличивается на и!2. Следовательно, вблизи точки и = 1 функция г (и) имеет следующий вид: г = (1 — и)"Е (и); функция Р (и) голоморфна около точки и = 1; неоднозначная функция (1 — и)" имеет действительные значения для действительных значений и, меньших единицы.
Отсюда следует, что йг Г1(и) )з Приведем эту формулу к окончательному виду. Так как производаг ная — имеет в точке и = О полюс первого порядка с вычетом, Ни равным — Х, то предыдущая формула запишется так: аг Х 1(и) ли 2ж а~в (3) Функция )'(и) голоморфна внутри круга ~ и ~ = 1 и на его окружности. Пусть ~ (и) = 1 + а,и + а,и' + будет разложением атой функции в степенной ряд. Коэффициенты этого ряда суть действительные числа в силу симметрии волны относительно вертикали точки В.
Зависимость переменного и от параметра и дается формулой сХ йи сХ $ и = —.1пи, (5) 2я~ ' ли 2я~ Легко проверить, что двин1ение жидкости, определяемое форму- лами (3) и (5), имеет в бесконечности скорость с в сторону увели- чивающихся абсцисс. Действительно, Йи с 3— — = — — 'у' 1 — и, 1(и) (б) 632 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ и для и = 0 имеем в'х — = — И + 1У = — С. вг Если мы определим коэффициенты ряда (4) стью задачу о форме предельной волны Стокса.
этих коэффициентов воспользуемся условием на ны, вытекающим из интеграла Бернулли: у'з = — 2ду. то решим полноДля определения поверхности вол- (7) Продифференцируем условие (7) по переменному О, получим лу — = — 2« †. еО в еО ' (8) Величина <[у!1[0 может быть получена из формулы (3); имеем в<х . ву Х ! <е<з) — +1 — = —— вО «О 2я з у 1 — е<з Отделим в правой части мнимые слагаемые от действительных, по- лучим 1(е<з) [1(е з) + 7(е-<з)] + 1 — [1(е<з) 1(е-<з)] з — 'Г . 1 — <<з — 1 1 у' $ — е'з = 1 Г 2 айп — 0 е з 2 1 = у 2 в1п — 0 ~сов — (Π— я) + 1 в< и — (Π— и)) .
2 ~ 6 6 Следовательно, в'х, .1<у Х 1 — — <З- 1 — <З- 11 1 1 1<О + ЛО 4Я 3 — +1 — = — — [!(е<з)е е +!(е-<з)ее ]— $/ 2в1п — О 2 1 1 [1(е<з) е з — 1(е-<з) е е 4я з 2 в<а — О 2 Отсюда г<х Л 1 — — <з — «у 1 - з <з )1 1 вО 4Я з [!(е<з) е е -[- 7(е-<з) ее 2вш — О 2 (9) 1 1 з — — [!(е<з) е ' — !(е-<з) е' ]. а'О 4Я з 2 в1п — О 2 Вдоль поверхности волны переменное и может быть изображено так: и = е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
