Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 100
Текст из файла (страница 100)
(25) да дЬ 4аз о с2Н2 = — е'кь сов /са (яш ит — я(п Зит). ао Общее решение этого уравнения, периодическое по переменному ю, запишется так: кз Нз — — — е'кь сов /са (Я(п ю — Я(п Зю) + 2аз о + )Ро(а Ь)+ 2~ (р совтю+ т/ яштю)1, (26) то=к где р„р, д — гармонические функции переменных а, Ь, периодические относительно а с периодом 2Л/й. 22 Л. Н. Сретеиеииа Дифференцируя первое уравнение по а, второе по Ь и складывая результаты, получаем, в силу уравнения (25), уравнение для функции Н,: Гл. ч.
Теовия ВОлн конечной Аз|плнтуды д> — ~~ —" + ~~ ~~ — соя та>+ — яш>лют~~, ( да ,7, (, да да ез'о сов йа (яш и> — я>п 3>и) + '>, '- о -'- — е е' сояйая>о и> — —.ез осовйая1п Зи.— 22О йь Зйз >02 402 о 'о д Вз даа г(> — — — ( — сов ти + яш >ви>)1. 1 дй — ,~ „ (, дд - дЬ оь =1 Так как функции $„212 должны быть периодическими по переменному т, то отсюда вытекает, что ро — число постоянное. Проинтегрируем эти уравнения; поаз = — е яш 1са я>п и — ' йсз йо 00 Ч-2 ! /дя д>, + ~ — ( — "' соя>пи> 1 — "' я1п та>) ! 1,(а, Ь), ,02 ! да да й! О,>), — — е 'соя йа(я>пи> — —,я>п Зи>) — — е соя йа вши>+ 0>» 1 ..
й йео йь 402 3 00 о д>> + р — ~ — сеяти>+ — я>пти>~+ т„(а, Ь). тз( дЬ дЬ Поставим на основе этих формул гранкчное условие: Нз (а, О, и:) = р~з (а, О, и); получим следующие условия, которым должны удовлетворять функции р„и 0 лри Ь = О: д — — = т р„, (т, = 1, 2, 3,...), ро = — т>(а, О) = соней, >"о ао я >>ы д — — = вР>1,2 (т = 2, 4, 5,...), 02 дЬ я д>>! И йз 02 — — ! = д>+ — соя!са — — соя йа+ — 'соя йа, ао дЬ 202 402 ао о о '>02 йо И вЂ” — = >12 — — сов йа + —, сов йа. 00>, 0Ь 202 1202 о о Подстановка этого выран.т>пп функппп Нз в уравнения (23) и (24) дает уравнения дзйз с'о —, = — "- е > в' и 1>а я1 в и— Ь!! КОЗФфнпивнты РЯДОВ, 022!'кдв22Я!О2Ц!2К СТОНЧИк ВОЛН[! !;7:! Повторяя рассувкденпя, относившиеся к решению сп!.теьпз уравнений (16) — (19), накодиь2, что р„(а,6) ==О (т=1,2,3,...), о„(а, 6) — О (т = 1, 2, 4,...), !5!' Ьь й! ч:!(а, 6) = — ', е соври, ае = —— 22е! 4~22 ь Таким обрааом, имеем /,! !52!! Иь —— —,е 2'сов)еи(в!к ю — я!и 3!с) -Р— ',, е' 'сояйав!в За!+ рь 2оь и, далее, 0092 = — е в!пйая!Ош — — е в2пйав!Ози!, йе2 йь 5й' йь оь 95 2 о оьь)2 = — - е совйая2яи2+ — е' соврав:! Зи2+ йоь ЬЬ, 5"' !Ь оь д!М2 ь йь,ь ('.
! — е"асов йа(я!О и — —,я!к Зи!) -! С. ь Мок!но проверить, что получеппыьп! значениями Еь и Оь уран!!ение (25) удовлетворяется. Для определения константы С воспользуемся интегральным условием (18) з 8. Это условие запи2пется в данном случае так; 2Я ~ (Чь+ 82 — '1ььа = О. Подставляя сюда найденные значения 21„2)„д„переписываем это условие так: 2Е! йв2 5йь ~ — — ' сов 22а в1п и! + — сов 2еа внв Зю -,'- аь дбоь — 212 ь ь йь + — сов йа с! ! и2 — —, вьп Зи2) + С— 4оь ь й' — — совйаяьпю(1 — сов2ю)1да = О 4аь ь Отсюда получается, что С равно нулю и рь = О. 676 ГЛ. Ч.
ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Итак, третье приближение определяется формулами йо 15йа аь На = —,е"'совйа(ьйпв — в(ЛЗв)+ —, е" совйав(пЗв, 2ооа 32оа вз = —, е в!и йа в(пи — —, е впа йа юп Зш, йоз йь аь 96оа а), = — —,' е совйавшв+ — е совйав1пЗш+ йоз аь 5йа аь оо + — е'а сов йа)16(пш — — в)пЗв), ь 4 з з о (27) йо оа = —— 4оо Подставим в эти уравнения вместо величин с индексами 1, 2, 3 их найденные выше значения, получим, выполняя вычисления, систему уравнений дзКо дНа йоз о,— = — — — — е 61пйавшв— диГа да оо ГН вЂ” —, е"'61п 2йа(3 — 8сов 2ш+ 5 сов 4ш), (28) 24оа оо — = — — + — е сов йа 61п в -)- дЧ, дН, й, диФ дЬ оо йа + — е'й' (12 + 37 сов 2и — 25 сов 4в) + 96оа о йа + — еойь (1 — 2 сов 2ш + сов 4ш) + 2оз о ш + — е'"' сов 2йа (1 — 2 сов 2в + сов 4и ), 4оз о (29) Обратимся теперь к вычислению величин четвертого приближения.
Уравнения для определения зтих величин пишутся так: о"ао да$з да4з дз4 о — '+ па — '+ оа — '+ оа — ' = о два дшз диФ дша дНо ) Р(ЧН Н,) Р(Ча На) Р(т)» Нз) да Р(а, Ь) Р(а, Ь) Р(а, Ь) дача дача дача дача оо — + о, — + о, —, + оз — = дма два диГа ' диФ дНа Р(4з, !1Д Р(4а, На) Р(Са Нз) дЬ Р (а, Ь) Р (а, Ь) Р (а, Ь) д~а дЧ4 Р (а» Чз) Р ($а Чз) Р (аз Ча) да дЬ Р(а, Ь) Р(а, Ь) Р(а, Ь) ь и.
КОЭФФИЦНВН ТЫ РЯДОВ, ОПВВДВЛЯВПЦИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 677 ьи д2и + — Чи = — еиьь(24 — 19 соя 2в — 5 соя 4в) + ди дь 96ои и Вв + —, еи" и (3 — 4 соз 2в + соя 4и ) + 12оии ьи — еиьь соз 2(иа (3 — 4 соз 2в + соз 4в). (30) 24ои Дифференцируя первое уравнение по а, второе уравнение по Ь, получаем сложением результатов уравнение для функции Н;.
ьв ЬНи = — е™ь (12 — соя 2в — 65 соз 4в) + 48ои + — еиьь(3 — 8соз2в+ 5соз 4в)+ 2ии Зои Ви -( — еиь'соз2йа(3 — 8соз2в+ 5соз4в). 4ои п Найдем интеграл этого уравнения, периодический по в и а; полу- чим ие Ни = еи"ь(12 — соя 2в — 65соз4в) + 192ои ьи + —, еиьь (3 — 8 соз 2в + 5 соз 4и ) + 24оз ьи + —,еиььсоз21са(3 — 8соз2в+ 5соз4в)+ 48оии +~ри(а, Ь)+ Д (р созтв+ 9 зштв)1. (31) т=и Подставим это выражение функции Хи в уравнения (28) и (29), получим ои — = — — е зшйаз1пв— д%и аои ВЬ ° дми о, — ~ — + р ( — созтв+ — зштв)1, (32) от да ,7 ~ (, да да ГЛ.
Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ а — = — е совйаввпв+ дзчв зев з ь о двз ао Ьв емь (10 соя 2и! + 20 сов 4в) + — евзь (соя 2в — сов 4ш) + Заз лв + — (сов 2ю — сов 4ю) е'"ь сов 2)оа— 6аз о др дь + ~~ ~ — Ь сов тв+ дь в!Птве)1'. (33) Так как функции 94 и т)4 должны быть периодическими по отношению к в, то функция ро (а, Ь)должна сводиться к константе. Проинтегрируем уравнения (32) и (33), получим ао94 = — е ввп йа в1п и + зав зь а„ до + 22 — ! — совтш+ — "" ввп тю) +1,(а, д), ~„! !аз (, да да Ь!вв во Ье! в ыь аот),= — — ее сояеоаввпи! — ", (19сов2в+5соя4ш)— "о 192ав о зв 422 в' — (4 сов 2ю — соя 4ш) — — (4 сов 2в — соя 4ш) е"'сов 2йа+ 48аз о 96аз о + з — ! — соя тю+ — в!В тю~~~+ тз(а, Ь).
(др до ваз (! дЬ дЬ вв=з Составим на основе полученных формул граничное условие: Нв (а, О, в) = р)4 (а, О, ю). — тз(а, 0) = ро.+ — (3+ совйа), Ьв ао 16аз о а, = О, 5 йв Ьв ь йв 31И р, = — — + — е'зь сов 2йа, ро = — — — е'овсов 2йа, (34) 32 аз 4аз о о 8аз 28аз о о р =0 (т=1,3,5,6,7,...), д =0 (т =1,2,3,4,5,...).
Сравнивая коэффициенты при тригонометрических функциях одинаковых углов в двух частях этого граничного условия, находим следующие результаты: д д, коэФФиЦиенты РЯДОВ, ОпРеДелЯюЩих стОЯчие Волны 979 ПользуЯсь этими резулътатадви повк1!О прида?ъ функЦиЯы $4 Н, следующий вид: 5 йв й' Нв = р, + —.— соя2в+ — соя4ш+ 32 ов яод о о йв + едйо (12 — соя 2и7 — 65 соя 4в) + йв + — е'й' (3 — 8 соя 2в — 5 соя 4и7) + 24ов 1,4 + — (7 соя 2в — 3 соя 4в) едй' соя 2йа + 2977,' йв + —, (3 — 8 соя 2в + 5 соя 4в) евдо соя 2йа, (35) 42ов й7 , (25 — 28соя2ю+Зсоя4ю)еввоявп2еа, (36) 224оо й7 —, едйо(19соя2ш+ 5соя4в)— 192о~~ — —,е' (4соя2и7 — соя4ю)— ш 48оов — — е" соя 2аа (4 соя 2ю — соя 4ю) + 96ов о й' / 7 + — е'йосоя2)еа~соя2в — — соя4ш) + '( ' .
(37) оо Для удовлетворения начальному условию Е (а, Ь, О) = 0 было принято, что й' зй7 Ьв (а, Ь) = — едйо вйп 2йа — — едво явп 2йа, 224 во т. е. 41(а, Ь) =, евдо явп 2йа. 25йв 224ов Подставим выравкения функций 94 и 774 в уравнение (30), получим уравнение для определения функции тв (а, Ь): — = — ( едйо — — емш соя 2)еа + ев "о + — е'йо соя 2)еа1 .
2 о Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий условию (34), б80 РЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ пишется так: то = )еро + — ) (3 + соя 2)еа) — (1 — е'"о) х 18<4, ~ х (3 — — соя 2йа + еооь (1 + — соя 2)гав . (38) Подставляя это выражение функции т, (а, Ь) в формулу (37), получаем окончательное выражение функции Чо. Число р, определяется из интегрального равенства (18) 8 8, которое для данного случая пишется так: юо дГ, дно , д~, 1 ~Ч~+Чо д'+Ч, д +Ч~ д 1 оа=-О. — оы Подставляя сюда вместо функций Ч и $ их выражения, получаем ро Таким образом, выра"кения функций четвертого приближения будут (35) — (37), в которых р, заменено нулем, а т, (а, Ь) имеет значение (38).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
