Главная » Просмотр файлов » Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости

Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 104

Файл №1163302 Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости) 104 страницаЛ.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302) страница 1042019-09-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 104)

Деля формулы (1) и (2) почленно одну на другую, находим Йю с ае ) (и) Применим зту формулу к значению и = О, отвечающему беско- нечности в потоке жидкости, получим сти . 1 с — = — и+ )Р1 = — — = — с, ие ~и= — в 7 (0) вытекающее из интеграла Бернулли. Будем рассматривать в этом соотношении у" и у как функции аргумента 8 комплексного переменного и, изменяющегося вдоль окружности ~ и ( = 1.

Полагая и = еев, продифференцируем граничное условие (4) по переменному 8, найдем — = — и†йув Ну йе йе (5) Но ~)е 1 (ем) / (е ~в) кроме того, — = — — 1ш (7'(сев)1 Отсюда условие (5) запишется так: ае ~1(е"в) е (еыв) 1 = Я (6) следовательно, скорость течения хсидкости в бесконечности равна с, как и должно быть. Возьмем условие на открытой поверхности; так как вдоль этой поверхности давление постоянное, то между скоростью у и орди- натой у будет существовать соотношение Ув = — 2уу + сопз$, Гл. у. ткогия Волн конвчнои Амплитуды Отделим в функции 7 (е") мнимую часть от действительной и запишем результат так: ~ (е12) = А (В) + 1В (0). В новых обозначениях условие (6) перепишется так: ИЕ[А+В 1=~ (7) где 2 ЕЛ Х лсг Покажем теперь, как уравнение (7) может быть приведено к нелинейному интегральному уравнению.

Рассмотрим внутри круга [ и [ = 1 следующую функцию комплексного переменного и: ~ = 1[в 7 (и). (8) Отделяя в правой части мнимую часть от действительной, получим 7 = — аги 7 (и) + 1[в [ 7' (и) [. Для точек окружности [ и [ =- 1 зта формула запишется так: г = — гг — „г- ~ ~.

У г'7 г'. в (9) Отсюда равенство (9) приобретает такой вид: В = — +1[ил. (10) В новых обозначениях условие (7) запишется так: 2 — — = кгЛз1па, ~ел = или (е-г 1А в ) кг з1п а з ие з (11) Таким образом, на окружности [ и [ = 1 соблюдается соотношение (11) между действительной и мнимой частью функции (8). Воспольауемся теперь следующей теоремой [7[, [26): на окружности круга единичного радиуса между значениями действительной части я (0) и мнимой части и (0) всякой голоморфной функции комплексного переменного существует следующее Представим функции А (О) и В(0) через угол а(0) наклона скорости частиць1 жидкости к оси Ох и через отношение Л(В) скорости потока в бесконечности к скорости частицы жидкости, получим А = Л соз а, В = Л зш а.

1 ся интегРАльное уРАВнение А, и, некРАсоВА 999 соотношение: 1 яж 2 (я+О) с)е + сопя! (12) 1 я!и — (е — О) 2 при условии, что Ь (2я — О) = 6 (О). Ь (О) = !и Л Функция удовлетворяет этому добавочному условию в силу симметрии вол- ны. Следовательно, к функции (10) мооьет быть применена форму- ла (12), поэтому 1 яш 2 (е+О) 1 Г Л)пЛ со(О) = †„, ! †„, )п о «з) 1 яш — (е — О) 2 Константа в правой части равна нулю, так как в (О) = О. Из условия (11), имеем, интегрируя его, о ) п Л =- — —, )п ~ —, ~1 + )с ~ я ! и со (я) с)е1 '(; о здесь р, постоянная интегрирования, имеет следующее значение: — зсздз (О) —;сз~з (1) з, з 2 2 (14) Дифференцируя это равенство, получаем о !и Л 1 )се!и в (О) ЛО З о 1 + )с ~ я!и в (е) ое а Подставим найденное значение производной в формулу (13), полу- чим 1 сб 2 (+О) (' )с я!и со (е) в(О)= Оя 1 .

)п о 1+)с ~ яш в (е) о)е о (15) 1 я!и 2 (Π— е) Это есть интегральное уравнение А. И. Некрасова в теории установившихся периодических волн. Решение этого уравнения дает действительную часть функции (10) на окружности( и ! = 1; по этой действительной части можно определить функцию 7 (и) внутри всего круга, пользуясь 700 гл. ч.

тногия волн коннчнон лмплитгды известной формулой ([7'): ем ( „ г (и) = — — ~ (а),, АВ+,И, е'» — и о где Ь вЂ” действительное постоянное число. Затем основная неизвестная функция ~ (и) находится безо всякого затруднения: г (и) = е ~2("). С помощью этой функции определяется весь поток жидкости.

Уравнение поверхности жидкости найдется по формуле (2), если положить в ней и = ем: »»+~ну Х ИО 2л — 1 (зм) отсюда — = — — А(О), — = — — В(О) г» 2 гу л ИО = 2л аО = 2я (16) и координаты х, у найдутся как функции угла О простыми квадратурами. Установим теперь связь между различными величинами, характеризующими волновое движение. Для этого возьмем следующий интеграл по окружности ! и ! =- 1: Г с Нш ,7 = ~ — — он.

а»'г Отсюда 7 = — 1с ~ Уе-™40. Но иа формул (16) вытекает, что <Ь . ыз Х вЂ” — 1 — = — — (А — 1В) ИО НО 2я Ф или ез . а~у сХ » ИО »8 2л Так как ЫюИг = — с/~ (и) и так как внутри круга ( и ( = 1 функция ~ (и) не обращается в нуль, то по теореме о вычетах интеграл 0 будет равен — 2ягс'. Вычислим затем этот же интеграл непосредственно. Для этого заметим, что на окружности ( и ~ = 1 имеем — = — Tз 4' Й» Ыг 1 лз, интегРАльное уР АВнение А. и. некРАсОВА 701 Следовательно, 7 = — ~'Р'л(д~+1~*). Х,) Сравнивая этот результат с полученным выше значением иптеграла 7, находим ли — у'Нх = с'. Х (17) -Х~2 Следовательно, среднее значение квадрата скорости частиц жидкости вдоль поверхности волны равно квадрату скорости потока в бесконечности.

Обозначим через гл скорость жидкости на вершине волны; тогда скорость $' в точке волны, имеющей ординату у, будет $" = $'л — 2ду. Проинтегрируем обе части этого равенства по х от — М2 до Х/2, получим лм л~з У'Зх = улла — 2д ~ удх -ЛМ -ли Но определенный интеграл равен со зпаком минус произведению длины волны на расстояние Ьл вершины волны от среднего уровня жидкости, следовательно, применяя формулу (17), получаем сл — уз Ьл= 2 (18) Совершенно так же можно прийти к формуле, определяющей расстояние Ьл самой низкой точки волны от среднего уровня: У~ — Ф 2 2Р (19) здесь у', — скорость в самой низкой точке волны.

Из формул (17) — (19), полученных Леви-Чивита, можно вывести некоторые следствия относительно распределения скорости вдоль поверхности волны. Из формулы (18) следует, что скорость течения в точках пересечения волновой поверхности со средним уровнем равна с; из той же формулы следует, далее, что скорость Ил ( с и является вообще наименьшей скоростью частиц жидкости в точках волны. Совершенно так же из формулы (19) вытекает, что 1', ) с и будет самой большой скоростью частиц жидкости вдоль волны.

Заключим изложение общих свойств установившихся периодических волн доказательством существования приповерхиостного 7ез ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ ах . ау сХ е' ае+ ае= з: ис Отсюда имеем Ых сс, сое се ае '= зя С другой стороны, имеем сх — = — рсовьь ас Исключая из атих двух равенств Аа, получаем а ае ссс = — —. 2Я Уе Проинтегрируем обе части етого равенства по всему пути частицы жидкости от вертикали одной низшей точки волны до вертикали ближайшей низшей точки.

В результате получим то время Т, в течение которого частица яеидкости проходит по своей липни тока путь между указанными вертикалями: сл с ае т= — ~ —, Зя ') уг -л (20) Представим зту формулу в другом виде, отделяя в функции ) (ре") действительную часть от мнимой и полагая г'(реее) =- А (р О) + еВ(р О). — ',, = (У(рсее)(е = А'(р, 0)+В'(р, О). Имеем Отсюда следует, что формула (20) может быть переписана так: с Т = — ~ (Ае(р, 0) + В'(р, О)] с(0. -с (21) На основании разложения (1) имеем А (р, О) = т + а,р сов О + а,р' сов 20 +..., В(р, 0) = а,ргйпО+а,р'в)п20 + ...

течения. Для етого вычислим то время Т, в течение которого некоторая частица жидкости описывает свою линию тока между вертикалями двух последовательных гребней волны. С атой целью возьмем формулу (2) и заменим в ней и через ре", величина р считается постоянной, что отвечает движению по линии тока. По- лучим 1 Ы. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВНВШНХСЯ ВОЛН 703 Подставляя зти разложения в формулу (21), получаем Т = — (1+ атоз+ азрв+ азрв) (22) Частица жидкости, находящаяся на бесконечной глубине, проходит путь между вертикалями двух последовательных низших точек волны в течение времени 1! с. Соответствующий промежуток времени для вышележащих частиц больше чем Х/си определяется формулой (22).

Отсюда следует, что чем ближе частица жидкости к поверхности, тем дольше она проходит путь слева направо между взятыми вертикалями. Это показывает, что при распространении прогрессивной волны создается дополнительное течение жидкости в направлении движения этой волны. Скорость этого течения быстро убывает с погружением в жидкость и называется поэтому приповерхностным значением (см. з 2).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,7 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6559
Авторов
на СтудИзбе
298
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее