Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 108
Текст из файла (страница 108)
е. вдоль волны. Благодаря этому в задачу входит новое вспомогательное неизвестное в виде соотношения между названными потенциалами. *) Некоторые неточности, вкравпиеся в вычисления Струнка, нсправлены в указанной в 1 2 статье Да [94) н в статье [131). 8 18. пРиведение 3АдАчи к пРОБлеме кОши тзз Метод Леви-Чивита был с успехом применен С. Р.
Синхом к ре1пению задачи о волнах конечной амплитуды, образующихся на открытой поверхности и на поверхности раздела двух жидкостей; нижняя жидкость имеет бесконечную глубину, верхняя же имеет данную конечную глубину и отличается от нижней своей плотностью [46!. В работе определяются периодические волны двух разных семейств; волны первого семейства имеют большее развитие на свободной поверхности, чем на поверхности раздела; волны второго семейства, чисто внутренние, имеют амплитуду значительно большую, чем амплитуда поверхностных волн. В предположении, что скорости верхней и нижней х'идкости одинаковые, устанавливается соотношение между длиной установившейся волны (того или другого семейства) и скоростью потоков; в такое соотношение входят амплитуды образовавшихся волн.
й 18. Пряведенпе задачи об определении установпвшпхся волн к проблеие Коши Возьмем на плоскости хОу некоторую аналитическую кривую С; пусть х =- 11 (и), у = /8 (и) будут аналитическими функциями комплексного переменного и, изображающими при и действительном эту кривую.
Допустим, что функции г1(и), [8(и) раскладываются около некоторой точки иэ в целые ряды с деиствительными коэффициентами по степеням разности и — ию Допустим, далее, что 1рэ(и) и 1р1(и), 1рз(и)изображают вдоль кривой С значения некоторого интеграла Ф уравнения Лапласа и его первых производных дФ!дх, дФ/ду. Функции 1р1(и), 1р, (и), 1р, (и) считаются голоморфными функциями разности и — ир.
По этим данным интеграл Ф представится вблизи кривой С следующими формулами: х = Ве [Г1 (и) +1/8(и)], у = Ке~ [1(")+'[8(") ~, (1) Ф = Фэ + Ве Д [1р, (и) — 11рэ (и) ! [~, (и) + 1/, (и) ! 8[и). В этих формулах и — комплексное переменное, Ф, — произвольное действительное число [9!. Предположим теперь, что кривая С есть часть профиля установившейся волны. Обозначим через з комплексное переменное х + 1у, а через 1Р— комплексный потенциал и1 = Ф + 8Чг. Р[з формул (1)находим г и п1 в зависимости от комплексного 724 ГЛ. У, ТЕОРИЯ ВОЛН КОНБЧНОЙ АМПЛИТУДЫ переменного: з = ~.(п) + ~.(п), (2) ю = <Ро + ) [<р< (и) — <<р,(и)) [/, (и) + Ц, (и)) <)и. Линии С отвечают действительные значения и и действительные значения функций <р<(и),..., <з (и); следовательно, коэффициент при 1 в подынтегральной функции должен обращаться в нуль, дабы профиль волны был линией тока.
Это приводит к соотношению <р, (и) 7', (и) — <р, (и) ), (и) =-. О. (3) В точках линии С давление должно быть постоянным, отсюда получаем еще одно соотношение: <р, '(и) + <р', (и) + 2рр, (и) — О. (4) Определим из соотношений (3) и (4) функции <р, (и), <р, (и) и подставим их выражения в формулы (2), получим з = ), (и) + <)з (и), (5) м и = и<а+ ~ ']< — 2д~з(и) ]< [/',(и))з+ [~',(и)]' <)и. Этими двумя формулами переданы все условия задачи; следовательно, можно думать, что эти формулы дают полное и притом исключительно простое решение задачи об установившихся волновых движениях жидкости. Но дополнительное условие о взаимно однозначном соответствии плоскостей з и и< требует сложных рассмотрений для определения функций <<(и), ~, (и), при которых было бы соответствие с соблюдением ряда дополнительных граничных условий, отвечающих поставленной волновой задаче.
Кдинственное, что можно сказать: формулы (5) дают небольшую область некоторого волнового движения около маленькой дуги кривой х = /, (и), у = ), (и). $ 19. Метод Рузского Первое по времени точное решение задачи о волнах на поверхности тяжелой жидкости принадлежит Рузскому [179]. Рузский нашел строгое решение задачи об установившихся волнах на поверхности потока, текущего по неровному дну некоторого частного вида. Возьмем уравнение (11) 2 13 (а-з в< В) хз з<п <о « 3 «О 2 (1) 9 !9. МЕТОД РУЗСКОГО 725 в преобразуем его, заменяя угол 0 его выражением через потенциал скоростей ф; в точках свободной поверхности имеем между 0 н ф такое соответствие (см.
формулу (1) з 13): 2л 0 =- — ф. еЛ Отсюда уравнение получит такой вид: ЗЛ де-еь з1ге ес Тф 1 (2) где Л 1п е/Л. Определим теперь на свободной поверхности яеидкости некоторую действительную функцию д (ф) дифференциальным уравнением — — Зде-еьсозес+ — = О. лф Й~ (3) Два уравнения (2) и (3), связанные с поверхностью жидкости, приводят к новому уравнению: — (ЗЛ вЂ” ис) + Зев-(еь '"'~ — 1 — = О. Зф Зф Проинтегрируем это уравнение, получим (А + Е — 3!д ) е Шеф) Еес-"" = — —, Е'9. ( А — еВ+ ЗЕР ~ еееэф) ' (4) го во (5) А)0, В=-О, 0=- — и>. Это равенство имеет место в точках линии тока еР = О; А и В произвольные действительные константы.
Обозначим через 0 (ш) функцию комплексного переменно ле = ф + еер, принимающую при ер = О значения 6 (ф).Равенст (4) приводит тогда к следующей зависимости между и и г: (А — еВ+ Зед ~ е' Ыв) е-99 (А + е — З~д ~ е еье) Это равенство имеет место внутри всей жидкости. При любом выборе функции 0 (и) из этого равенства можно получить граничное условие (1), относящееся к поверхности жидкости. Таким образом, уравнение (5) решает полностью задачу об установившихся волнах, но это решение страдает тем же дефектом, как и решение предыдущего параграфа. Но все же при удачном выборе функции 0 (и) можно получить ряд интересных частных примеров волновых движений. Рузский приложил свой метод к разбору следующего частного случая: ГСЬ Ч.
ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ 720 Уравнение (5) привело к следующему уравнению свободной поверхности: а г = ХК 1и — ие+ ~ (и' + (Ь вЂ” —,)1 — ~, где ь= —,, к= — 17 — ' Зд ' 2е ) Ал Т' =- (из+ Ь+ — „+ 2) (ие — — „+ Ь вЂ” 2) . .Анализ полученных формул показывает, что изображаемое ими двитьение жидкости представляет собой поток, бегущий по твердому ложу, имеющему периодический волнистый вид. Рис.
78 дает нтРОина 1Х7 л)й)рдть(гсТА Рис. 78. Рис. 79. представление о форме дна и о волнах, развивающихся на поверхности потока. Ричардсон методом, тождественным, по существу дела, методу Рузского, дал несколько интересных примеров движения тяжелой жидкости с открытой поверхностью [173). Он дал, в частности, формулу, изображающую движение жидкости по ложу, имеющему уступ (рис. 79 *)) (числа на нинтней линии дают скорости): Зг у' 1 — аа еесс' ам — (а аес)ла ам 1 (1. Ем а л'.~) л, и( у'Зд( — Сьа ) Общая же формула для с(гЫю имеет у Ричардсона такой вид: Зл )Л ( — С'а(м)+1С'(м) лл ЗЗВ(м) Функции 6 (и), С' (ю) и )1 1 — 6'(ю) считаются конечными и действительными для всех значений ил с данной мнимой частью тр„отвечающей поверхности жидкости.
Подробное изучение всех вопросов, связанных с изложенным направлением в теории волн, можно найти в работе Эмона (76). а) Рис. 78 и 79 даны редакторами. (Прил. рад.) 2 20. Волны ИА поверхности ЗАвихреннои жидкости 727 з 20. Волны на поверхности завихренной жидкости В з 7 гл. 1 был дан пример волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости, обладающей вихрением. Эти волны, открытые Герстнером, являются частным случаем широкого класса волн, найденных Дюбреиль-Жакотэн (96).
В работе Дюбреиль-Жакотэн ставится задача об определении плоских периодических установившихся волн конечной аэшлитуды на поверхности однородной жидкости, бесконечной и конечной, постоянной глубины; предполагается, что каждая частица жидкости имеет отличный от нуля вектор-вихрь, достаточно малый по своей величине. Дадим общее описание исследования Дюбреиль-Жакотэн. Компоненты скорости частицы жидкости могут быть представлены через функцию тока ф (х, у) формулами дф дф и= — —, и= —; ау ' дх отсюда вектор-вихрь будет иметь такое выражение: ди ди дхф дэф 1= — — — = — + —. дх ду дхэ ду2 Так как движение установившееся, то в силу уравнений Гельмгольца для плоских потоков величина ь будет функцией от ф без явного присутствия в ней переменных х, у: дхз дуз Р~ ®' дхч дзф (1) Это есть главное уравнение задачи в первоначальном своем виде.
Постоянное число р будет в дальнейшем считаться малым и будет обеспечивать малость вектора-вихря. Вдоль поверхности жидкости функция тока 2Р имеет постоянное значение, которое можно взять равным нулю. В точках поверхности жидкости давление имеет постоянное значение; в силу этого интеграл Бернулли, примененный к поверхности х<идкости, дает граничное условие задачи в таком виде: (2) Это условие должно соблюдаться для всех значений х, у, связанных уравнением поверхности жидкости зр (х, у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
