Главная » Просмотр файлов » Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости

Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 105

Файл №1163302 Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости) 105 страницаЛ.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302) страница 1052019-09-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 105)

$ 14. Доказательство существования установившихся периодических волн на поверхности бесконечно глубокой тяжелой жидкости*) Возьмем интегральное уравнение Некрасова и покажем, что оно имеет решение в виде целого ряда, расположенного по степеням некоторого параметра и сходящегося для малых значений такого параметра. Этим самым будет доказан основной факт теории волн о существовании установившихся периодических волн. Рассмотрим ядро уравнения (15) з 13: 112(в+ ) К (9, е) = — )п 1 бя 1 з1п — (9 — з) 2 это ядро может быть разложено в тригонометрический ряд и запи- сано так: ь 1 адп азз1п па Зя,т1 и и=1 Фундаментальные числа р этого ряда суть р '= 3, 6, 9, 12, ") Это доказательство автор публикует адесь впервые. Оно замечательно по своей простоте и изяществу. Оно непосредственно обосновывает сходимость приближенных методов Стокса н Рзлея.

(Прим. дед.) 704 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ отвечающие им фундаментальные функции таковы: в(п 0 в(п 20 р,(8) = =, р, (8) = =, угу ргя га 00 в!п40 р,(8) =, р,(8) = у к р' во (2) Эти функции образовывают ортогональную и нормальную систему в интервале (О, 2я). Приняв эти обозначения, перепишем уравнение Некрасова короче: о (3) где !1(в) = ~вша(з) |Й. о Наша задача состоит в точном определении волн, мало отклоняющихся от горизонтальной прямой по своим ординатам и по углам а наклона вектора скорости. Имея это в виду, выделим в первом множителе подынтегральной функции уравнения (3) линейную часть по отношению к переменному а. Получим (о яп о (в) ро (в) [1+ рт (в)) — в яп о (в) (+ОТ» (+ ро,т(в) Подставим это выражение в уравнение (3), найдем а(8) = )А ~ К(8, в)а(в)язв о Ро(в)((+РХ(в)) — пвшо(в) К (О з (4) (+)ол' (в) о а, (8) = р $ К (О, е) а, (е) в(в.

о (5) Решением этого уравнения будут фундаментальные функции (2). Для нашей задачи достаточно будет взять лишь первую фундаментальную функцию ~р, (8), принадлежащую числу р = 3, так как все остальные функции будут определять такое же волновое движение, как и первая функция, но с длиной волны в целое число раз меньшей, чем у первой функции. Приняв это, будем искать решение нелинейного уравнения (4) в виде ряда, располо- Рассмотрим линейное интегральное уравнение, определяющее бес- конечно малые волны, 4 44 СУЩВСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН 705 женного по степеням некоторого параметра а: в (О) = в,(0) а + в, (О) а' + сон (О) а' + (6) Представим число )4 в таком виде: р = 3 (4+т), и будем искать величину т такясе в виде степенного ряда по параметру а: т = т,а + т,аз+ теме +...

(7) Подставим ряды (6) и (7) в уравнение (4) и приравняем друг другу коэффициенты при различных степенях а в обеих частях этого уравнения, получим следующую систему уравнений: 2е в,(0) = 3 1 К(0, ь) в, (з) дз, (8) о 2 2е сое(0) = 3 ~ К(О, е)сое(з)с(з+ — ~ — „[Зт ~ К(0, з)а(з) с[з— (2 о о ее — ( )+~ ( ) ( ) К(О з) ссз14 (9) 1+ (сд'(з) .)!а=о ' о В последнем уравнении индекс и принимает значения: 72 = 2, 3, 4,... Отметив тождество те 2е Зт ~ К'(О, з) со(е)с(з = Зта ~ К(0, з)в,(з)с(з+ о о + Зт ~ К(0, з) [а(з) — авт(з)[дз, (40) о которое на основе уравнения (8) можно переписать так: 2л 2е Зт ~ К (О, з) со(з) с(з = таа,(0) + Зт ~ К (О, з) [в(з) — пад(з)[ с(з, перепишем уравнение (9) в новом виде 2 ао (О) = 3 ~ К (О, з) во (з) дз -+ — „( ~ — та~ аг (0) + о 2е (2 + —, 1 — „~Зт 1 К (О, з) [а(з) — 2(зн дев о в(з) — Мвв(е)+Ра(е)д'(з) КтО з) [ 1) (44) 1+ 44Р(з) .[1 а=о о ()с = 2, 3, 4, 5, ...).

23 Л. Н. Сретенский 70б ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Уравнение (8) имеет решение ., (0) = р, (0). С помощью уравнения (9) или уравнения (11) можно определить, решая неоднородные интегральные уравнения прифундаментальном числе 3, дальнейшие коэффициенты а, (О), а, (О),... ряда (6). При таком определении следует соблюдать условие третьей теоремы Фредгольма об ортогональности известной функции уравнения к фундаментальной функции орг (О).

Это условие в применении к уравнению (11) записывается так: + —,~ — „(Зло ~ 2р2(О) 2)0 ~ К(О, е)(а(е) — асог(е))де— о о — +ь~(.) — (О) 220 2 ( " ( )+ "а( ) ( )К(0 е) де"2 = О. (12) !)— Преобразуем это условие. Имеем 1ГЛ2 — ~ — та = Л22-2 и) ~ еао еп 2п ~ <рг(О) 2(0 ~ К(0, е)а(е)де = о о оп 2п 2п = ~ а(е) 22е ~ К(0, е) ~р2(0) 220 = — ~ а (е) ор, (е) 22е, о о о еп оп ор2(В) 210 ~ К(О, е) ам~(е) 22е = — а, 1 (0)г)0 С а(е) 2)па(е)+)2а(е) т(е) К(0 е)2( 1+)2О (е) о о а (е) — 21а а (е) + )оа (е) О ( е) 3 З 1+ )2О'(е) 2Рд (е) 22е.

о 1 ы. сгщвствовхнив тстхновившихся волн рор Отсюда условие (12) запишется так: 1 ( Ло р 1 р ю (о) — о(в оо(о]+ рм (е) Р (о) -.-= —..( —,„,~т ) 1 + )2Р (е] ~Р, (е) 22з— о — т ~ ю(з)ор,(з)2(з+ та1(, (13) о Важно отметить, что в правой части этой формулы присутствуют лишь те коэффициенты ряда (7), индекс которых меньше чем )2 — 1. Действительно, разложение функции ю (з) — з(п оо (з)+роо (з) 7(з) в ряд Маклорена начинается со второй степени а, н поэтому т (о2 (з) — з(пю (з) + рго (з) .) (з)1 будет содержать то 2 а"'2; при дифференцировании )2 раз по а и замене а нулем это слагаемое пропадает.

Обратимся теперь к решению уравнения (9). Введем для краткости записи такое обозначение: 2л Ро(О) =- — „) ~ „~3т ~ К(0, е)ю(з)дев о 2л и (о) 21а ю (2) + )оо' (о) Р (о) К (О ) ( 1( (14) 1 + )2У (е) )а=о ' о При этом обозначении уравнение (9) вапишется так: 2л юо(0) = 3 ~ К(0, е)юо(е)де+ Го(О). о Г Р,„р (е) „(0) = Г,(О) + ~ (15) коэффициент Ро„имеет такое аначение: 2л К,„= ~ Р„(0) р„(0) 10.

о (16) Дадим явное выражение этого коэффициента. Имея в виду формулу (14) для функции Ро (О), вычислим отдельные слагаемые, иа Это уравнение с фундаментальным числом 3 раарешимо в силу выбора значения (13) величины тд 2. Из бесконечного числа реше- ний этого уравнения возьмем то, которое дается формулой 703 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕаснон АМПЛИТУДЫ которых будет составляться значение коэффициента Коа. Имеем оа 2.. ~ ср„ (0)с(0 ~ К (О, е) в (е) с(е = Оа Оа Оа = ~ в(е)с(е ~ К(0, е) ср„(0)сс0 = — ~ ю(е) ср (е)де, о о о оа оа (О) (О (' в(е) — сбпос(е)+(св(е) д'(е) К (О ) ос 5 1 + РЛ'(с) о о оа ! !' со(е1 — е!пв(е)+ Гсос(е),с (е) За 3 1 + 1сд' (е( сра(')" ° о Отсюда получаем для коэффициента Го„такое выражение: зс'Сс( ~ С аае С 1+ Гст(е) ( Фа=-о о Таким образом, функция во (О) построена, определены также и числа т„с.

Следовательно, ряды (6) и (7), решающие интегральное уравнение (3), составлены и теперь надо доказать их сходимость. Для доказательства сходимости рядов (6) и (7) воспользуемся методом мажорантных функций [9). Докажем сначала сходимость ряда (7).

Возьмем формулу (с3), умножим обе ее части на ио и просуммируем результаты по индексу сс от 2 до ОО. Получим О а ~~псе сао-! = О оа ао Г с(о Г 1 Г в(е) — егов(е)+Ов(е)с(е) Сс( ( асао Г 3 1 + (сУ (е) ср! (е) ссе— о 2 о — т ~ в(е)срд(е)с(с+ та) о Заметим, что функция, находящаяся под знаком дифференцирования, не содержит членов с нулевой и первой степенью а; следовательно, предыдущая формула может быть записана так: 1 р в (е) — е1п в (е) + (св (е) т (е) ат= — )с ~ 3 1+ 1с,У(е) срс (е) с(е— о оа — т ~ в(е) ср,(е)ссе + та. (18) о 1 74.

сущнстВОВАнин устАновившихся Волн 766 Составим мажоранту для правой части этого равенства, т. е. найдем такой степенной ряд по а с постоянными положительными коэффициентами, значения которых превосходнлн бы абсолютные значения коэффициентов разложения правой части в ряд по степеням а при всех рассматриваемых значениях переменного О.

Предположим, что для ряда (6) мажорантой будет ряд 121а -(- 1)вао + 1)вав ( . = 1) (а). Тогда мажорантой для в(н ю (я) — во (в) будет ряд яЬ 1) — 1). Мажорантой для функции 7 (е) будет ряд о Е ,7 (в) = ) я( О <о (е) Из ~1 ~ я Ь Й й (( 2я яЬ Я. о о Таким образом, имеем ы (е) — яЬ1 ш (з) + )оов (з) 7 (з) (~ (яй й — 1)) + +3 (1 + М) И 2я яЬ 1) = (яЬ 1) — Р) + бя (1 + М) й яЬ 12, где М вЂ” мажоранта для ряда (7). Далее, функция (1 + р 7 (в)) ' имеет такую маокоранту: 1 1 1 — З(1+ М) 2явй й 1 — 6я(1+ М)яб й Следовательно, мажоранта первого слагаемого правой части формулы (18) будет Оо (1+ М) ~ ( (, ~ ( )(о(е<. 1 — 6л (1 + М) ва й о ~~2~-,—,(1 ) М) (вай — й)+яя(1+А()й Ьй 1 — ея(1+ АХ)вн й Составим маокоранту для функции во — т ~ оо (е) оэ, (я) дя + та.

о Такой мажорантой будет функция 2)/ НМ (1) — ' и12,). (20) Таким образом, мажорантой правой части формулы (18) будет функция, равная сумме функций (19) и (20). Примем эту сумму за манооранту функции ат, т. е. приравняем функции аМ: + 1 — 6я(1+ М)ойй аМ = 2)' я 1 -М)(в )+ ~( ' о ) в + 2~/я(Р— а1) )М я — а 116 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АЪ|ПЛИТУДЫ Перепишем это равенство так: 2)/Я(1-(- 1и) (выл — Р + 6Я (1 + М) (> 1 — 6я(1+ М) зь П 'Ь а а + 2 )Гя( — — — П1) М. (21) Составим теперь второе уравнение для определения функций М и й. Такое уравнение найдется при составлении мажорантной функции для ооо (0). Имея в виду формулу (15), найдем сначала мажоранту для функции г'о (0).

Эта функция дается формулой (14), для отдельных частей которой составим мажоранты. Идро К (О, е) — функция нечетная по отношению к переменному е; функция со (з) — также нечетная функция своего аргумента, как это следует из симметрии волны. Поэтому ~ К (О, е) ю (з) ае = 2 ) К (9, з) о1 (е) 1(е. о о При изменении О и з в пределах От О до л ядро К (О, з) — функция положительная, как это следует из нового выраягения этой функции: К(0, з) = — )п 1 1 — ссз(6+ с) 12я 1 — ссз (6 — о) Отметим, кроме того, что для всех значений О от О до я интеграл ') К(0, е)ае о не превосходит по своему значению некоторого положительного числа х.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,7 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее