Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Деля формулы (1) и (2) почленно одну на другую, находим Йю с ае ) (и) Применим зту формулу к значению и = О, отвечающему беско- нечности в потоке жидкости, получим сти . 1 с — = — и+ )Р1 = — — = — с, ие ~и= — в 7 (0) вытекающее из интеграла Бернулли. Будем рассматривать в этом соотношении у" и у как функции аргумента 8 комплексного переменного и, изменяющегося вдоль окружности ~ и ( = 1.
Полагая и = еев, продифференцируем граничное условие (4) по переменному 8, найдем — = — и†йув Ну йе йе (5) Но ~)е 1 (ем) / (е ~в) кроме того, — = — — 1ш (7'(сев)1 Отсюда условие (5) запишется так: ае ~1(е"в) е (еыв) 1 = Я (6) следовательно, скорость течения хсидкости в бесконечности равна с, как и должно быть. Возьмем условие на открытой поверхности; так как вдоль этой поверхности давление постоянное, то между скоростью у и орди- натой у будет существовать соотношение Ув = — 2уу + сопз$, Гл. у. ткогия Волн конвчнои Амплитуды Отделим в функции 7 (е") мнимую часть от действительной и запишем результат так: ~ (е12) = А (В) + 1В (0). В новых обозначениях условие (6) перепишется так: ИЕ[А+В 1=~ (7) где 2 ЕЛ Х лсг Покажем теперь, как уравнение (7) может быть приведено к нелинейному интегральному уравнению.
Рассмотрим внутри круга [ и [ = 1 следующую функцию комплексного переменного и: ~ = 1[в 7 (и). (8) Отделяя в правой части мнимую часть от действительной, получим 7 = — аги 7 (и) + 1[в [ 7' (и) [. Для точек окружности [ и [ =- 1 зта формула запишется так: г = — гг — „г- ~ ~.
У г'7 г'. в (9) Отсюда равенство (9) приобретает такой вид: В = — +1[ил. (10) В новых обозначениях условие (7) запишется так: 2 — — = кгЛз1па, ~ел = или (е-г 1А в ) кг з1п а з ие з (11) Таким образом, на окружности [ и [ = 1 соблюдается соотношение (11) между действительной и мнимой частью функции (8). Воспольауемся теперь следующей теоремой [7[, [26): на окружности круга единичного радиуса между значениями действительной части я (0) и мнимой части и (0) всякой голоморфной функции комплексного переменного существует следующее Представим функции А (О) и В(0) через угол а(0) наклона скорости частиць1 жидкости к оси Ох и через отношение Л(В) скорости потока в бесконечности к скорости частицы жидкости, получим А = Л соз а, В = Л зш а.
1 ся интегРАльное уРАВнение А, и, некРАсоВА 999 соотношение: 1 яж 2 (я+О) с)е + сопя! (12) 1 я!и — (е — О) 2 при условии, что Ь (2я — О) = 6 (О). Ь (О) = !и Л Функция удовлетворяет этому добавочному условию в силу симметрии вол- ны. Следовательно, к функции (10) мооьет быть применена форму- ла (12), поэтому 1 яш 2 (е+О) 1 Г Л)пЛ со(О) = †„, ! †„, )п о «з) 1 яш — (е — О) 2 Константа в правой части равна нулю, так как в (О) = О. Из условия (11), имеем, интегрируя его, о ) п Л =- — —, )п ~ —, ~1 + )с ~ я ! и со (я) с)е1 '(; о здесь р, постоянная интегрирования, имеет следующее значение: — зсздз (О) —;сз~з (1) з, з 2 2 (14) Дифференцируя это равенство, получаем о !и Л 1 )се!и в (О) ЛО З о 1 + )с ~ я!и в (е) ое а Подставим найденное значение производной в формулу (13), полу- чим 1 сб 2 (+О) (' )с я!и со (е) в(О)= Оя 1 .
)п о 1+)с ~ яш в (е) о)е о (15) 1 я!и 2 (Π— е) Это есть интегральное уравнение А. И. Некрасова в теории установившихся периодических волн. Решение этого уравнения дает действительную часть функции (10) на окружности( и ! = 1; по этой действительной части можно определить функцию 7 (и) внутри всего круга, пользуясь 700 гл. ч.
тногия волн коннчнон лмплитгды известной формулой ([7'): ем ( „ г (и) = — — ~ (а),, АВ+,И, е'» — и о где Ь вЂ” действительное постоянное число. Затем основная неизвестная функция ~ (и) находится безо всякого затруднения: г (и) = е ~2("). С помощью этой функции определяется весь поток жидкости.
Уравнение поверхности жидкости найдется по формуле (2), если положить в ней и = ем: »»+~ну Х ИО 2л — 1 (зм) отсюда — = — — А(О), — = — — В(О) г» 2 гу л ИО = 2л аО = 2я (16) и координаты х, у найдутся как функции угла О простыми квадратурами. Установим теперь связь между различными величинами, характеризующими волновое движение. Для этого возьмем следующий интеграл по окружности ! и ! =- 1: Г с Нш ,7 = ~ — — он.
а»'г Отсюда 7 = — 1с ~ Уе-™40. Но иа формул (16) вытекает, что <Ь . ыз Х вЂ” — 1 — = — — (А — 1В) ИО НО 2я Ф или ез . а~у сХ » ИО »8 2л Так как ЫюИг = — с/~ (и) и так как внутри круга ( и ( = 1 функция ~ (и) не обращается в нуль, то по теореме о вычетах интеграл 0 будет равен — 2ягс'. Вычислим затем этот же интеграл непосредственно. Для этого заметим, что на окружности ( и ~ = 1 имеем — = — Tз 4' Й» Ыг 1 лз, интегРАльное уР АВнение А. и. некРАсОВА 701 Следовательно, 7 = — ~'Р'л(д~+1~*). Х,) Сравнивая этот результат с полученным выше значением иптеграла 7, находим ли — у'Нх = с'. Х (17) -Х~2 Следовательно, среднее значение квадрата скорости частиц жидкости вдоль поверхности волны равно квадрату скорости потока в бесконечности.
Обозначим через гл скорость жидкости на вершине волны; тогда скорость $' в точке волны, имеющей ординату у, будет $" = $'л — 2ду. Проинтегрируем обе части этого равенства по х от — М2 до Х/2, получим лм л~з У'Зх = улла — 2д ~ удх -ЛМ -ли Но определенный интеграл равен со зпаком минус произведению длины волны на расстояние Ьл вершины волны от среднего уровня жидкости, следовательно, применяя формулу (17), получаем сл — уз Ьл= 2 (18) Совершенно так же можно прийти к формуле, определяющей расстояние Ьл самой низкой точки волны от среднего уровня: У~ — Ф 2 2Р (19) здесь у', — скорость в самой низкой точке волны.
Из формул (17) — (19), полученных Леви-Чивита, можно вывести некоторые следствия относительно распределения скорости вдоль поверхности волны. Из формулы (18) следует, что скорость течения в точках пересечения волновой поверхности со средним уровнем равна с; из той же формулы следует, далее, что скорость Ил ( с и является вообще наименьшей скоростью частиц жидкости в точках волны. Совершенно так же из формулы (19) вытекает, что 1', ) с и будет самой большой скоростью частиц жидкости вдоль волны.
Заключим изложение общих свойств установившихся периодических волн доказательством существования приповерхиостного 7ез ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ ах . ау сХ е' ае+ ае= з: ис Отсюда имеем Ых сс, сое се ае '= зя С другой стороны, имеем сх — = — рсовьь ас Исключая из атих двух равенств Аа, получаем а ае ссс = — —. 2Я Уе Проинтегрируем обе части етого равенства по всему пути частицы жидкости от вертикали одной низшей точки волны до вертикали ближайшей низшей точки.
В результате получим то время Т, в течение которого частица яеидкости проходит по своей липни тока путь между указанными вертикалями: сл с ае т= — ~ —, Зя ') уг -л (20) Представим зту формулу в другом виде, отделяя в функции ) (ре") действительную часть от мнимой и полагая г'(реее) =- А (р О) + еВ(р О). — ',, = (У(рсее)(е = А'(р, 0)+В'(р, О). Имеем Отсюда следует, что формула (20) может быть переписана так: с Т = — ~ (Ае(р, 0) + В'(р, О)] с(0. -с (21) На основании разложения (1) имеем А (р, О) = т + а,р сов О + а,р' сов 20 +..., В(р, 0) = а,ргйпО+а,р'в)п20 + ...
течения. Для етого вычислим то время Т, в течение которого некоторая частица жидкости описывает свою линию тока между вертикалями двух последовательных гребней волны. С атой целью возьмем формулу (2) и заменим в ней и через ре", величина р считается постоянной, что отвечает движению по линии тока. По- лучим 1 Ы. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВНВШНХСЯ ВОЛН 703 Подставляя зти разложения в формулу (21), получаем Т = — (1+ атоз+ азрв+ азрв) (22) Частица жидкости, находящаяся на бесконечной глубине, проходит путь между вертикалями двух последовательных низших точек волны в течение времени 1! с. Соответствующий промежуток времени для вышележащих частиц больше чем Х/си определяется формулой (22).
Отсюда следует, что чем ближе частица жидкости к поверхности, тем дольше она проходит путь слева направо между взятыми вертикалями. Это показывает, что при распространении прогрессивной волны создается дополнительное течение жидкости в направлении движения этой волны. Скорость этого течения быстро убывает с погружением в жидкость и называется поэтому приповерхностным значением (см. з 2).