Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 96
Текст из файла (страница 96)
(6) дез дз (,де))' Положим здесь е = О, получим, пользунсь равенством (4), такой результат: (1 — ее" соях)з —, = 2е'зсоязх+ ее'з соя'х(1 — ее" соях) '. дзу дез Отсюда для е = О будем иметь — ) = 2е-з" соя' х. ( — )-- дзу ~ дез )з=з (7) Из равенства (6) имеем, далее, (1 — ее" соя х) — = Зе" соях( — ) + вез соях( — ) + дзу /ду~з / ду тз дез (, де ) (,дз) + (Зе соях+ Зее соях — ) —. з з ду~ дзу де ) дзз з ~ = 9е-ззсоязх ( — ~=-— дзу В дез ~з з (8) Теперь мы имеем воаможность разложить функцию у в ряд Маклорена, пользуясь формулами (5), (7), (8): з- ' у = — зу+ее-есоях+ззе-зесоязх+ — езе-засовах+...
(9) 2 Полагая здесь е = О, найдем, используя предыдущие подсчеты, следующий результат: 1 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ Перепишем это разложение в другом виде, а именно так: у = ( — ф + — язе ю + (яе-4 + — я'е-'") соя х + + — язе юсоя2х + — язе-юсояЗх+... 2 8 (10) Это есть уравнение любой линии тока, записанное в виде„разрешенном относительпо координаты у. Найдем скорость У частицы жидкости в точках линии тока. Пользуясь начальным выражением (1) функции тока, получаем Уз —. ( — ") + ( — ~) = е' — 2иейехе соя ях -)- а'язеые.
Преобразуем эту формулу к переменным (2); отбрасывая индексы 1, находим У' = е' (1 — 2се" соя х + а'е'"). (11) Подставим сюда вместо у его разложение (10). Для этого отметим следующие вспомогательные формулы: е" = ) (1 + — я'е-ы) + яе-4 соя х + — е'е-'" соя 2х~ е е, з 3 4 ) 4 е'е = (1 + 2 ее-э соя х)е зе. Составим теперь формулу (11), получим У' = сз ~1 — (2яе-4 + — язе-зе) соя х — с'е-'4 соя 2х— 1 4 — — я е-эе соя Зх~ . 8 4 (12) Пользуясь формулами (10) и (12), выпишем интеграл Бернулли — =С вЂ” — У вЂ”вЂ” Р 1 Ку р 2 А получим — = С+) (е ++) яе-е+ — (е — е ) е'е '~1соях+ е~ г з + — (ез — ~ ) язе аь соя 2х + — (ез — Я 1 ззе зе соя Зх.
(13) ('-' — ('- ' '-= ез — — )ее-ы+ — (ез — — е) е'е-еь = О. (14) Определим теперь по величине скорости е, длине волны ) = 2я/я и параметру е такое значение функции тока $ = $ю при котором коэффициент у соя х стал бы равен нулю: ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 880 Отсюда получаем с точностью до третьих степеней е включи- тельно искомое значение $з.' 1 зз фз= 2 )п й (сз — — ) (15) Из формулы (14) находим вместе с тем с' .= ~ (1 -(- е'е-'"'). А (16) При этом значении с формула (13) запишется так: з — = С+ е е'е-сь1соз2х+ — ее-"соз Зх) у = — — ф1+ — ззе-зм + — зе ""+ — езе-зм) соз йх+ + — з'е-зм соз 2йх + — е'е-зм соз Зйх +...
(17) 2й 8й Если в этом уравнении заменить з(1, его значением фз, определяемым формулой (15), то получим уравнение открытой поверхности жидкости, покрытой установившимися периодическими волнами. Введем такое обозначение: — (зе-'"'+ — ззе-зм) = а, 1 г 9 з 8 и будем называть величину а амплитудой волны. При этом обозначении уравнение установившихся волн запишется так: у = — ~ — (ай) — фз1+ 1 Г1 й (2 1 Г 1 8 + — ~(ай) соз йх + — (ай) соз 2йх + — (ай) соз Зйх1. (18) Преобразование уравнения (17) к виду (18) выполнено с помощью формулы зейн = ай — — (ай) . з 8 Таким образом, вдоль линии тока (15) давление р сохраняет постоянное значение с точностью до третьей степени параметра е включительно.
Следовательно, при такой степени точности линия тока ~уз может быть принята за свободную волновую поверхность жидкости. Если в уравнение (10) ввести первоначальные переменные х, у согласно равенствам (2), то получим уравнение произвольной линии тока в начальных переменных: 1 з.исследОВАния лОРдА Рэлея 651 Подставляя это значение зе-4* в равенство (16), получаем основную зависимость между скоростью потока, длиной установившейся волны Х и ее амплитудой а: Формула (14) показывает, что вдоль рассматриваемой линии тока, принимаемой за волновую поверхность, давление имеет постоянное значение с точностью до третьих степеней параметра е.
Желая получить более точное решение задачи, Рэлей предлагает усложнить функцию тока добавлением к правой части формулы (3) двух слагаемых тззезз соя 2х, пе'езз сов Зх с постоянными коэффициентами зп и и, так подобранными, чтобы в формуле для давления исчезли бы слагаемые с четвертой и пятой степенями малого параметра е [171). Итак, рассмотрим течение жидкости, определяемое функцией тока 4Р = — у + яез сов х + тязезз соя 2х + пв'е'з соя Зх.
(19) Найдем уравнение произвольной линии тока в виде, разрешенном относительно у; пусть это будет у =- — зР + А,я + Азв' + Азез + А,е'+ А,е' +... (20) Коэффициенты А„..., А, суть неизвестные функции абсциссы х. Чтобы определить эти коэффициенты, подставим разложение (20) в формулу (19). Не приводя некоторых промежуточных вычислений, запишем результат подстановки, выполненной с учетом первых пяти степеней параметра е: А,е + А,в' + А,в' + А4в' + А,в' = = зе з (1 + А,е + (А, + — А,')в' + (А, + А,А, + — А,')в' + + (А4 + — А' ,+ А,Аз + — А,'Аз + — А,') ез] соя х + + пзззе зз (1 + 2А,в) сов 2х + пв'е зз соя Зх.
Сравнивая коэффициенты, стоящие при различных степенях е в обеих частях этого тождества, получаем А, = е-зсоях, А, = е-ззсовзх А, = — е-ззсовз х, 3 з 2 А = — те-™ + 2те-зз совз х + — з зз сов' х 8 А, = — 3(т+п)гззсовх+2(Зп+2п) е-"зсов х+ 4 е-зз сов х. з 125 з 652 ГЛ.
У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Составим теперь, пользуясь формулой (19), выражение скорости частицы жидкости: уз/ез = (1 — 2зе" сов х + з'е'У) + (4т + 18и) ззе'" совх— — Зте'езз соя' х — 24пз'е™ сов' х + 4те'е'". (21) Подставим сюда вместо у его разложение (20) с установленными значениями коэффициентов А. Имеем 1 — 2ее" соя х + е'ез" =— = — (1 + езе-зз) + ( — 2зе е + 2е е-эз + 2те'е з') сов х + + ( — 2езе зз + 4езе-зе) совз х + + ( — Зззе-зз [ ззе-ю 4тезе-зз) сояз х 25 3 + ( — — е е-'" ] соя х + [ — — в е- '] сов х, 16 з, ~ з !' 125 3 ] ' [, 12 (4т + 18п) е'е" соя х — 8тззезз соязх + 4те'е'"— — 24из'езз сояз х = 4тззе-з" + (12т + 18п) з'е-"' сов х + + ( — 8 тазе-зз) + ( — 16тззе-з" — 24пезе-з')„ При выводе этих равенств служили формулы езз'зз = 1+ 2ее-зсовх+ 4взе-зз соя'х+ — езе-зесоя'х, 19 6 езз+зе 1 + Ззе-е сов х Применим все эти результаты к составлению формулы (21), получим — = (1 + е'е-ю + 4лзе'е-з'з) + + [ — 2яе-"+ 2ззе-зь+ 2тезе-зь+ (12т+ 18и)езе-зе] совх+ + ( — 2ззе-зе + 4ззе-зз 8тззе-зз) совз х + + ( — Зззе-зе — 4тззе зе + — езе-зе — 16тззе-зз — 24пззе-зе)сова х+ 25 3 + ( — — з е-зз) сов х + ( — — е е-зз) сов'х.
(22) 16 з '1 з / 125 3 ) 12 Одновременно с этой формулой выпишем уравнение (20) линии тока, заменяя коэффициенты А найденными их значениями: у = ( — з[1 — те-юз') + + [зе-з — 3(т+ п) езе-зз] сов х+ (ззе-зз+ 2те'е-™) сов'х+ + ~ — ззе-зе+ 2(Зт+ 2п) ззе-аз~ совах + з 3 2 + ( — езе-зз) сове х+ ( — ззе-зь) совз х, (23) ~3 ) ~24 1 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ 652 Возьмем интеграл Бернулли — = С вЂ” — У'— и подставим в него выписанные выше значения г'2 и у. Получим — = С+ Хгсозл+Хссозсх+ Хссоззл+ Хссозсх+Хссозсе, (24) Р— ~1 + [ — теэ" + 8ле'" ) ззе-22 — — з'е 221— 25 ) 9 — [1 -[- — (Зтесс -[- 2пеэс) е 221 = О.
(27) 8 Удерживая в вычислениях степени е не выше четвертой, придаем уравнению (25) такой вид: сзь — = 1+ ззе-22+ [(4т+ бп) + е-22) зсе-2с. (28) Подставим это значение величины ез)с/д в уравнения(26) и (27), получим после преобразований следующие два уравнения: (2 + 8ззе эс) псезс + базе юпеье = 1 + езе эс, 12 (1 + 4з'е 22) исезс + 3 (8 + 21з'е 22) пезс = 8 (1 + е'е эс). Решая эти уравнения, получаем 5 1+ — есс 2' 8 1 1+222 22 2 9 1+ — езе 22 8 пезе = — + 12 9 1 + -ол- 222 2Е 1+422е 2" где Х„Х2,..., Хс составляются из коэффициентов при различных степенях соз х, входящих в формулы (22) и (23). Формула (24) дает распределение давления вдоль каждой линии тока.
Найдем такую линию тока, вдоль которой давление р было бы неизменным с точностью до пятой степени параметра з включительно. В нашем распоряжении две неизвестные величины т, п и параметры задачи с, )с, е. Определим эти величины так, чтобы коэффициенты Х„Х„Х2 были равны нулю. В результате небольших преобразований получаем следующие уравнения: сза 1 — 3 (лс + п) е'с 22 1 — ссс 2С вЂ” жесе 22 — (6ие+ 9л) есс 2 (1 — 2ззе-22 -[- 4тз2) — (1 + 2тез) = О, (26) е гл. ч. ткогия волн конкчнои амплитгды Величины т, и, определяемые этими формулами, могут быть представлены в виде рядов, расположенных по четным степеням параметра е.
Имея в виду выражение (19) функции тока ~9 и взятую точность вычислений, можно принять, что 2 ' 1 12 Подставим эти значения чисел лз, и в уравнение (27), получим сз = 6 (1+ ззе-ФФ+ — ззе-зФ) . (29) 7 8 Обратимся теперь к коэффициентам Ьз и Е„их выражения пишутся так: Ь = — сэззе-ЗФ з е-ЗФ = (с — — ) —,з е ЗФ, 8 48 lз 818 4=3 й 3 — (, й)3 (зо) сааза-ФФ зза-ьФ ( сз ) зза — зФ Из соотношения (29) видно, что разность с' — дй имеет второй порядок малости по отношению к е; следовательно, величины ЬФ и Ьз можно считать равными нулю. Это показывает, что при соблюдении соотношения (29) давление р сохраняет, с точностью до пятых степеней з включительно, неизменное значение вдоль рассматриваемой линии тока. Таким образом, эта линия тока может быть принята за свободную поверхность зкидкости, покрытой установившимися волнами.
Перепишем уравнение этих волн в другом виде, заменяя степени косинусов косинусами кратных дуг и переходя к основным переменным х, у, даваемым формулами (2). Проводя необходимые вычисления, получаем у = — ~ ф + — ззе-ФФ + ззе-ФФз) + 0 2 + — ' Зе-'~е + — ззе-ФФ~ + 7 — езе-'Ф ) соз йх + 9 з — 769 з— й (, 8 192 + — ( — езе ФФ~+ — ззе ФФе) соз 2ах + 1 '1 з 11 4 й~2 6 1 /3 315 + — — ззе-зФ + — езе-з'Ф) соз зйх + й й 8 128 + — ззе-ФФ соз 4йх + — ззе-ФФю соз 5ах. 4 125 вй %4 (з1) Перепишем это уравнение волны в другом виде, вводя величину а, которую будем называть амплитудой волны и которую определим формулой а = — (зе Фе + — езе мй + — ззе-ззй) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
